Angel "Java" Lopez en Blog

Publicado el 24 de Mayo, 2013, 7:38

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En el post Fermat y el Método de Descenso Infinito mencioné este método de demostración usado por Fermat. Quiero escribir hoy un ejemplo sencillo. De hecho, no es el ejemplo más común de este método, porque para lo que vamos a demostrar en general se usa otro camino. Pero me servirá como introducción del tema en este primer post de la serie.

Sea demostrar que la raíz cuadrada de 3 no es un número racional. Supongamos que

Donde a, b son naturales. Podría haber más de una fracción así. Por ejemplo, ½, 2/4, son el mismo número.

Entonces, elevando al cuadrado:

Multiplicamos por b ambos lados:

Por ser 3 primo, resulta que a es múltiplo de 3. Sea


Se siguen entonces:

Por lo mismo, b es múltiplo de 3, y entonces:



El número d es menor que b. Y por la última relación, se sigue:

Llegamos a

Es decir, conseguimos OTRA FRACCION expresando el mismo supuesto racional, la raíz cuadrada de 3. Pero esta vez, el denominador d es menor que el de la anterior fracción, el denominador b. Podemos repetir SIEMPRE la operación que hicimos, y seguiremos obteniendo nuevas fracciones, cada una con el denominador menor que la anterior. No terminan nunca. Pero es claro que el denominador no puede decrecer para siempre: hemos considerado números naturales. Llegamos a contradicción.
Una forma más moderna hubiera sido partir con el conjunto de todos los a/b con a, b naturales, que sean la raíz cuadrada de tres, suponer que no es vacío, y tomar el par que tenga b menor (por propiedad de los naturales, todo conjunto de números naturales no vacío tiene un mínimo). Y con el procedimiento anterior, llegar a obtener otro par a, b con denominador menor al tomado, contradicción.

Si estuvieron atentos, ésta no es la forma más habitual de demostrar la irracionalidad de la raíz cuadrada de 3. Lo más conocido es: tomar a/b con a, b sin factores comunes, y con el procedimiento anterior, ver que tienen un factor común, el 3, llegando a contradicción.

En próximos posts veremos aplicaciones no triviales del descenso infinito. Por ejemplo, en el "Invitation to the Mathematics of Fermat-Wiles", de Yves Hellegouarch, hay otra demostración de la irracionalidad de 3 usando descenso infinito. Ver también:

http://en.wikipedia.org/wiki/Proof_by_infinite_descent

Nos leemos!

Angel "Java" Lopez
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