Angel "Java" Lopez en Blog

Publicado el 26 de Mayo, 2013, 7:42

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Este post es el primer paso en un largo camino. Ya escribí sobre algunos temas aislados, pero ya es tiempo de escribir de una forma más ordenada. Ya que esto es teoría de números, veamos primero los números.

Para los griegos, los números eran múltiplos de una unidad. La unidad podía variar, pero al fin, todo eran números naturales. Esos son los primeros números que tratemos. Resolver ecuaciones como:

Nos basta con conocer el número natural 2. Pero para pasar a resolver ecuaciones como:

Tenemos que recurrir a números "no naturales": un simple pero negativo -3. No fue fácil la aceptación de los números negativos en matemáticas. Aún en el siglo XIX, matemáticos de primera línea ponían a las soluciones negativas como "soluciones a problemas mal planteados". Si pasamos a la ecuación general:

Con a, b enteros, ¿cuándo tendremos solución x entera? Pues ya conocen la respuesta: cuando a divida a b. Y aquí la "dificultad" de los enteros: si bien dado un entero a, siempre existe un entero que sea su inverso ante la suma (el entero –a), no siempre todo entero tiene inverso multiplicativo: la división –b/a que daría la solución de la ecuación de arriba, NO SIEMPRE ESTA DEFINIDA en el dominio de los enteros.

Tenemos que investigar la divisibilidad. Cuando b es múltiplo de a, es porque existe un entero m tal que:

Vamos a escribir "a divide a b" con la notación:

No siempre todo b es divisible por a. Tomemos el caso más fácil: hay números que son divisibles por 2, son los pares. Hay números que no son divisibles por 2, y son los impares. Desde los tiempos de Pitágoras se sabe que par sumado a par da par, par mas impar da impar, par multiplicado por par da par, par multiplicado por impar da par. Generalicemos algunos de estos resultados.

Sea


Entonces

Pues es fácil ver que lo primero es:


Sumando queda

Donde se ve que b mas c es múltiplo de a. Ahora bien, sea que sabemos que a divide b mas c. ¿Puede a dividir a b? Pues no siempre. Puede que sí como puede que no. 5 divide a 8 + 2 = 10, pero no divide a 8 ni a 2. Pero sí podemos decir que si

Entonces a divide a cualquier múltiplo de b:

Si tenemos

¿Podemos decir que

O

? No siempre. 10 divide a 5*4, pero no divide ni a 5 ni a 4. Veremos más adelante que si a es número primo, entonces sí, o divide a b o divide a c. Pero no nos adelantemos, todavía no vimos números primos.

Veamos un resultado importante. Sean a, b enteros cualesquiera, entonces siempre existen s, r tales que:

Es el teorema del resto. Para demostrarlo tomemos todos los números:

Variando s por todos los números enteros. Nos quedamos con los no negativos. Por propiedad de los naturales, hay un menor número en ellos:

Ahora el s está fijo. Tendríamos que demostrar que r es menor que |a|. Limitémonos al caso a positivo. Si r fuera mayor o igual a a, entonces:

Y r no hubiera sido el menor, como lo habíamos tomado. Este pequeño teorema va a ser muy importante en lo que vamos a explorar.

Nos leemos!

Angel "Java" Lopez
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