Publicado el 27 de Mayo, 2013, 6:00
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Sigo con la demostración del teorema de la base de Hilbert. Ya estuvimos viendo de obtener un ideal derivado de cualquier ideal I de R[x]. Algo de notación. Sea:
El conjunto de los Pi que encontramos en el anterior post:
Entonces, nuestro ideal derivado es:
Donde los Sj son polinomios cualesquiera de R[x]. Si este ideal I1 fuera igual a I, nuestro ideal inicial, quedaría demostrado el teorema. Pero bien puede que no sea el caso: pueden quedar polinomios de I que estén fuera de I1. Veamos que estos polinomios que "quedan fuera" de I están cerca de I1. Sea Pm el polinomio de mayor grado de P, y sea n ese grado mayor. Todo polinomio F(x) de I se puede expresar entonces como:
Donde Q(x) es un polinomio con grado menor que n. ¿Cómo podemos demostrar esto? Viendo que a todo F(x) con grado l >= n se le puede anular su término de mayor grado con algún polinomio de I1. ¿Cómo es eso? Sea F(x):
Ese coeficiente c que tiene el término de mayor grado, es elemento del ideal formado por todos los coeficientes de mayor término de I. Entonces, debe ser expresado como:
Por haber tomados los ai como base generadora de ese ideal. Entonces existe F"(x) perteneciente a I1 con:>
Con lo que a F(x) se le puede quitar su término principal. Y así seguimos, hasta que F(x) no tenga más términos de grado >= n. Lo que queda del polinomio inicial será el Q(x) que estamos buscando. Y como Q(x) es la resta de un polinomio de I menos un polinomio de I1, es entonces un polinomio de I (recordemos que I1 está incluido en I). Sea entonces Q el conjunto de todos esos Q(x):
Bien puede ser que Q sea infinito. No importa, genera un ideal:
Tal que como vimos es:
En el próximo post veremos de operar este ideal para obtener otro ideal I2. No se preocupen, ya estamos cuesta abajo, no vamos a seguir hasta I1234 ;-) Nos leemos! Angel "Java" Lopez |
