Angel "Java" Lopez en Blog

13 de Junio, 2013


Publicado el 13 de Junio, 2013, 7:22

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Termino hoy con la traducción del prefacio de David Hilbert a su Zahlbericht:

El objetivo del presente reporte es describir los resultados de la teoría de los campos de números algebraicos, con sus pruebas, en un desarrollo lógico y desde un punto de vista unificado, y así contribuir ha acercar el tiempo donde los logros de nuestros grandes autores clásicos de la teoría de números sean la propiedad común de todos los matemáticos. Argumentos históricos y aún discusiones sobre prioridad han sido completamente dejados de lado. Para permitirme confinar la descripción a un espacio relativamente pequeño he tenido buscar las fuentes más productivas y cuando alguna alternativa se presentaba siempre le he dado preferencia a las más agudas y ampliamente usadas herramientas. La cuestión de decidir cuál de varias pruebas es la más simple y más natural no puede en muchos casos ser dirimida en lo abstracto, sino solamente luego de haber examinado si los principios que las sustentan puede ser generalizados y usados para más investigación, entonces obtendremos una respuesta segura.

La primera parte del reporte trata de la teoría general de campos de números algebraicos; esta teoría se nos aparece como un edificio poderoso soportado por tres pilares fundacionales: el teorema de la factorización única en ideales primos, el teorema de la existencia de unidades y la expresión trasncendetal del número de clase. La segunda parte contiene la teoría de campos de números de Galois en la cual también las leyes de la teoría general son incluidas. La tercera parte está dedicada al ejemplo clásico de los campos cuadráticos. La cuarta parte trata de los campos ciclotómicos. Finalmente la quinta parte desarrolla la teoría de esos campos a los que Kummer tomó como base para su investigación de leyes de reprocidad más altas y basado en ese estudio las he bautizado con su nombre. Es claro que la teoría de estos campos de Kummer representa el pico más alto alcanzado hoy por el conocimiento de la aritmética; desde ahí vemos el amplio panorama de todo el dominio explorado desde que las ideas esenciales y los conceptos de la teoría de campos, al menos en una configuración especial, encuentra una aplicación en la prueba de las leyes de reciprocidad más altas. He tratado de evitar el elaborado artefacto computacional de Kummers, de tal manera que aquí tambien el principio de Riemann puede ser invocado y las pruebas se completan no por cálculo sino puramente por ideas.

Hay mucho para comentar, como la relación del trabajo de Kummer con otros. Pero es interesante cómo Hilbert vuelve a preferir probar "por ideas", como cuando se dedica a los invariantes.

Las teorías tratadas en las tercera, cuarta y quinta partes son todas teorías de campos particulars abelianos o relativamente abelianos. Un ejemplo adicional de ese tipo de teorías es la multiplicación compleja de funciones elípticas, en la que entendemos es una teoría de esos campos de números que son extensiones abelianas de un campo dado imaginario cuadrático. A estos estudios de multiplicación compleja deben, sin embargo, ser negada su inclusión en el presente reporte desde que los resultados de esta teoría no han sido aún logrado un nivel de simplicidad y completitud que permita dar una descripción satisfactoria.

La teoría de campos de números es una estructura de una belleza y armonía maravillosas; la parte más ricamente dotada de esta estructura me parece que es la teoría de campos abelianos y relativamente abelianos en los que Kummer con su trabajo sobre leyes de reprocidad más altas y Kronecker con sus estudios en la multiplicación compleja y funciones elípticas nos han revelado. La profunda penetración en esta teoría por medio del trabajo de estos dos matemáticos nos dieron nos muestra al mismo tiempo que este campo de conocimiento y abundancia de preciosos tesoros todavía permanece oculto, ofreciendo una rica recompensa al estudioso que conoce el valor de esas gemas y que ama aplicar su habilidad para ganarlas.

Las cinco partes de este reporte que describimos arriba están dividas en capítulos y secciones, y en ellos siempre enunciamos los teoremas y lemas primero, y luego sus pruebas. Pienso en el lector como en un viajero: los lemas son paradas al borde del camino; los teoremas son grandes estaciones señaladas por adelantado en donde la actividad de la mente puede descansar. Aquellos teoremas que de acuerdo a su fundamente significado son destinos principales o los que parecen convenientemente destacados como putos de partida para otros avances en regiones aún sin descubrir son expuestos en itálica;  estos son los teoremas 7, 31, 40, 44, 45, 47, 56, 82, 94, 100, 101, 131, 143, 144, 150, 158, 159, 161, 164, 166,
167.

Mi amigo Hermann Minkowski ha leído las pruebas de este reporte con gran cuidado; también ha leído gran parte del manuscrito. Sus sugerencias han llevado a muchas significativas mejoras, tanto en contenido como en presentación. Por toda su ayuda le ofrezco mis más sinceras gracias.

Mis gracias también van a mi esposa, que transcribió el manuscrito completo y preparó el índice.

Finalmente debo reconocer con agradecimiento a la Editorial Committee of  the Deutsche Mathematiker-Vereinigung, en particular a Mr A. Gutzmer por leer las pruebas, y a los editores de George Reimer por su amplia cooperación para la producción de la versión impresa.

Gottingen, 10 April 1897       David Hilbert

Como declaraba en otro post, espero poder escribir algunos detalles de este trabajo.

Nos leemos!

Angel "Java" Lopez
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