Angel "Java" Lopez en Blog

Publicado el 16 de Junio, 2013, 14:28

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Hay dos maneras de clasificar las formas: ya sea por el orden, o sino, por la cantidad de variables que contienen. En este último caso hay nombres especiales para las formas, por lo menos para una cantidad pequeña de variables:

1 . m = 1. Formas unarias. La forma general es

2. m = 2. Formas binarias. La expresión general es

Y el número de términos es n + 1.

3. m = 3. Formas ternarias.

4. m = 4. Formas cuaternarias.

5. m = 5. Formas quinarias.

6. m = 6. Formas senarias.

La terminología para m = 1, 5, 6 es poco usada. Veamos de determinar el número de términos de una forma general. Sea

el número de términos de una forma general de orden n y con m variables. Ya conocemos que


Entonces afirmamos que la fórmula deseada es:

Veamos. La fórmula es válida para m = 2. Tenemos que probar que es válida para otros valores de m, y podemos hacerlo por inducción. Para eso podemos usar una fórmula por recursión que puede ser derivada como sigue. Sea

una forma de orden n. Entonces, en el caso general tenemos la expresión


Se sigue:

Y entonces también:

Restamos ambas fórmulas, quedando:

lo que da

Ahora viene el paso delicado. Veamos si hay una diferencia entre nuestra función y la fórmula propuesta. Examinemos:

Operando:




Pero recién habíamos obtenido:

Y por otro lado:


es igual a

Queda:



Pero esto es 0, por hipótesis inductiva sobre m. Queda:

Llegando a:

Queda entonces que la fórmula propuesta es válida para cualquier n, m.

La deducción es algo larga, pero se reduce a probar la fórmula por inducción.

Nos leemos!

Angel "Java" Lopez
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