Angel "Java" Lopez en Blog

Publicado el 19 de Junio, 2013, 7:23

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Dado dos impares, su diferencia es divisible por 2. Cuando la diferencia de dos números enteros a, b es divisible por c, entonces existe m entero:

Vamos a usar la notación de Gauss, para decir entonces que a y b son congruentes módulo c:

Esta notación es muy sugerente: permite comenzar a hablar de ecuaciones por congruencia, como cuando tenemos ecuaciones "normales" usando el operador = de igualdad. También permite comenzar a pensar en clases de números: todos los congruentes con un número dado. Eso es lo que hacemos cuando hablamos de pares e impares: clasificar a todos los números enteros en dos clases. Y hasta podemos decir: par + par da par, par + impar da impar, etc. Ya veremos cuán lejos nos lleva esa simple idea: empezar a operar con clases de números, en vez de simples números. Una idea tan simple y tan poderosa, que ha impulsado los últimos dos siglos de las matemáticas.

Entonces, si tomamos módulo dos, tenemos DOS CLASES de números:


Es decir, los pares y los impares. Y si tomamos módulo 5, serán cinco clases:





Algo importante para recordar, es que las congruencias tienen las propiedades:



Una relación binaria así, separar los elementos en clases: todos los elementos de una clase cumplen con la relación binaria. Ejemplo, todos los pares son congruentes con 0, módulo 2, y son congruentes tomados de a dos, cualesquiera sean los ejemplares que tomemos. Cuando en un conjunto se define una relación de equivalencia R, se da:

 Cada elemento del conjunto está en una clase, la R(a) = { todos los elementos b tales que a R b }
 Cualquier par a, b de la misma clase, cumple a R b
 Clases diferentes son disjuntas (si tuvieran un elemento en común, por la transitividad de la relación, ese elemento serviría para relacionar todos los elementos de una clase con todos los de la otra)

Conclusión: un módulo m "reparte" todos los enteros en m clases de congruencia disjuntas. ¿Pero qué se gana con tomar congruencias? Bueno, lo principal es que disminuimos la cantidad de elementos a utilizar para establecer relaciones interesantes: en vez de infinitos enteros, tenemos una cantidad finita de clases de congruencia. Es algo que les gusta a los matemáticos (por lo menos desde Gauss): agrupar, clasificar, repartir en clases, para ver si se pueden descubrir cualidades interesantes asociadas a las clases que se manejen.

Podríamos comenzar a preguntar, cuándo la ecuación

tiene o no solución entera x. Si existe una solución x entera, entonces habrá infinitas (¿pueden ver por qué?).  O aún encarar una ecuación más fácil: encontrar las x que solucionan:

Es decir, tomando b como igual a cero en la anterior congruencia.

O podemos investigar que si tenemos:

Entonces saber cuándo podrá ser posible "retirar" al entero a, y afirmar

Contrariamente al caso de ecuación por igualdad, esta simplificación por a no siempre es posible cuando tratamos con congruencias. Por ejemplo, si tenemos:

Y eliminamos el 2 de ambos lados, no obtenemos algo verdadero:

Ver

Gauss y la congruencia, por E.T.Bell
Congruencias módulo m

Nos leemos!

Angel "Java" Lopez
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