Publicado el 19 de Junio, 2013, 7:23
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Dado dos impares, su diferencia es divisible por 2. Cuando la diferencia de dos números enteros a, b es divisible por c, entonces existe m entero:
Vamos a usar la notación de Gauss, para decir entonces que a y b son congruentes módulo c:
Esta notación es muy sugerente: permite comenzar a hablar de ecuaciones por congruencia, como cuando tenemos ecuaciones "normales" usando el operador = de igualdad. También permite comenzar a pensar en clases de números: todos los congruentes con un número dado. Eso es lo que hacemos cuando hablamos de pares e impares: clasificar a todos los números enteros en dos clases. Y hasta podemos decir: par + par da par, par + impar da impar, etc. Ya veremos cuán lejos nos lleva esa simple idea: empezar a operar con clases de números, en vez de simples números. Una idea tan simple y tan poderosa, que ha impulsado los últimos dos siglos de las matemáticas. Entonces, si tomamos módulo dos, tenemos DOS CLASES de números:
Es decir, los pares y los impares. Y si tomamos módulo 5, serán cinco clases:
Algo importante para recordar, es que las congruencias tienen las propiedades:
Una relación binaria así, separar los elementos en clases: todos los elementos de una clase cumplen con la relación binaria. Ejemplo, todos los pares son congruentes con 0, módulo 2, y son congruentes tomados de a dos, cualesquiera sean los ejemplares que tomemos. Cuando en un conjunto se define una relación de equivalencia R, se da: Cada elemento del conjunto está en una clase, la R(a) = { todos los elementos b tales que a R b } Conclusión: un módulo m "reparte" todos los enteros en m clases de congruencia disjuntas. ¿Pero qué se gana con tomar congruencias? Bueno, lo principal es que disminuimos la cantidad de elementos a utilizar para establecer relaciones interesantes: en vez de infinitos enteros, tenemos una cantidad finita de clases de congruencia. Es algo que les gusta a los matemáticos (por lo menos desde Gauss): agrupar, clasificar, repartir en clases, para ver si se pueden descubrir cualidades interesantes asociadas a las clases que se manejen. Podríamos comenzar a preguntar, cuándo la ecuación
tiene o no solución entera x. Si existe una solución x entera, entonces habrá infinitas (¿pueden ver por qué?). O aún encarar una ecuación más fácil: encontrar las x que solucionan:
Es decir, tomando b como igual a cero en la anterior congruencia. O podemos investigar que si tenemos:
Entonces saber cuándo podrá ser posible "retirar" al entero a, y afirmar
Contrariamente al caso de ecuación por igualdad, esta simplificación por a no siempre es posible cuando tratamos con congruencias. Por ejemplo, si tenemos:
Y eliminamos el 2 de ambos lados, no obtenemos algo verdadero:
Ver Gauss y la congruencia, por E.T.Bell Nos leemos! Angel "Java" Lopez |
