Angel "Java" Lopez en Blog

29 de Junio, 2013


Publicado el 29 de Junio, 2013, 15:44

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Demostremos hoy que todos los puntos de acumulación de un conjunto cerrado le pertenecen. Es decir, si x es punto de acumulación del conjunto cerrado C, entonces x es miembro de C. Es una demostración relativamente simple, pero que pone en juego mucho de lo que los matemáticos ponen en juego en una demostración. En este caso, demostración por el absurdo.

Recordemos, para un espacio topológico (X,T):

x es punto de acumulación de un conjunto B (sea cerrado o no) si todo entorno de x tiene puntos de B, distintos del propio x.

Ver anterior post Puntos de Acumulación. Queremos demostrar, para C cerrado:

x punto de acumulación de C entonces x pertenece a C

Tratemos de mostrar que suponer algo distinto, lleva a contradicción. Supongamos por un momento, para C cerrado:

x punto de acumulación de C y x NO pertenece a C

Si x no pertenece a C cerrado, entonces, x pertenece a su complemento, X-C. Llamemos a este conjunto A.  Por ser C cerrado, su complemento X-C=A (siempre en el espacio topológico que elegimos al principio, (X,T)), es abierto en esa topología, es decir, es un conjunto abierto, lo que indica que es un conjunto miembro de T. Entonces, x pertenece a A=X-C, que es un conjunto abierto.

Bien, entonces ya vimos una propiedad que tienen los elementos de un abierto:

Un conjunto es abierto en una topología si y solo si es entorno de todos sus puntos.

Entonces, si x pertenece al abierto A=X-C, hay un entorno de x, el propio A=X-C, que no tiene puntos de C. Entonces, x no puede ser punto de acumulación de C: hay un entorno de x totalmente "separado" de C, totalmente "despegado" de C. Intuitivamente:

Conclusión: todo punto x que no pertenezca a C, está "separado" de C. Es decir, todo punto que no pertenezca a C, no puede ser punto de acumulación de C. Entonces, si x es punto de acumulación de C, queda que pertenece a C, como quería demostrarse.

Es importante entender esta demostración porque, como decía antes, en el detalle del argumento se usan muchos esquemas de lo que los matemáticos usan a diario: por ejemplo, para demostrar, suponemos algo contrario, y razonando, llegamos a contradicción. Si aceptamos que las matemáticas no llevan contradicción (una suposición "grande") entonces hemos demostrado la negación de nuestra suposición inicial. Hubo matemáticos y lógicos que no aceptarían esta "demostración por absurdo", pero eso ya es harina de otro costal, mereciendo un post aparte.

Nos leemos!

Angel "Java" Lopez
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