|
|
Julio del 2013
Publicado el
28 de Julio, 2013, 14:05
|
Publicado el
21 de Julio, 2013, 15:36
|
Anterior Post
Siguiente Post
Sigamos explorando las formas algebraicas. Recordemos que las formas de orden m son polinomios en n variables donde todos los términos tienen el mismo orden m. Pareciera como que las formas son más especiales que los polinomios, pero hemos visto en el primer post que no es el caso.
Hay una interpretación geométrica de las formas. Si dada una forma binaria:
Hacemos:
Entonces obtenemos un polinomio de una variable de orden n como:
Entonces, la teoría de las formas binarias incluye la teoría de las ecuaciones algebraicas con una sola variable. Vayamos un paso más allá. Interpretemos x, y como las coordenadas de un punto en el plano, entonces una forma binaria igualada a una constante, e intersecada con una relación lineal entre x, y (una línea), como:
Que es una forma binaria de grado 1 igualada a una constante, nos dan n puntos de esa línea (no es evidente, pero el caso de arriba es un caso especial de esto). Análogamente, nos damos cuenta que una forma ternaria (es decir, de tres variables) igualada a una constante, intersecada con una relación lineal de las tres variables igualada a una constante (un plano), termina describiendo una curva algebraica en ese plano. Y lo mismo con una forma cuaternaria igualada a constante, e intersecada con una relación lineal de las cuatro variables (un espacio), termina describiendo una superficie en el espacio. Cuesta un poco verlo al principio, pero desarrollando algunos ejemplos, se ve que es así. Este es un punto importante: tenemos intersección de expresiones, que terminan representando "curvas". Tenemos que estudiar las propiedades de esas intersecciones.
Nos leemos!
Angel "Java" Lopez
http://www.ajlopez.com
http://twitter.com/ajlopez
|
|
Publicado el
20 de Julio, 2013, 18:17
|
Ya mencioné a E.T.Bell varias veces en este blog. Ver:
Gauss y la congruencia, por E.T.Bell
Gauss, Abel, Galois en la sociedad, según Bell
Siete mil años de matemáticas
Dos visiones de matemáticas
Contra los místicos del tiempo
Notas sobre Invariantes (1) donde recomiendo leer el capítulo XX de su The Development of Mathematics (lo cito abajo como Historia de las Matemáticas)
Quisiera hoy iniciar una serie de posts, comentando la lectura de su excelente "Historia de las Matemáticas". Tengo la edición de Fondo de Cultura Económica (una edición curiosa, donde "fue" se escribe "fué", con acento). El libro fue escrito en 1945, y es muy interesante porque Bell le pone lo suyo, alabando lo que considera digno de alabanza, y criticando lo que no le parece que sea interesante en el desarrollo de las matemáticas. No es neutral, y a veces, es muy incisivo.
(Notablemente, Bell fue también un escritor de ciencia ficción, publicando con el nombre de John Taine).
Quiero comenzar con lectura y comentario del comienzo del capítulo VIII, "Ampliaciones del concepto de número":
Al seguir el desarrollo de las matemáticas a partir de la muerte de Newton (1727) lo mismo podemos empezar con la aritmética, el álgebra, la geometría o las matemáticas aplicadas. En vista de que la aritmética precedió a las otras en el orden histórico desde Babilonia a Gottinga, será la primera que estudiemos. Los que estén más interesados en alguno de los otros temas pueden pasarse a ellos.
Como es muy complicado el desarrollo detallado del concepto de número que hemos de describir en éste y en los cinco capítulos siguientes, indicaremos primeramente los rasgos principales que hay que observar.
Bell pone a la muerte de Newton como un punto importante en su descripción del desarrollo de las matemáticas. Y plante varias ramas a explorar. Es característica de Bell, en este libro, el no escribir cronológicamente, sino ir visitando un tema, desde su comienzo hasta sus días, y luego pasar a otro tema, de nuevo desde sus inicios. La primera vez que me topé seriamente con el tema de ampliación del sistema de números, los problemas de definición de los enteros y reales, extensión a complejos, la aparición de hipercomplejos y demás, fue en mis primeras lecturas de un libro muy importante para mí (en tres volúmenes): el Análisis Matemático de Rey Pastor, Pi Calleja y Trejo.
Otra costumbre de Bell, es separar en períodos:
Cuatro períodos críticos
Unos cuatro siglos de generalización, al principio confusa e incierta, produjeron los sistemas numéricos del análisis, el álgebra, la física matemática y la aritmética superior del siglo XX. En definitiva las matemáticas hicieron tres grandes adquisiciones: los números complejos ordinarios del álgebra y del análisis y sus subclases de los enteros algebraicos; los sistemas de números hipercomplejos del álgebra, la geometría y la física; el continuo de los números reales que aparece en las modernas teorías de funciones de variable real y compleja. Los cinco períodos de cambio más radical fueron la década en cuyo centro se encuentra el año 1800, los últimos años de la década 1830-40, y los primeros de la siguiente, la década de 1870 a 1880, y los diez años amteriores y los diez posteriores a 1900.
En próximo post comentaré lo que escribe Bell sobre esos períodos.
Nos leemos!
Angel "Java" Lopez
http://www.ajlopez.com
http://twitter.com/ajlopez
|
|
Publicado el
18 de Julio, 2013, 7:20
|
Anterior Post
Siguiente Post
Leo hoy el inicio del prólogo al Origen de las Especies, en la edición que tengo en español:
Cuando me encontraba como naturalista en el "Beagle", buque de la marina real, me llamaron mucho la atención ciertos hechos que se presentan en la distribución geográfica de los seres orgánicos que viven en América del Sur y en las relaciones geológicas entre los habitantes actuales y los antiguos de aquel continente.
Tengo que revisar si Darwin fue el naturalista asignado al "Beagle". Parece que al comienzo del viaje, había un naturalista, que abandonó la travesía al llegar al Brasil. Recordemos que Darwin visitó mi pais, Argentina.
Estos hechos, como se verá en los últimos capítulos de este libro, parecían dar alguna luz sobre el origen de las especies, este misterio de los misterios, como lo ha llamado uno de nuestros mayores filósofos. A mi regreso al hogar se me ocurrió en 1837 que acaso se podría llegar a descifrar algo de esta cuestión acumulando pacientemente y reflexionando sobre toda clase de hechos que pudiesen tener quizás alguna relación con ella. Al cabo de cinco años de trabajo me permití discurrir especulativamente sobre esta materia y redacté unas breves notas; éstas las amplié en 1844, formando un bosquejo de las cuestiones que entones me parecía probables.
Vemos que Darwin se toma el trabajo de "acumular pacientemente" hechos, antes de lanzarse a especular sobre el tema.
Desde este período hasta el día de hoy me he dedicado invariablemente al mismo asunto; espero que se me pueda excusar el que entre en estos detalles personales, que los doy para mostrar que no me he precipado al decidirme.
Darwin quiere dejar claro ese punto: siendo el libro un resumen de su trabajo, no quiere que lo tomen como una especulación de café.
Mi trabajo está ahora (1859) casi terminado; pero como el completarlo me llevará aún muchos años y mi salud dista de ser robusta, me han propuesto que publique este resumen. Me ha movido especialmente a hacerlo el que Wallace, que está actualmente estudiando la historia natural del archipiélago malayo, ha llegado casi exactamente a las mismas conclusiones generales a que he llegado yo sobre el origen de las especies. En 1858 me envió una Memoria sobre este asunto...
Ver el primer post para más detalles del tema
... con ruego de que la transmitiese a sir Charles Lyell, quien la envió a la Linnean Society y está publicada en el tercer tomo del Journal de esta Sociedad. Sir C. Lyell y el doctor Hooker, que tenían conocimiento de mi trabajo, pues este último había leído mi bosquejo de 1844, me honraron juzgando prudente publicar, junto con la excelente memoria de Wallace, algunos breves extractos de mis manuscritos.
Darwin expone desde el principio del volumen su caso con Wallace. Está preocupado de que se lo tomo como advenedizo, de ahí la aclaración "había leído mi bosquejo de 1844".
Hay mucho para leer de Darwin, no solamente el Origen de las Especies. Seguiré en próximo post.
Nos leemos!
Angel "Java" Lopez
http://www.ajlopez.com
http://twitter.com/ajlopez
|
|
Publicado el
9 de Julio, 2013, 18:13
|
Publicado el
3 de Julio, 2013, 12:55
|
Paso a revisar el resultado del mes de Junio:
- Escribir segundo post de mi serie sobre teoría de números [completo] ver post
- Escribir primer post sobre Fermat n = 3 [pendiente]
- Escribir tercer post sobre serie p = x2 + y2 [pendiente]
- Escribir cuarto post del teorema de la base de Hilbert [pendiente]
- Escribir segundo post de mi serie sobre la ecuación de Schrödinger [pendiente]
- Escribir segundo post de Invariantes Algebraicos de Hilbert [completo] ver post
- Seguir estudiando teoría de números [completo]
Pero hice también:
- Post de mi serie Topología General ver post
- Seguí escribiendo sobre David Hilbert y su reporte de números algebraicos ver post
- Comencé mi serie Leyendo a Darwin ver post
Vean que quedaron varios posts pendientes. En general, son los que llevan mucho detalle de fórmulas. Veo de posponerlos por un tiempo. El mes pasado estuvo dedicado a un tema de mi profesión (preparar una charla) y este mes de Julio parece que será igual (viene otra charla nueva).
Así que mi compromiso para este mes es:
- Escribir post de mi serie Leyendo a Darwin
- Escribir post relacionado con la historia de las matemáticas
- Escribir post de Invariantes Algebraicos de Hilbert
- Seguir estudiando teoría de números
Nos leemos!
Angel "Java" Lopez
http://www.ajlopez.com
http://twitter.com/ajlopez
|
|
|
Comentarios (1)