Angel "Java" Lopez en Blog

Publicado el 21 de Julio, 2013, 15:36

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Sigamos explorando las formas algebraicas. Recordemos que las formas de orden m son polinomios en n variables donde todos los términos tienen el mismo orden m. Pareciera como que las formas son más especiales que los polinomios, pero hemos visto en el primer post que no es el caso.
Hay una interpretación geométrica de las formas. Si dada una forma binaria:

Hacemos:


Entonces obtenemos un polinomio de una variable de orden n como:

Entonces, la teoría de las formas binarias incluye la teoría de las ecuaciones algebraicas con una sola variable. Vayamos un paso más allá. Interpretemos x, y como las coordenadas de un punto en el plano, entonces una forma binaria igualada a una constante, e intersecada con una relación lineal entre x, y (una línea), como:

Que es una forma binaria de grado 1 igualada a una constante, nos dan n puntos de esa línea (no es evidente, pero el caso de arriba es un caso especial de esto). Análogamente, nos damos cuenta que una forma ternaria (es decir, de tres variables) igualada a una constante, intersecada con una relación lineal de las tres variables igualada a una constante (un plano), termina describiendo una curva algebraica en ese plano. Y lo mismo con una forma cuaternaria igualada a constante, e intersecada con una relación lineal de las cuatro variables (un espacio), termina describiendo una superficie en el espacio. Cuesta un poco verlo al principio, pero desarrollando algunos ejemplos, se ve que es así. Este es un punto importante: tenemos intersección de expresiones, que terminan representando "curvas". Tenemos que estudiar las propiedades de esas intersecciones.

Nos leemos!

Angel "Java" Lopez
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