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Sigo leyendo la conferencia de David Hilbert:

The mathematicians of past centuries were accustomed to devote themselves to the solution of difficult particular problems with passionate zeal. They knew the value of difficult problems. I remind you only of the "problem of the line of quickest descent," proposed by John Bernoulli. Experience teaches, explains Bernoulli in the public announcement of this problem, that lofty minds are led to strive for the advance of science by nothing more than by laying before them difficult and at the same time useful problems, and he therefore hopes to earn the thanks of the mathematical world by following the example of men like Mersenne, Pascal, Fermat, Viviani and others and laying before the distinguished analysts of his time a problem by which, as a touchstone, they may test the value of their methods and measure their strength. The calculus of variations owes its origin to this problem of Bernoulli and to similar problems.

Es muy interesante el problema de Bernoulli. Ver

http://en.wikipedia.org/wiki/Brachistochrone_curve

Vean que tiene su relación con el principio de Fermat

http://en.wikipedia.org/wiki/Fermat%E2%80%99s_principle

Y yo recordaría a Maupertius

http://en.wikipedia.org/wiki/Maupertuis'_principle

Todos son pioneros de lo que luego fue el cálculo variacional. Bernoulli se planteó un problema maximal donde la solución no es un número, sino una curva. Lo que siguió desarrollándose como cálculo variacional, ver:

http://en.wikipedia.org/wiki/Calculus_of_variations

maximizando y minimizando funcionales, no puede sobreestimarse: permea gran parte de la física matemática actual. Y todo a partir de un problema (y otros que le siguieron). Tengo que revisar el excelente "History of Mechanics" de Rene Dugas. Les debo, creo que era de Poincaré, otro libro sobre el desarrollo del cálculo variacional desde el punto de vista de la física, en particular, de la mecánica. Ver también "Filosofía de la Física", de Torretti, y ver la historia de lagrangianos y hamiltonianos. Tengo que ver también el capítulo 24 de Morris Kline, su clásica historia del pensamiento matemático. Ese capítulo está dedicado al cálculo variacional. Ver también "Variational Principles in Dynamics and Quantum Theory" de Yourgrau y Mandelstam. Así como los clásicos Goldstein, Penrose, y más. (Nota personal, ver mis Reading notes del día de hoy).

Ahora Hilbert pasa a otro problema:

Fermat had asserted, as is well known, that the diophantine equation

xn + yn = zn

(x, y and z integers) is unsolvable—except in certain self evident cases. The attempt to prove this impossibility offers a striking example of the inspiring effect which such a very special and apparently unimportant problem may have upon science. For Kummer, incited by Fermat's problem, was led to the introduction of ideal numbers and to the discovery of the law of the unique decomposition of the numbers of a circular field into ideal prime factors—a law which today, in its generalization to any algebraic field by Dedekind and Kronecker, stands at the center of the modern theory of numbers and whose significance extends far beyond the boundaries of number theory into the realm of algebra and the theory of functions.

El tema de Kummer llegando a números ideales, y EL GRAN avance de Dedeking para crear los ideales y generalizar ahí en ese nuevo ámbito el teorema fundamental de la aritmética dan para un libro completo aparte. Vean de nuevo cómo un problema, aún cuando estaba sin resolver en aquellos tiempos, dio sus frutos, inesperados. Hilbert estaba relacionado con esos temas con su incursión en la teoría de números algebraicos. Y ahora cambia de ámbito, hacia la física:

To speak of a very different region of research, I remind you of the problem of three bodies. The fruitful methods and the far-reaching principles which Poincaré has brought into celestial mechanics and which are today recognized and applied in practical astronomy are due to the circumstance that he undertook to treat anew that difficult problem and to approach nearer a solution.

Les recomiendo ver "De aquí al infinito" de Ian Steward, en español vía editorial Crítica, para más información sobre el desarrollo de Poincaré, que haciendo un salto imaginativo, traslada el problema a un tema topológico.

The two last mentioned problems—that of Fermat and the problem of the three bodies—seem to us almost like opposite poles—the former a free invention of pure reason, belonging to the region of abstract number theory, the latter forced upon us by astronomy and necessary to an understanding of the simplest fundamental phenomena of nature.

Hay una tensión en la historia de las matemáticas, en su relación con la realidad y con la física. Tema para otro post.

Nos leemos!

Angel "Java" Lopez
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Darwin no fue el primero al que se le ocurre que las especies descienden de otras especies. Pero advierte:

Al considerar el origen de las especies es completamente lógico que un naturalista, reflexionando sobre las afinidades mutuas de los seres orgánicos, sobre sus relaciones embriológicas, su distribución geográfica, sucesión geológica y otros echos semejantes, pueda llegar a la conclusión de que las especies no han sido independientemente creadas, sino que han descendido, como las variedades de otras especies. Sin embargo, esta conclusión, aunque estuviese bien fundada, no sería satisfactoria hasta tanto que pudiese demostrarse cómo las innumerables especies que habiatan el mundo se han modificado hasta adquirir esta perfección de estructuras y esta adaptación mutua que causa, con justicia, nuestra admiración.

Ver el primer post el fragmento final de la obra, donde vuelve a expresar esa admiración. Reconoce que no es solamente el ambiente el causante de la situación:

Los naturalistas continuamente aluden a condiciones exteriores, tales como clima, alimento, etc., como la sola causa posible variación. En un sentido limitado, como veremos después, puede esto ser verdad; pero es absurdo atribuir a causas puramente externas la estructura, por ejemplo del pájaro carpientero, con sus patas, cola, pico y lengua tan admirablemente adaptados para capturar insectos bajo la corteza de los árboles. En el caso del muérdago, que saca su alimento de ciertos árboles, que tiene semillas que necesitan ser transportadas por ciertas aves y que tiene flores con sexos separados que requieren absolutamente la mediación de ciertos insectos, para llevar el polen de una flor a otra, es igualmente absurdo explicar la estructura de este parásito y sus relaciones con varios seres orgánicos distintos, por efecto de las condiciones externas, de la costumbre o de su propia voluntad.

Es esa adaptación inter-especies la que también hay que explicar, y que fue la base de muchos que defendieron la "teoría del diseño", afirmando que tal interrelación sólo se puede explicar por la creación de un ser diseñador de todo ese sistema. Es por eso que sigue:

Por consiguiente, es de la mayor importancia lograr un juicio claro acerca de los medios de modificación y de adaptación mutua.

Tiene que buscar: cómo se modifican los individuos, y cómo se adaptan unos a otros en esa modificación.

Nos leemos!

Angel "Java" Lopez
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La conferencia de David Hilbert en el Congreso Mundial de Matemáticas de 1900 en Paris, debe ser la más importante de la historia de las matemáticas, dada por un matemático y dirigida a matemáticos. Marcó una parte del desarrollo de la disciplina del siglo XX. Fue dada justo en un momento bisagra, a las puertas de nuevos aires en las matemáticas, luego de un siglo XIX que sirvió para consolidar algunos temas (como el análisis) y también como cuna de nuevos: desde mayoría de edad de la teoría de números, los campos de números algebraicos, una nueva topología, la teoría de Galois, los conjuntos de Cantor, la lógica de Boole, las álgebras de Grassman y otros, los grupos de Lie, los invariantes (donde tanto hizo el propio Hilbert), las geometrías no euclideanas, y mil temas más.

Quiero hoy comenzar a escribir esta serie, para repasar la conferencia, los problemas, y las ideas de Hilbert sobre lo que es hacer matemáticas. El texto en inglés lo encuentran en:

http://aleph0.clarku.edu/~djoyce/hilbert/problems.html

Una introducción en:

http://aleph0.clarku.edu/~djoyce/hilbert/

Una tabla de contenido en:

http://aleph0.clarku.edu/~djoyce/hilbert/toc.html

La conferencia en el alemán original en:

http://www.mathematik.uni-bielefeld.de/~kersten/hilbert/rede.html

Comento hoy el comienzo de la conferencia:

Who of us would not be glad to lift the veil behind which the future lies hidden; to cast a glance at the next advances of our science and at the secrets of its development during future centuries? What particular goals will there be toward which the leading mathematical spirits of coming generations will strive? What new methods and new facts in the wide and rich field of mathematical thought will the new centuries disclose?

Es un tema fascinante en cualquier ciencia.

History teaches the continuity of the development of science. We know that every age has its own problems, which the following age either solves or casts aside as profitless and replaces by new ones. If we would obtain an idea of the probable development of mathematical knowledge in the immediate future, we must let the unsettled questions pass before our minds and look over the problems which the science of today sets and whose solution we expect from the future. To such a review of problems the present day, lying at the meeting of the centuries, seems to me well adapted. For the close of a great epoch not only invites us to look back into the past but also directs our thoughts to the unknown future.

Sigue una interesante postura sobre la importancia de los problemas en una ciencia:

The deep significance of certain problems for the advance of mathematical science in general and the important role which they play in the work of the individual investigator are not to be denied. As long as a branch of science offers an abundance of problems, so long is it alive; a lack of problems foreshadows extinction or the cessation of independent development. Just as every human undertaking pursues certain objects, so also mathematical research requires its problems. It is by the solution of problems that the investigator tests the temper of his steel; he finds new methods and new outlooks, and gains a wider and freer horizon.

La solución de un problema puede dar a luz nuevos métodos y nuevas formas de encarar una rama de una disciplina. Basta ver a Newton mejorando lo que tenía en sus tiempos, prácticamente creando el análisis moderno con Liebnizt, pero no por ociosa curiosidad, sino como forma de resolver problemas, tanto físicos como matemáticos. Como sigue Hilbert abajo, no es fácil ver si un problema será valioso:

It is difficult and often impossible to judge the value of a problem correctly in advance; for the final award depends upon the gain which science obtains from the problem. Nevertheless we can ask whether there are general criteria which mark a good mathematical problem. An old French mathematician said: "A mathematical theory is not to be considered complete until you have made it so clear that you can explain it to the first man whom you meet on the street." This clearness and ease of comprehension, here insisted on for a mathematical theory, I should still more demand for a mathematical problem if it is to be perfect; for what is clear and easily comprehended attracts, the complicated repels us.

Notable apelación a la claridad, a que una teoría debe luchar por alcanzar la facilidad de comprensión, que pueda ser explicada a cualquier persona interesada.

Moreover a mathematical problem should be difficult in order to entice us, yet not completely inaccessible, lest it mock at our efforts. It should be to us a guide post on the mazy paths to hidden truths, and ultimately a reminder of our pleasure in the successful solution.

Basta recordar la historia del teorema de Fermat, y los desarrollos implicados en su solución (algunos motivados por el teorema, otros no tango) para entender lo importante que ha sido en la historia general de las matemáticas. En los próximos párrafos Hilbert plantea ejemplos concretos de problemas importantes. Lo veremos en los próximos posts.

Posts relacionados

Los problemas de Hilbert
David Hilbert, según Jean Dieudonné

Si quieren saber más sobre Hilbert, su historia de vida, los problemas y su historia, les recomiendo fervientemente el libro "El reto de Hilbert", de Jeremy J. Gray, Ed. Crítica.

Nos leemos!

Angel "Java" Lopez
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Comienzo esta serie de post sobre un tema que es uno de mis preferidos. No es un tema que me enseñaron en la escuela (ni primaria ni secundaria) sino que llegó con mis estudios universitarios. Y desde ese momento me comenzó a fascinar. Si bien lo que se exigía para los exámenes era poco (luego de teoría de grupos se pasaba rápidamente a anillos, y de nuevo rápido, se pasaba a espacios vectoriales, álgebra lineal que eran los temas más tratados).

La teoría de grupos permea gran parte de las matemáticas. Asombra por su simplicidad y por lo profundo de algunos resultados. El grupo ha resultado ser la estructura básica, sobre la cual muchas otras se sostienen. Es resultado de la abstracción, que floreció en el siglo pasado pero comenzó a aparecer un poco antes. Durante centenares de años, las matemáticas se ocuparon de números y figuras. Aún el álgebra podía considerarse como una aritmética con variables. La geometría se funde con el álgebra con la invención del plano cartesiano. El análisis lleva a las matemáticas por nuevos rumbos y profundidades. Pero había algo simple todavía anidando en muchos rincones. El estudio de las permutaciones de las raíces de una ecuación algebraica, por Lagrange, abrió la puerta a este nuevo concepto. Gauss casi le da título oficial al estudiar las congruencias en sus Disquisitiones Arithmeticae. Galois lo vuelve a encontrar en su teoría. Jordan lo rescata del olvido. Lie nos lleva a los grupos continuos. Y así va surgiendo en la historia de las matemáticas la estructura de grupo, una estructura digamos recién llegada pero que tiene sus raíces hundidas en todo el pasado.

No es hoy el momento de detenernos en la historia, ver:

http://en.wikipedia.org/wiki/History_of_group_theory

Vayamos directamente a plantear hoy los axiomas de grupo. Tenemos un conjunto G y una operación binaria * cerrada sobre sus elementos. Es binaria porque es una aplicación que tiene como entrada dos elementos de G, y es cerrada porque tiene como resultado un elemento de G: nunca se sale de G, y está definida como función para todo par a,b de elementos de G. Se tienen que cumplir los axiomas:

G1) Existe un elemento neutro a izquierda:
e *a =a    para todo elemento a del conjunto G

G2) Existe inverso a izquierda
a’ * a = e         para todo a del conjunto existe a’ su inverso a izquierda

G3) La operación binaria es asociativa, es decir:
(a *b) * c = a *(b * c)     para todo a,b,c elementos de G

Primeros ejemplos fáciles:

- Todos los enteros, con operación suma, y 0 como elemento neutro

- Enteros módulo m, con operación suma, y 0 como elemento neutro

- Enteros módulo p primo, sin el 0, con operación multiplicación, y 1 como elemento neutro. No es trivial pero tampoco difícil encontrar la demostración de existencia de inverso.

- Las rotaciones del cuadrado

- Las permutaciones de n elementos

Vean que en los axiomas no puse que la unidad lo fuera a derechas, y lo mismo para el inverso. Sin embargo, veremos que eso se puede deducir.

Próximos pasos:

- Dada la existencia de unidad a izquierda e inverso a izquierda, ver que también lo son a derecha
- Probar la unicidad de la unidad del grupo y del inverso de cada elemento

Mientras, para que comencemos a tener un panorama del tema, ver los post relacionados:

Grupos: definición y ejemplo
http://ajlopez.zoomblog.com/archivo/2009/09/20/grupos-definicion-y-ejemplo.html

Resolviendo un problema de grupos de Fraleigh
http://ajlopez.zoomblog.com/archivo/2009/09/17/resolviendo-un-problema-de-grupos-del-.html

Motivaciones para la Teoría de Grupos
http://ajlopez.zoomblog.com/archivo/2009/09/13/motivaciones-para-la-Teoria-de-Grupos.html

Teoría de Galois
http://ajlopez.zoomblog.com/archivo/2008/02/14/teoria-de-Galois.html

Teoría de Grupos, enlaces y recursos (4)
http://ajlopez.zoomblog.com/archivo/2013/05/15/teoria-de-Grupos-Enlaces-y-Recursos-4.html

Hermann Weyl, Teoría de Grupos y Teoría Cuántica
http://ajlopez.zoomblog.com/archivo/2013/04/11/hermann-Weyl-Teoria-de-Grupos-y-Teoria.html

Grupos y Física por Dirac
http://ajlopez.zoomblog.com/archivo/2011/01/22/grupos-y-Fisica-por-Dirac.html

Simetrías del cuadrado (3)
http://ajlopez.zoomblog.com/archivo/2011/05/06/simetrias-del-cuadrado-Parte-3.html

Nos leemos!

Angel “Java” Lopez
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Ya escribí (y sigo escribiendo) sobre el trabajo de David Hilbert. No alcanzaría una vida de posts para repasar todo su trabajo. Hilbert fue uno de esos matemátícos que abarcó el saber matemático de su época, y contribuyó en muchas de sus ramas. Apenas viene hoy una limitada entrega de enlaces que me interesaron:

https://en.wikipedia.org/wiki/David_Hilbert

David Hilbert, ForMemRS^[2] (German: [ˈdaːvɪt ˈhɪlbɐt]; January 23, 1862 – February 14, 1943) was a German mathematician. He is recognized as one of the most influential and universal mathematicians of the 19th and early 20th centuries. Hilbert discovered and developed a broad range of fundamental ideas in many areas, including invariant theory and the axiomatization of geometry. He also formulated the theory of Hilbert spaces,^[3]one of the foundations of functional analysis.

Hilbert adopted and warmly defended Georg Cantor's set theory and transfinite numbers. A famous example of his leadership in mathematics is his 1900 presentation of a collection of problems that set the course for much of the mathematical research of the 20th century.

Hilbert and his students contributed significantly to establishing rigor and developed important tools used in modern mathematical physics. Hilbert is known as one of the founders of proof theory and mathematical logic, as well as for being among the first to distinguish between mathematics andmetamathematics.^[4]

Hilbert's seventeenth problem - Wikipedia, the free encyclopedia
http://en.wikipedia.org/wiki/Hilbert_s_seventeenth_problem

Hilbert's Nullstellensatz - Wikipedia, the free encyclopedia
http://en.wikipedia.org/wiki/Hilbert%27s_Nullstellensatz

On Fermat's Last Theorem for n=3 and n=4
http://wstein.org/edu/2010/414/projects/ohana.pdf

The Foundations of Geometry, by David Hilbert
http://www.gutenberg.org/files/17384/17384-pdf.pdf

Encontrado un error en el trabajo de Carl Cowen y Eva Gallardo sobre el problema del subespacio invariante - Gaussianos
http://gaussianos.com/encontrado-un-error-en-el-trabajo-de-carl-cowen-y-eva-gallardo-sobre-el-problema-del-subespacio-invariante

Hilbert's basis theorem - Wikipedia, the free encyclopedia
http://en.wikipedia.org/wiki/Hilbert%27s_basis_theorem

Hilbert's Nullstellensatz - Wikipedia, the free encyclopedia
http://en.wikipedia.org/wiki/Hilbert_s_Nullstellensatz

Liang Yongqi
http://www.math.jussieu.fr/~liangy/
http://www.math.jussieu.fr/~liangy/files/recherche.htm
http://www.math.jussieu.fr/~liangy/files/myarticle/Serre%20thm%20on%20noetherian%20regular%20local%20ring.pdf
HILBERT-SERRE THEOREM ON REGULAR NOETHERIAN LOCAL RINGS

Hilbert Syzygy Theorem - Induction step - MathOverflow
http://mathoverflow.net/questions/27849/hilbert-syzygy-theorem-induction-step

Sesquilinear form - Wikipedia, the free encyclopedia
http://en.wikipedia.org/wiki/Sesquilinear

Rigged Hilbert space - Wikipedia, the free encyclopedia
http://en.wikipedia.org/wiki/Rigged_Hilbert_space

Hilbert space - Wikipedia, the free encyclopedia
http://en.wikipedia.org/wiki/Hilbert_space

Fock space - Wikipedia, the free encyclopedia
http://en.wikipedia.org/wiki/Fock_space

Hilbert’s fifth problem and related topics « What’s new
http://terrytao.wordpress.com/2012/03/27/hilberts-fifth-problem-and-related-topics/

‪Breaking News: plagiarist Einstein replaced by Preacher Doc (Part 3)‬‏ - YouTube
http://www.youtube.com/watch?v=nu7e__IJAUs

Hilbert's fifth problem - Wikipedia, the free encyclopedia
http://en.wikipedia.org/wiki/Hilbert%27s_fifth_problem

van Dantzig’s theorem « What’s new
http://terrytao.wordpress.com/2011/05/30/van-dantzigs-theorem/

Sum of Squares Function -- from Wolfram MathWorld
http://mathworld.wolfram.com/SumofSquaresFunction.html

El Topo Lógico: La autorreferencia en la demostración de Gödel (Parte 2)
http://eltopologico.blogspot.com/2011/02/la-autorreferencia-en-la-demostracion_25.html

El arte de hacer matemáticas | Gaussianos
http://gaussianos.com/el-arte-de-hacer-matematicas/

Mis Enlaces
https://delicious.com/ajlopez/hilbert

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Llegó el tiempo de revisar las resoluciones del mes de Julio, y plantear las del nuevo mes. Tenía:

- Escribir post de mi serie Leyendo a Darwin [completo] ver post
- Escribir post relacionado con la historia de las matemáticas [completo] ver post
- Escribir post de Invariantes Algebraicos de Hilbert [completo] ver post
- Seguir estudiando teoría de números [completo]

He tenido bastante actividad profesional, y este mes que sigue, Agosto, no va a ser la excepción. Así que esta vez me comprometo solo a:

- Escribir post de mi serie Leyendo a Darwin
- Escribir post de historia de las matemáticas
- Escribir post de mi serie teoría de números
- Escribir post de mi serie topología general
- Seguir estudiando teoría de números

En el tema topología, la serie se va a acercado a temas no triviales, como la equivalencia de definir los cerrados vs los conjuntos abiertas, cerradura y un teorema de Kuratowski. La serie teoría de números recién comienza. Supongo que voy a seguir con más temas de divisibilidad antes de entrar en el gran tema iniciado por Gauss, las congruencias. Sobre Darwin, hay tanto para escribir: sobre sus cuidados al exponer su teoría, el entorno de la época, la recepción de sus ideas.

Nos leemos!

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