Publicado el 23 de Agosto, 2013, 13:25
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Sigo leyendo la conferencia de David Hilbert:
Es muy interesante el problema de Bernoulli. Ver http://en.wikipedia.org/wiki/Brachistochrone_curve Vean que tiene su relación con el principio de Fermat http://en.wikipedia.org/wiki/Fermat%E2%80%99s_principle Y yo recordaría a Maupertius http://en.wikipedia.org/wiki/Maupertuis'_principle Todos son pioneros de lo que luego fue el cálculo variacional. Bernoulli se planteó un problema maximal donde la solución no es un número, sino una curva. Lo que siguió desarrollándose como cálculo variacional, ver: http://en.wikipedia.org/wiki/Calculus_of_variations maximizando y minimizando funcionales, no puede sobreestimarse: permea gran parte de la física matemática actual. Y todo a partir de un problema (y otros que le siguieron). Tengo que revisar el excelente "History of Mechanics" de Rene Dugas. Les debo, creo que era de Poincaré, otro libro sobre el desarrollo del cálculo variacional desde el punto de vista de la física, en particular, de la mecánica. Ver también "Filosofía de la Física", de Torretti, y ver la historia de lagrangianos y hamiltonianos. Tengo que ver también el capítulo 24 de Morris Kline, su clásica historia del pensamiento matemático. Ese capítulo está dedicado al cálculo variacional. Ver también "Variational Principles in Dynamics and Quantum Theory" de Yourgrau y Mandelstam. Así como los clásicos Goldstein, Penrose, y más. (Nota personal, ver mis Reading notes del día de hoy). Ahora Hilbert pasa a otro problema:
El tema de Kummer llegando a números ideales, y EL GRAN avance de Dedeking para crear los ideales y generalizar ahí en ese nuevo ámbito el teorema fundamental de la aritmética dan para un libro completo aparte. Vean de nuevo cómo un problema, aún cuando estaba sin resolver en aquellos tiempos, dio sus frutos, inesperados. Hilbert estaba relacionado con esos temas con su incursión en la teoría de números algebraicos. Y ahora cambia de ámbito, hacia la física:
Les recomiendo ver "De aquí al infinito" de Ian Steward, en español vía editorial Crítica, para más información sobre el desarrollo de Poincaré, que haciendo un salto imaginativo, traslada el problema a un tema topológico.
Hay una tensión en la historia de las matemáticas, en su relación con la realidad y con la física. Tema para otro post. Nos leemos! Angel "Java" Lopez |
Publicado el 19 de Agosto, 2013, 16:48
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Darwin no fue el primero al que se le ocurre que las especies descienden de otras especies. Pero advierte:
Ver el primer post el fragmento final de la obra, donde vuelve a expresar esa admiración. Reconoce que no es solamente el ambiente el causante de la situación:
Es esa adaptación inter-especies la que también hay que explicar, y que fue la base de muchos que defendieron la "teoría del diseño", afirmando que tal interrelación sólo se puede explicar por la creación de un ser diseñador de todo ese sistema. Es por eso que sigue:
Tiene que buscar: cómo se modifican los individuos, y cómo se adaptan unos a otros en esa modificación. Nos leemos! Angel "Java" Lopez |
Publicado el 17 de Agosto, 2013, 17:38
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La conferencia de David Hilbert en el Congreso Mundial de Matemáticas de 1900 en Paris, debe ser la más importante de la historia de las matemáticas, dada por un matemático y dirigida a matemáticos. Marcó una parte del desarrollo de la disciplina del siglo XX. Fue dada justo en un momento bisagra, a las puertas de nuevos aires en las matemáticas, luego de un siglo XIX que sirvió para consolidar algunos temas (como el análisis) y también como cuna de nuevos: desde mayoría de edad de la teoría de números, los campos de números algebraicos, una nueva topología, la teoría de Galois, los conjuntos de Cantor, la lógica de Boole, las álgebras de Grassman y otros, los grupos de Lie, los invariantes (donde tanto hizo el propio Hilbert), las geometrías no euclideanas, y mil temas más. Quiero hoy comenzar a escribir esta serie, para repasar la conferencia, los problemas, y las ideas de Hilbert sobre lo que es hacer matemáticas. El texto en inglés lo encuentran en: http://aleph0.clarku.edu/~djoyce/hilbert/problems.html Una introducción en: http://aleph0.clarku.edu/~djoyce/hilbert/ Una tabla de contenido en: http://aleph0.clarku.edu/~djoyce/hilbert/toc.html La conferencia en el alemán original en: http://www.mathematik.uni-bielefeld.de/~kersten/hilbert/rede.html Comento hoy el comienzo de la conferencia:
Es un tema fascinante en cualquier ciencia.
Sigue una interesante postura sobre la importancia de los problemas en una ciencia:
La solución de un problema puede dar a luz nuevos métodos y nuevas formas de encarar una rama de una disciplina. Basta ver a Newton mejorando lo que tenía en sus tiempos, prácticamente creando el análisis moderno con Liebnizt, pero no por ociosa curiosidad, sino como forma de resolver problemas, tanto físicos como matemáticos. Como sigue Hilbert abajo, no es fácil ver si un problema será valioso:
Notable apelación a la claridad, a que una teoría debe luchar por alcanzar la facilidad de comprensión, que pueda ser explicada a cualquier persona interesada.
Basta recordar la historia del teorema de Fermat, y los desarrollos implicados en su solución (algunos motivados por el teorema, otros no tango) para entender lo importante que ha sido en la historia general de las matemáticas. En los próximos párrafos Hilbert plantea ejemplos concretos de problemas importantes. Lo veremos en los próximos posts. Posts relacionados Los problemas de Hilbert Si quieren saber más sobre Hilbert, su historia de vida, los problemas y su historia, les recomiendo fervientemente el libro "El reto de Hilbert", de Jeremy J. Gray, Ed. Crítica. Nos leemos! Angel "Java" Lopez |
Publicado el 10 de Agosto, 2013, 18:44
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Comienzo esta serie de post sobre un tema que es uno de mis preferidos. No es un tema que me enseñaron en la escuela (ni primaria ni secundaria) sino que llegó con mis estudios universitarios. Y desde ese momento me comenzó a fascinar. Si bien lo que se exigía para los exámenes era poco (luego de teoría de grupos se pasaba rápidamente a anillos, y de nuevo rápido, se pasaba a espacios vectoriales, álgebra lineal que eran los temas más tratados). La teoría de grupos permea gran parte de las matemáticas. Asombra por su simplicidad y por lo profundo de algunos resultados. El grupo ha resultado ser la estructura básica, sobre la cual muchas otras se sostienen. Es resultado de la abstracción, que floreció en el siglo pasado pero comenzó a aparecer un poco antes. Durante centenares de años, las matemáticas se ocuparon de números y figuras. Aún el álgebra podía considerarse como una aritmética con variables. La geometría se funde con el álgebra con la invención del plano cartesiano. El análisis lleva a las matemáticas por nuevos rumbos y profundidades. Pero había algo simple todavía anidando en muchos rincones. El estudio de las permutaciones de las raíces de una ecuación algebraica, por Lagrange, abrió la puerta a este nuevo concepto. Gauss casi le da título oficial al estudiar las congruencias en sus Disquisitiones Arithmeticae. Galois lo vuelve a encontrar en su teoría. Jordan lo rescata del olvido. Lie nos lleva a los grupos continuos. Y así va surgiendo en la historia de las matemáticas la estructura de grupo, una estructura digamos recién llegada pero que tiene sus raíces hundidas en todo el pasado. No es hoy el momento de detenernos en la historia, ver: http://en.wikipedia.org/wiki/History_of_group_theory Vayamos directamente a plantear hoy los axiomas de grupo. Tenemos un conjunto G y una operación binaria * cerrada sobre sus elementos. Es binaria porque es una aplicación que tiene como entrada dos elementos de G, y es cerrada porque tiene como resultado un elemento de G: nunca se sale de G, y está definida como función para todo par a,b de elementos de G. Se tienen que cumplir los axiomas: G1) Existe un elemento neutro a izquierda: G2) Existe inverso a izquierda G3) La operación binaria es asociativa, es decir: Primeros ejemplos fáciles: - Todos los enteros, con operación suma, y 0 como elemento neutro - Enteros módulo m, con operación suma, y 0 como elemento neutro - Enteros módulo p primo, sin el 0, con operación multiplicación, y 1 como elemento neutro. No es trivial pero tampoco difícil encontrar la demostración de existencia de inverso. - Las rotaciones del cuadrado - Las permutaciones de n elementos Vean que en los axiomas no puse que la unidad lo fuera a derechas, y lo mismo para el inverso. Sin embargo, veremos que eso se puede deducir. Próximos pasos: - Dada la existencia de unidad a izquierda e inverso a izquierda, ver que también lo son a derecha Mientras, para que comencemos a tener un panorama del tema, ver los post relacionados: Grupos: definición y ejemplo Resolviendo un problema de grupos de Fraleigh Motivaciones para la Teoría de Grupos Teoría de Galois Teoría de Grupos, enlaces y recursos (4) Hermann Weyl, Teoría de Grupos y Teoría Cuántica Grupos y Física por Dirac Simetrías del cuadrado (3) Nos leemos! Angel “Java” Lopez |
Publicado el 8 de Agosto, 2013, 15:57
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Ya escribí (y sigo escribiendo) sobre el trabajo de David Hilbert. No alcanzaría una vida de posts para repasar todo su trabajo. Hilbert fue uno de esos matemátícos que abarcó el saber matemático de su época, y contribuyó en muchas de sus ramas. Apenas viene hoy una limitada entrega de enlaces que me interesaron: https://en.wikipedia.org/wiki/David_Hilbert David Hilbert, ForMemRS[2] (German: [ˈdaːvɪt ˈhɪlbɐt]; January 23, 1862 – February 14, 1943) was a German mathematician. He is recognized as one of the most influential and universal mathematicians of the 19th and early 20th centuries. Hilbert discovered and developed a broad range of fundamental ideas in many areas, including invariant theory and the axiomatization of geometry. He also formulated the theory of Hilbert spaces,[3]one of the foundations of functional analysis. Hilbert adopted and warmly defended Georg Cantor's set theory and transfinite numbers. A famous example of his leadership in mathematics is his 1900 presentation of a collection of problems that set the course for much of the mathematical research of the 20th century. Hilbert and his students contributed significantly to establishing rigor and developed important tools used in modern mathematical physics. Hilbert is known as one of the founders of proof theory and mathematical logic, as well as for being among the first to distinguish between mathematics andmetamathematics.[4] Hilbert's seventeenth problem - Wikipedia, the free encyclopedia Hilbert's Nullstellensatz - Wikipedia, the free encyclopedia On Fermat's Last Theorem for n=3 and n=4 The Foundations of Geometry, by David Hilbert Encontrado un error en el trabajo de Carl Cowen y Eva Gallardo sobre el problema del subespacio invariante - Gaussianos Hilbert's basis theorem - Wikipedia, the free encyclopedia Hilbert's Nullstellensatz - Wikipedia, the free encyclopedia Liang Yongqi Hilbert Syzygy Theorem - Induction step - MathOverflow Sesquilinear form - Wikipedia, the free encyclopedia Rigged Hilbert space - Wikipedia, the free encyclopedia Hilbert space - Wikipedia, the free encyclopedia Fock space - Wikipedia, the free encyclopedia Hilbert’s fifth problem and related topics « What’s new Breaking News: plagiarist Einstein replaced by Preacher Doc (Part 3) - YouTube Hilbert's fifth problem - Wikipedia, the free encyclopedia van Dantzig’s theorem « What’s new Sum of Squares Function -- from Wolfram MathWorld El Topo Lógico: La autorreferencia en la demostración de Gödel (Parte 2) El arte de hacer matemáticas | Gaussianos Mis Enlaces Nos leemos! Angel "Java" Lopez |
Publicado el 2 de Agosto, 2013, 13:11
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Llegó el tiempo de revisar las resoluciones del mes de Julio, y plantear las del nuevo mes. Tenía: - Escribir post de mi serie Leyendo a Darwin [completo] ver post He tenido bastante actividad profesional, y este mes que sigue, Agosto, no va a ser la excepción. Así que esta vez me comprometo solo a: - Escribir post de mi serie Leyendo a Darwin En el tema topología, la serie se va a acercado a temas no triviales, como la equivalencia de definir los cerrados vs los conjuntos abiertas, cerradura y un teorema de Kuratowski. La serie teoría de números recién comienza. Supongo que voy a seguir con más temas de divisibilidad antes de entrar en el gran tema iniciado por Gauss, las congruencias. Sobre Darwin, hay tanto para escribir: sobre sus cuidados al exponer su teoría, el entorno de la época, la recepción de sus ideas. Nos leemos! Angel "Java" Lopez |
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