Angel "Java" Lopez en Blog

Publicado el 10 de Agosto, 2013, 18:44

Comienzo esta serie de post sobre un tema que es uno de mis preferidos. No es un tema que me enseñaron en la escuela (ni primaria ni secundaria) sino que llegó con mis estudios universitarios. Y desde ese momento me comenzó a fascinar. Si bien lo que se exigía para los exámenes era poco (luego de teoría de grupos se pasaba rápidamente a anillos, y de nuevo rápido, se pasaba a espacios vectoriales, álgebra lineal que eran los temas más tratados).

La teoría de grupos permea gran parte de las matemáticas. Asombra por su simplicidad y por lo profundo de algunos resultados. El grupo ha resultado ser la estructura básica, sobre la cual muchas otras se sostienen. Es resultado de la abstracción, que floreció en el siglo pasado pero comenzó a aparecer un poco antes. Durante centenares de años, las matemáticas se ocuparon de números y figuras. Aún el álgebra podía considerarse como una aritmética con variables. La geometría se funde con el álgebra con la invención del plano cartesiano. El análisis lleva a las matemáticas por nuevos rumbos y profundidades. Pero había algo simple todavía anidando en muchos rincones. El estudio de las permutaciones de las raíces de una ecuación algebraica, por Lagrange, abrió la puerta a este nuevo concepto. Gauss casi le da título oficial al estudiar las congruencias en sus Disquisitiones Arithmeticae. Galois lo vuelve a encontrar en su teoría. Jordan lo rescata del olvido. Lie nos lleva a los grupos continuos. Y así va surgiendo en la historia de las matemáticas la estructura de grupo, una estructura digamos recién llegada pero que tiene sus raíces hundidas en todo el pasado.

No es hoy el momento de detenernos en la historia, ver:

http://en.wikipedia.org/wiki/History_of_group_theory

Vayamos directamente a plantear hoy los axiomas de grupo. Tenemos un conjunto G y una operación binaria * cerrada sobre sus elementos. Es binaria porque es una aplicación que tiene como entrada dos elementos de G, y es cerrada porque tiene como resultado un elemento de G: nunca se sale de G, y está definida como función para todo par a,b de elementos de G. Se tienen que cumplir los axiomas:

G1) Existe un elemento neutro a izquierda:
e *a =a    para todo elemento a del conjunto G

G2) Existe inverso a izquierda
a’ * a = e         para todo a del conjunto existe a’ su inverso a izquierda

G3) La operación binaria es asociativa, es decir:
(a *b) * c = a *(b * c)     para todo a,b,c elementos de G

Primeros ejemplos fáciles:

- Todos los enteros, con operación suma, y 0 como elemento neutro

- Enteros módulo m, con operación suma, y 0 como elemento neutro

- Enteros módulo p primo, sin el 0, con operación multiplicación, y 1 como elemento neutro. No es trivial pero tampoco difícil encontrar la demostración de existencia de inverso.

- Las rotaciones del cuadrado

- Las permutaciones de n elementos

Vean que en los axiomas no puse que la unidad lo fuera a derechas, y lo mismo para el inverso. Sin embargo, veremos que eso se puede deducir.

Próximos pasos:

- Dada la existencia de unidad a izquierda e inverso a izquierda, ver que también lo son a derecha
- Probar la unicidad de la unidad del grupo y del inverso de cada elemento

Mientras, para que comencemos a tener un panorama del tema, ver los post relacionados:

Grupos: definición y ejemplo
http://ajlopez.zoomblog.com/archivo/2009/09/20/grupos-definicion-y-ejemplo.html

Resolviendo un problema de grupos de Fraleigh
http://ajlopez.zoomblog.com/archivo/2009/09/17/resolviendo-un-problema-de-grupos-del-.html

Motivaciones para la Teoría de Grupos
http://ajlopez.zoomblog.com/archivo/2009/09/13/motivaciones-para-la-Teoria-de-Grupos.html

Teoría de Galois
http://ajlopez.zoomblog.com/archivo/2008/02/14/teoria-de-Galois.html

Teoría de Grupos, enlaces y recursos (4)
http://ajlopez.zoomblog.com/archivo/2013/05/15/teoria-de-Grupos-Enlaces-y-Recursos-4.html

Hermann Weyl, Teoría de Grupos y Teoría Cuántica
http://ajlopez.zoomblog.com/archivo/2013/04/11/hermann-Weyl-Teoria-de-Grupos-y-Teoria.html

Grupos y Física por Dirac
http://ajlopez.zoomblog.com/archivo/2011/01/22/grupos-y-Fisica-por-Dirac.html

Simetrías del cuadrado (3)
http://ajlopez.zoomblog.com/archivo/2011/05/06/simetrias-del-cuadrado-Parte-3.html

Nos leemos!

Angel “Java” Lopez
http://www.ajlopez.com
http://twitter.com/ajlopez