Angel "Java" Lopez en Blog

Publicado el 23 de Agosto, 2013, 13:25

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Sigo leyendo la conferencia de David Hilbert:

The mathematicians of past centuries were accustomed to devote themselves to the solution of difficult particular problems with passionate zeal. They knew the value of difficult problems. I remind you only of the "problem of the line of quickest descent," proposed by John Bernoulli. Experience teaches, explains Bernoulli in the public announcement of this problem, that lofty minds are led to strive for the advance of science by nothing more than by laying before them difficult and at the same time useful problems, and he therefore hopes to earn the thanks of the mathematical world by following the example of men like Mersenne, Pascal, Fermat, Viviani and others and laying before the distinguished analysts of his time a problem by which, as a touchstone, they may test the value of their methods and measure their strength. The calculus of variations owes its origin to this problem of Bernoulli and to similar problems.

Es muy interesante el problema de Bernoulli. Ver

http://en.wikipedia.org/wiki/Brachistochrone_curve

Vean que tiene su relación con el principio de Fermat

http://en.wikipedia.org/wiki/Fermat%E2%80%99s_principle

Y yo recordaría a Maupertius

http://en.wikipedia.org/wiki/Maupertuis'_principle

Todos son pioneros de lo que luego fue el cálculo variacional. Bernoulli se planteó un problema maximal donde la solución no es un número, sino una curva. Lo que siguió desarrollándose como cálculo variacional, ver:

http://en.wikipedia.org/wiki/Calculus_of_variations

maximizando y minimizando funcionales, no puede sobreestimarse: permea gran parte de la física matemática actual. Y todo a partir de un problema (y otros que le siguieron). Tengo que revisar el excelente "History of Mechanics" de Rene Dugas. Les debo, creo que era de Poincaré, otro libro sobre el desarrollo del cálculo variacional desde el punto de vista de la física, en particular, de la mecánica. Ver también "Filosofía de la Física", de Torretti, y ver la historia de lagrangianos y hamiltonianos. Tengo que ver también el capítulo 24 de Morris Kline, su clásica historia del pensamiento matemático. Ese capítulo está dedicado al cálculo variacional. Ver también "Variational Principles in Dynamics and Quantum Theory" de Yourgrau y Mandelstam. Así como los clásicos Goldstein, Penrose, y más. (Nota personal, ver mis Reading notes del día de hoy).

Ahora Hilbert pasa a otro problema:

Fermat had asserted, as is well known, that the diophantine equation

xn + yn = zn

(x, y and z integers) is unsolvable—except in certain self evident cases. The attempt to prove this impossibility offers a striking example of the inspiring effect which such a very special and apparently unimportant problem may have upon science. For Kummer, incited by Fermat's problem, was led to the introduction of ideal numbers and to the discovery of the law of the unique decomposition of the numbers of a circular field into ideal prime factors—a law which today, in its generalization to any algebraic field by Dedekind and Kronecker, stands at the center of the modern theory of numbers and whose significance extends far beyond the boundaries of number theory into the realm of algebra and the theory of functions.

El tema de Kummer llegando a números ideales, y EL GRAN avance de Dedeking para crear los ideales y generalizar ahí en ese nuevo ámbito el teorema fundamental de la aritmética dan para un libro completo aparte. Vean de nuevo cómo un problema, aún cuando estaba sin resolver en aquellos tiempos, dio sus frutos, inesperados. Hilbert estaba relacionado con esos temas con su incursión en la teoría de números algebraicos. Y ahora cambia de ámbito, hacia la física:

To speak of a very different region of research, I remind you of the problem of three bodies. The fruitful methods and the far-reaching principles which Poincaré has brought into celestial mechanics and which are today recognized and applied in practical astronomy are due to the circumstance that he undertook to treat anew that difficult problem and to approach nearer a solution.

Les recomiendo ver "De aquí al infinito" de Ian Steward, en español vía editorial Crítica, para más información sobre el desarrollo de Poincaré, que haciendo un salto imaginativo, traslada el problema a un tema topológico.

The two last mentioned problems—that of Fermat and the problem of the three bodies—seem to us almost like opposite poles—the former a free invention of pure reason, belonging to the region of abstract number theory, the latter forced upon us by astronomy and necessary to an understanding of the simplest fundamental phenomena of nature.

Hay una tensión en la historia de las matemáticas, en su relación con la realidad y con la física. Tema para otro post.

Nos leemos!

Angel "Java" Lopez
http://www.ajlopez.com
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