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29 de Septiembre, 2013, 14:39
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Gödel metric - Wikipedia, the free encyclopedia
http://en.wikipedia.org/wiki/G%C3%B6del_metric
As chaos celebrates its 50th birthday, biophysicist develops a new method to visualize it
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An Unheralded Breakthrough: The Rosetta Stone of Mathematics | Guest Blog, Scientific American Blog Network
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How I Rediscovered the Oldest Zero in History : The Crux
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The Knight-Darwin Law
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All Squared, Number 6: Favourite maths books (part 2) | The Aperiodical
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All Squared, Number 5: Favourite maths books (part 1) | The Aperiodical
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Bezier Curves and Picasso | Math n Programming
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Eduardo Sáenz de Cabezón, ganador de Famelab España 2013 - Gaussianos | Gaussianos
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El problema de De Beaune, uno de los primeros que resolvió el Cálculo - Gaussianos | Gaussianos
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17 ecuaciones que cambiaron el mundo, o por qué sí sirve de mucho estudiar matemáticas y ciencia | Microsiervos (Ciencia)
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Grace Murray Hopper, mucho más que la mamá del COBOL - Gaussianos | Gaussianos
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Number theory - Wikipedia, the free encyclopedia
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Michael Chwe, Author, Sees Jane Austen as Game Theorist - NYTimes.com
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Women in physics and mathematics
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The work of Endre Szemerédi | Gowers's Weblog
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22 de Septiembre, 2013, 14:10
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El pensamiento de Darwin ilustra cómo la ciencia encara los problemas que se plantea. La biología tiene un carácter que nos permite ver que la ciencia es más que física y modelos matemáticos. En el anterior post, comentaba lo que escribía Darwin sobre los "medios de modificación y adaptación mutua". No vale achacarle al medio el origen de las modificaciones. Hay algo más, y Darwin trabajó para encontrarlo. Un camino que encontró es, no fijarse directamente en lo natural, sino prestar atención a un asunto más "artificial": la modificación y adaptación en especies manipuladas por los seres humanos. Leo:
Al principio de mis observaciones me pareció probable que un estudio cuiddoso de los animales domésticos y de las plantas cultivadas ofrecería las mayores probabilidades de resolver este oscuro problema. No he sido defraudado: en este y en todos los otros casos dudosos he hallado invariablemente que nuestro conocimiento, aun imperfecto como es, de la variación en estado doméstico, proporciona la guía mejor y más segura. Puedo aventurarme a manifestar mi convicción sobre el gran valor de estos estudios, aunque han sido muy comúnmente descuidados por los naturalistas.
Es por eso que dedica el primer capítulo a la variación en estado doméstico. Escribe Darwin:
... veremos cuán grande es el poder del hombre al acumular por su selección ligeras variaciones sucesivas.
A veces no tan "ligeras". como la duplicación genética en el maíz doméstico. Ver un tema técnico:
Patterns of Chromosomal Duplication in Maize and Their Implications for Comparative Maps of the Grasses
The Maize Poster
Physical and Genetic Structure of the Maize Genome Reflects Its Complex Evolutionary History
O la conservación de la duplicación de la cantidad de cromosomas en el trigo doméstico y otros:
http://en.wikipedia.org/wiki/Polyploidy
Wheat, for example, after millennia of hybridization and modification by humans, has strains that are diploid (two sets of chromosomes), tetraploid (four sets of chromosomes) with the common name of durum or macaroni wheat, and hexaploid (six sets of chromosomes) with the common name of bread wheat.
Darwin no descuida el estado natural, pero declara:
Pasaré después a la variación de las especies en estado natural, pero, desgraciadamente me veré obligado a tratar este asunto con demasiada brevedad, pues sólo puede ser tratado adecuadamente dando largos catálogos de hechos.
Ese trabajo fue desarrollado por varios biólogos desde el tiempo de Darwin. Hoy tenemos anatomía comparada, más fósiles, y el auxilio de la genética, que no existía en los tiempos del autor del Origen de las especies.
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20 de Septiembre, 2013, 10:40
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An Introduction to Kolmogorov Complexity and Its Applications, 3rd Edition
http://www.scribd.com/doc/38725958/An-Introduction-to-Kolmogorov-Complexity-and-Its-Applications-3rd-Edition
Andy's Math/CS page: A Damn Good Puzzle (Oops)
http://andysresearch.blogspot.com.ar/2006/12/feel-like-exercise-in-kind-of-infinite.html
D¨urer"s Magic Square, Cardano"s Rings, Prince Rupert"s Cube, and Other Neat Things
http://www.math.usma.edu/people/rickey/papers/ShortCourseAlbuquerque.pdf
El cubo de Ruperto, o cuál es el cubo de mayor tamaño que puede atravesar a otro cubo - Gaussianos | Gaussianos
http://gaussianos.com/el-cubo-de-ruperto-o-cual-es-el-cubo-de-mayor-tamano-que-puede-atravesar-a-otro-cubo/
(Vídeo) Calculus Rhapsody, el Bohemian Rhapsody del Cálculo - Gaussianos | Gaussianos
http://gaussianos.com/video-calculus-rhapsody-el-bohemian-rhapsody-del-calculo/
Geometry History - Interesting Facts & Information
http://www.kidsmathgamesonline.com/facts/geometry/history.html
Pi history
http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk/~history/HistTopics/Pi_through_the_ages.html
Cynthia Lanius' Lessons: The History of Geometry
http://math.rice.edu/~lanius/Geom/his.html
A Brief History of Geometry
http://www.thegeodes.com/templates/geometryhistory.asp
Geometry History
http://library.thinkquest.org/C006354/history.html
Rhind Mathematical Papyrus 2/n table - Wikipedia, the free encyclopedia
http://en.wikipedia.org/wiki/Rhind_Mathematical_Papyrus_2/n_table
Rhind Mathematical Papyrus - Wikipedia, the free encyclopedia
http://en.wikipedia.org/wiki/Rhind_Mathematical_Papyrus
Ahmes - Wikipedia, the free encyclopedia
http://en.wikipedia.org/wiki/Ahmes
History of geometry - Wikipedia, the free encyclopedia
http://en.wikipedia.org/wiki/History_of_geometry
Alan Turing"s Legacy - NYTimes.com
http://www.nytimes.com/2012/06/23/opinion/alan-turings-legacy.html?_r=1
Omega and why maths has no TOEs | plus.maths.org
http://plus.maths.org/content/os/issue37/features/omega/index
G J Chaitin Home Page
http://www.umcs.maine.edu/~chaitin/
Michael Aschbacher y la demostración más larga de la historia de las matemáticas - Gaussianos | Gaussianos
http://gaussianos.com/michael-aschbacher-y-la-demostracion-mas-larga-de-la-historia-de-las-matematicas/
Integral domains and Fields
http://www-history.mcs.st-and.ac.uk/~john/MT4517/Lectures/L4.html
Example of Integral Domain - YouTube
http://www.youtube.com/watch?v=xmAA8eN2UG8
Mis enlaces
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19 de Septiembre, 2013, 16:54
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18 de Septiembre, 2013, 7:19
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Vuelvo a publicar temario de Café Filosófico, de aquí, Buenos Aires, Argentina. Ver más detalles (lugar, días, horario, costo) en:
http://www.filosofiaparalavida.com.ar/cafefilosofico.htm
Me llega el temario de esta semana (sin acentos):
La neurociencia esta revelando los secretos de nuestras emociones.
Compartiremos el contenido de un libro reciente e inedito en el pais sobre este tema, escrito por el investigador Giovanni Frazzetto. Puede la ciencia explicar por si misma por que sentimos lo que sentimos? La filosofia es un buen complemento para el analisis de las emociones, que invaden cada porcion de nuestra vida. Un minuto estamos tristes, enseguida sentimos esperanza. Algunas emociones nos persiguen, otras nos eluden. Nos transportan lejos. Por eso es que a veces pensamos como podriamos librarnos de algunas de ellas. Es el dolor psiquico similar al dolor fisico? Tienen aspectos comunes en la configuracion cerebral que corresponde a cada uno de ellos? Que puede revelarnos sobre las emociones el escaneo del cerebro? Haremos un viaje a traves de algunas de las emociones mas comunes de la vida cotidiana. El impacto emocional de drogas paliativas como los opiaceos o la morfina.
No conocía Giovanni Frazzetto, ver más en:
http://www.giovannifrazzetto.com/gf/file.html
Las experiencias de exclusion y su impacto a nivel neural. Un analisis de Wittgenstein sobre las emociones. La serotonina (hormona "del placer") y los estados emocionales. La ansiedad: el miedo a lo desconocido. William James y la relacion de las emociones con el cuerpo. La diferencia entre el miedo y la ansiedad: comparten la misma estructura cerebral, responden a los mismos circuitos neuronales o funcionan en forma independiente? La lectura que Giovanni Franzzetto hace del analisis de Heidegger sobre el tema de la ansiedad. Como podemos huir de la ansiedad? Como es posible que el cerebro aprenda a desviar la atencion? El contraste entre racionalidad y sentimientos, ciencia y poesia. Como enfrentando este contraste, podemos entendernos mejor a nosotros mismos y a los demas. Como se ve el efecto de la psicoterapia en el escaneo del cerebro.
Tampoco conocía el trabajo de Wittgenstein sobre las emociones (que al parece abarcó varios periodos de su vida). Ver
Wittgensteinian Emotions and the Anxieties of a Human Life
Emotions & Understanding: Wittgensteinian Perspectives (Review)
The Wittgenstein network
La neurociencia tiene tanto para revelarnos sobre nuestra vida que algunos de sus terminos ya ingresaron al lenguaje popular: solemos decir que "necesitamos adrenalina", que la dopamina estimula el cerebro y que las endorfinas son opiaceos "hechos en casa". Podremos algun dia grabar los sueños y comprar experiencias artificiales (peliculas para la mente)? Como puede el cerebro aprender a desviar la atencion? La plasticidad del cerebro: como podemos condicionarnos a nosotros mismos para no ser dominados por la ansiedad.
Como transitar el proceso del duelo. Cual es el proposito del llanto?
Por que lloramos de alegria? Es posible divorciar las categorias psiquiatricas de su contexto social? Veremos algunos aspectos particulares del placer, y algunas rutas que pueden ayudarnos a alcanzar la alegria. Los rasgos de la risa. El estudio de Robert Provine sobre los componentes de la risa. Las neuronas espejo y la risa. Por que suele ser contagiosa y no es solo un signo de alegria y entretenimiento? Que animales rien? Como lidiar mejor con las emociones, construyendo nuevas rutas en nuestro cerebro.
Giovanni Frazzetto. Darwin. William James. Wittgenstein.
Sí conozco el tema en Darwin. Ver:
The Expression of the Emotions in Man and Animals
The Expression of the Emotions
Expression of Emotions (pdf)
Expression of Emotions (text)
Hay más ediciones en http://darwin-online.org.uk/contents.html#books
(Adjuntamos un par de fragmentos sobre el tema)
La felicidad es buena para el cuerpo, pero es el dolor lo que desarrolla las fuerzas de la mente. Marcel Proust.
Cuando hacemos terapia en el cerebro se producen cambios en las conexiones sinapticas y se establece una nueva realidad mental. Un estudio con resonancias magneticas revelo que cuatro semanas de psicoterapia normalizan la hiperactividad de la amigdala (la region que regula las emociones) en pacientes que experimentan ataques de panico.
Abordar las emociones con una estrategia distinta es como tomar otro camino para llegar al mismo lugar. No se trata solo de una metafora.
En el escaneo del cerebro se ven estas nuevas rutas.
Hay que tener cuidado con las afirmaciones de la neurociencia (o de las noticias publicadas basadas en la neurociencia) (como muestra, basta ver cómo se han apropiado en otros ámbitos del tema de las neuronas espejo). Estamos en pañales para explicar la actividad cerebral. Es como estudiar cómo funciona un auto teniendo solo una especie de escaner externo de temperatura. Pero reconozco que en las últimas décadas se avanzó muchísimo en las técnicas de observación. Ver por ejemplo:
http://en.wikipedia.org/wiki/Optogenetics
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17 de Septiembre, 2013, 7:02
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Los puntos de acumulación de un conjunto nacieron en el análisis matemático, en espacios métricos antes que en topología. La idea es representar con un punto de acumulación una solución a una serie convergente. Por ejemplo, sea la recta real, con su topología habitual de entornos abiertos. La serie de "puntos"
1, 1/2, 1/4, 1/8, 1/16, ....
tiene, como conjunto, un punto de acumulación: el 0 (cero). Cualquier entorno de 0 tiene puntos de esa serie. Es más, cualquier entorno de 0 tiene INFINITOS puntos de ese conjunto.
Por un tiempo, pensé que siempre era así: sea un espacio topológico <X,T>, sea M un subconjunto de X, entonces, todos los puntos de acumulación de M tienen, en todos sus entornos, infinitos puntos de M (aparte de ellos mismos). Uno podría decir: ah, pero ¿qué pasa si M tiene una cantidad finita de puntos/elementos? Pues, entonces, QUE no hay puntos de acumulación.
Pero NONES. Hay ejemplos puntos de acumulación de M que pueden tener una cantidad finita de elementos de M en sus entornos. Veamos un caso.
Sea el conjunto X, compuesto de 4 elementos: a, b, c, d:
Sean sus abiertos los conjuntos { a, b }, { a, b, c }:
y los { a, b, d } y el X completo { a, b, c, d }:
es decir, todos los subconjuntos de X que contengan { a, b }. Luego, los conjuntos de puntos aislados { c }, y { d } los consideramos también conjuntos abiertos:
así como al par { c, d } y como siempre, al conjunto vacío también:
Si hacemos todas las combinaciones, veremos que estos conjuntos realmente son abiertos de una topología. Toda unión de ellos queda en el conjunto. Y las intersecciones (finitas) también quedan en el conjunto de los abiertos.
Consideremos M = { b }. Un conjunto cualquiera (que no es abierto), compuesto de un punto aislado. Uno podría esperar que no tiene puntos de acumulación (como no los tienen ni { c } ni { d }). Pero hete aquí que estaríamos equivocados. Tenemos al punto a como PUNTO DE ACUMULACION de M. Todo entorno de a TIENE PUNTOS DE M (todos sus entornos tienen a b). Y una cantidad finita de ellos. Así que no podemos hablar de intersecciones con infinitos puntos siempre.
En el próximo post, comentaré una o dos condiciones que se puede agregar a un espacio topológico para que podamos hablar de puntos de acumulación de M con una cantidad infinita de puntos de M en sus entornos (de hecho, una de esas condiciones fue considerada como axioma de los primeros espacios topológicos que se plantearon).
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14 de Septiembre, 2013, 15:20
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Sigo leyendo y comentando la conferencia de Hilbert:
Fermat had asserted, as is well known, that the diophantine equation
xn + yn = zn
(x, y and z integers) is unsolvable—except in certain self evident cases. The attempt to prove this impossibility offers a striking example of the inspiring effect which such a very special and apparently unimportant problem may have upon science. For Kummer, incited by Fermat's problem, was led to the introduction of ideal numbers and to the discovery of the law of the unique decomposition of the numbers of a circular field into ideal prime factors—a law which today, in its generalization to any algebraic field by Dedekind and Kronecker, stands at the center of the modern theory of numbers and whose significance extends far beyond the boundaries of number theory into the realm of algebra and the theory of functions.
Fermat, Kummer (números ideales), Dedekind (gran creador, ideales), Kronecker (siguió un camino parecido): toda una cadena para explorar. Ahora Hilbert pasa a un problema relacionado con la física:
To speak of a very different region of research, I remind you of the problem of three bodies. The fruitful methods and the far-reaching principles which Poincaré has brought into celestial mechanics and which are today recognized and applied in practical astronomy are due to the circumstance that he undertook to treat anew that difficult problem and to approach nearer a solution.
The two last mentioned problems—that of Fermat and the problem of the three bodies—seem to us almost like opposite poles—the former a free invention of pure reason, belonging to the region of abstract number theory, the latter forced upon us by astronomy and necessary to an understanding of the simplest fundamental phenomena of nature.
But it often happens also that the same special problem finds application in the most unlike branches of mathematical knowledge. So, for example, the problem of the shortest line plays a chief and historically important part in the foundations of geometry, in the theory of curved lines and surfaces, in mechanics and in the calculus of variations. And how convincingly has F. Klein, in his work on the icosahedron, pictured the significance which attaches to the problem of the regular polyhedra in elementary geometry, in group theory, in the theory of equations and in that of linear differential equations.
Sobre el trabajo de Klein ver
http://en.wikipedia.org/wiki/Icosahedron
http://en.wikipedia.org/wiki/Full_icosahedral_group
http://en.wikipedia.org/wiki/Icosahedral_symmetry#Related_geometries
Lectures on the Icosahedron (Dover Phoenix Editions)
On Klein's Icosahedral Solution of the Quintic
In order to throw light on the importance of certain problems, I may also refer to Weierstrass, who spoke of it as his happy fortune that he found at the outset of his scientific career a problem so important as Jacobi's problem of inversion on which to work.
Sobre el tema Weierstrass y el problema de inversión de Jacobi, ver:
http://en.wikipedia.org/wiki/Carl_Gustav_Jacob_Jacobi
"Algebraic truths" vs "geometric fantasies": Weierstrass' Response to Riemann http://arxiv.org/pdf/math/0305022v1.pdf
Karl Weierstrass (1815–1897) una muy interesante y corta biografía, donde se menciona el problema
http://math.nist.gov/opsf/personal/weierstrass.html
Hilbert quiere decir: los problemas importan, vienen de distintas fuentes, y muestra el vigor de las ramas de las matemáticas.
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Publicado el
13 de Septiembre, 2013, 11:45
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Vuelvo a publicar un temario, el de esta semana, de Café filosófico (acá, en Buenos Aires, Argentina), ver más detalles en:
http://www.filosofiaparalavida.com.ar/cafefilosofico.htm
Copio el temario, porque después desaparece de esa página. Leo:
Durante la primera hora de exposición teórica compartiremos en un lenguaje absolutamente accesible el contenido de uno de los trabajos académicos más serios sobre el tema de la indecisión. A diferencia de la teoría de la decisión, que cuenta con copiosa bibliografía a nivel mundial, la indecisión ha sido un fenómeno escasamente estudiado. Aunque son cuestiones contiguas, no se trata exactamente del mismo tema. La teoría de la decisión se ocupa fundamentalmente de las consideraciones que se tienen en cuenta para tomar la mejor decisión, y no focaliza en los obstáculos que se anteponen cuando desearíamos tomar una decisión y no lo hacemos. En nuestro próximo encuentro compartiremos el contenido de uno de los escasos trabajos de revisión de la bibliografía científica existente hasta el momento en torno al tema de la indecisión, escrito por Christopher J.Anderson, de la Universidad de Albania (State University of New York). ¿Cuáles son las diversas razones por las cuales a veces nos cuesta tanto tomar decisiones? Si bien todos vivimos a menudo la experiencia de la indecisión, con frecuencia no decidir opera en contra de nuestros objetivos de vida.¿Por qué tan a menudo los seres humanos evitan tomar decisiones? La filosofía de no hacer nada: formas de evitar la toma de decisiones. ¿Qué tienen en común los diversos casos de indecisión? ¿En qué se diferencian? De qué manera conocer mejor nuestra forma de no decidirnos puede contribuir a la resolución de problemas. La diferencia entre estar indeciso y procastinar (definiremos el término “procastinación”) La incidencia del stress en la indecisión. Las características que presenta la duda en la era de la información. El rol que juega la razón y el que juegan las emociones a la hora de evitar una decisión. ¿Por qué, según Anderson, nuestra evolución cultural hace que las personas cada día se vuelvan más indecisas? La indecisión y el statu quo. ¿Qué es el “sesgo del statu quo”? La investigación empírica en torno a la indecisión. Los tres tipos de indecisión. ¿Qué evidencia la investigación científica sobre las elecciones que se efectúan entre opciones muy parecidas? ¿A qué se llama “inercia de la inacción”? ¿Qué es el pensamiento contrafáctico y cómo opera en la indecisión? ¿De qué manera incide el arrepentimiento por acciones pasadas y la imagen de un posible arrepentimiento por acciones futuras? ¿Qué ocurre cuando se nos presenta una segunda oportunidad, menos ventajosa que la primera que dejamos pasar y no aprovechamos? ¿De qué formas anticipamos el futuro sobre lo que podría ocurrir? ¿Qué es el síndrome del “viejo sargento”, descripto por Janis and Mann? El rol del tiempo (y del apuro) en la toma de decisiones. Las emociones anticipatorias negativas a la hora de elegir. Dos importantes principios para cualquier trabajo sobre la indecisión: el principio de conservación de la energía y el de la múltiple causación. Reflexionaremos también sobre otro artículo en torno a la indecisión, escrito por Terry Connolly y por Marcel Zeelenberg (Universidades de Arizona y de Tilburg), que propone la Teoría de la justificación de las decisiones. ¿Las personas se arrepienten más de lo que hicieron o de lo que no hicieron? Sesgos de la indecisión. Comentaremos también otro trabajo que reflexiona en una línea completamente diferente en torno al tema de la indecisión, escrito por uno de los filósofos argentinos contemporáneos más relevantes: Mario Bunge y un elogio de la indecisión. Las estrategias que propone Anderson para evitar las indecisiones que obran en contra de nuestros propósitos de vida.
Christopher Anderson. Mario Bunge. Janis. Mann. Lowestein. Weber. Welch.
Una de las formas de la indecisión, la “indecisión inercial” fue testeada en el siguiente experimento científico. Algunos participantes se habían perdido la hipotética posibilidad de comprar un objeto por $40, y la mayoría de ellos se negó a comprarlo luego por $80, aún sabiendo que $80 era un 10% más barato que el precio habitual de ese producto. Las personas no consideran los méritos de sus elecciones independientemente de sus elecciones pasadas. Devaluar la presente oportunidad a veces les permite resolver la disonancia cognitiva de la imagen que mantienen de sí mismos, y pueden llegar a excluir las nuevas opciones devaluándolas, como una forma de aminorar las emociones negativas de arrepentimiento por haber perdido la primera oportunidad. (Christopher Anderson)
Siempre se nos exige que tomemos decisiones, y que lo hagamos enseguida. El apremio de la vida moderna es tal, que los indecisos son mal mirados. Suele preferirse un decisor rápido a uno lento, independientemente de la calidad de las decisiones que tomen uno y otro. (…) La teoría de la decisión da por sentado que no hay lugar para la indecisión ni, por lo tanto, para la inacción. (…) La libertad también es el poder de no tomar una decisión cuando uno no decide tomarla (Mario Bunge)
Me llamó la atención que esta vez aparezca Mario Bunge, el beato!
Un comentario corto: en mi profesión, el desarrollo de software, apareció en estos últimos años el llamado movimiento ágil, donde se promueve, entre otras cosas, el aceptar el cambio. Muchas de las disciplinas que propone permite diferir la decisión de algo durante la vida de un proyecto. Ver
http://agilemanifesto.org/
"Responding to change over following a plan"
Tengo varios posts mencionando al Café filosófico. Algunos de ellos:
Café Filosófico, El exceso de pensamiento
La Soledad en Café Filosófico
Café Filosófico, Cómo nos vemos ante los ojos de los demás
Nos leemos!
Angel "Java" Lopez
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11 de Septiembre, 2013, 12:38
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En estos días, estoy estudiando y leyendo bastante sobre matemáticas, y sobre la historia de las matemáticas. Pueden ver mi actividad en Twitter o en los posts que escribo cada mes. Ayer, en mis lecturas, me encuentro con
The Elements of the Theory of Algebraic Numbers
por Leigh Wilber Reid (Professor of Mathematics in Haverford College)
publicado en Nueva York, 1910, que notablemente tiene una introducción escrita por el mismísimo David Hilbert (en alemán, traducida al inglés). No quiero olvidarme de este dato, así que hoy lo comparto con este post:
The theory of numbers is a magnificent structure, created and developed by men who belong among the most brilliant investigators in the domain of the mathematical sciences: Fermat, Euler, Lagrange, Legendre, Gauss, Jacobi, Dirichlet, Hermite, Kummer, Dedekind, and Kronecker. All these men have expressed their high opinion respecting the theory of numbers in the most enthusiastic words and up to the present there is indeed no science so highly praised by its devotees as is the theory of numbers. In the theory of numbers, we value the simplicity of its foundations, the exactness of its conceptions and the purity of its truths; we extol it as the pattern for the other sciences, as the deepest, the inexhaustible source of all mathematical knowledge, prodigal of incitements to investigatiion in other department of mathematics, such as algebra, the theory of functions, analysis and geometry.
Moreover, the theory of numbers is independent of the change of fashion and in it we do not see, as is often the case in other departments of knowledge, a conception or method at one time given undue prominence, at another suffering undeserved neglect; in the theory of numbers the oldest problema is often to-day modern, like a genuine work of art from the past. Nevertheless it is true now as formerly, a fact which Gauss and Dirichlet lamented, that only a small number of mathematicians busy themselves deeply with the theory of numbers and attain to a full enjoyment of its beauty. Especially outside of Germany and among young mathematicians arithmetical knowledge is little disseminated. Every devotee of the theory of numbers will desire that it shall be equally a possession of all nations and be cultivated and spread abroad, especially among the younger generation to whom the future belongs. Such is the aim of this book. May it reach this goal, not only by helping to make the elements of the theory of numbers the common property of all mathematicians, but also by serving as an introduction to the original works to which reference is made, and by inciting to independent activity in the field of the theory of numbers. On account of the devoted absorption of the author in the theory of numbers and the comprehensive understanding with which he has presented into its nature, we may rely upon the fulfilment of this wish.
Vean que menciona que la teoría de números no está muy difundida fuera de Alemania, como era el caso entonces. Para Hilbert, teoría de números es teoría de números algebraicos, en gran medida. Tengo que averiguar cómo conoció al profesor Reid. No parece que haya relación con Constance Reid, la biógrafa de Hilbert (y hermana de Julia Robinson, que tuvo su participación en la resolución de uno de los problemas de Hilbert).
Nos leemos!
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6 de Septiembre, 2013, 14:42
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Veamos hoy dos puntos que habían quedado pendientes del post anterior. En la lista de axiomas para un grupo, sólo pedí la existencia de elemento neutro por izquierda:
e * a =a
para todo elemento a del grupo G; y existencia de elemento inverso a izquierda:
a' * a = e
para todo elemento a del grupo existe a' su inverso a izquierda
Demostremos hoy:
- La existencia de elemento neutro a derecha
- La existencia de elemento inverso a derecha
- La unicidad del elemento neutro (es el mismo a derecha que a izquierda)
- La unicidad del elemento inverso (idem)
Sea el elemento a de G, y su inverso sea a'. Partamos de saber que
a' * a = e
Multiplicando a derecha por a'
a' * a * a' = e * a'
No hace falta poner paréntesis en el desarrollo de la izquierda porque la operación del grupo es asociativa, es decir sabemos que
(a * b) * c = a * (b * c)
Ahora bien sabemos que
e * a' = a'
por el primer axioma de elemento neutro a izquierda. Reemplazando e * a' por a' queda
a' * a * a' = a'
Por el axioma de existencia de inverso, el elemento a' tiene un inverso a izquierda, digamos a'', que cumple entonces:
a'' * a' = e
Multiplicamos lo de arriba por a'' a izquierda:
a'' * a' * a * a' = a'' * a'
Reemplazando a'' * a por e:
e * a * a' = e
a * a' = e
con lo que a' es inverso A DERECHA de a, como queríamos demostrar. Sabiendo esto, podemos escribir desde:
e * a = a
cambiamos e por a * a':
a * a' * a = a
cambiamos a' * a por e:
a * e = a
y queda que el neutro a izquierda es también elemento neutro a derecha.
Si el elemento b tuviera DOS elementos inversos por izquierda, digamos b' y b'', sería:
b' * b = b'' * b = e
Multiplicamos a la derecha por uno de los inversos de izquierda (sabemos que es inverso a derecha ahora):
b' * b * b' = b'' * b * b'
b' * e = b'' * e
como e es elemento neutron a derecha por lo que demostramos arriba, queda:
b' = b''
unicidad del inverso. De la misma forma se demuestra la unicidad del elemento neutro.
La primera vez que vi los axiomas de grupo los aprendí con la unicidad y el izquierda y a derecha afirmado DIRECTAMENTE en los axiomas. Encuentro estos axiomas reducidos en el excelente libro Grupos Continuos de Pontrjagin. En general, los matemáticos no se preocupan mucho por partir de los axiomas reducidos o no. Lo importante es la teoría de grupos que surge. Pero me pareció interesante compartir este "approach" que encontré ya casi un cuarto de siglo atrás.
Nos leemos!
Angel “Java” Lopez
http://www.ajlopez.com
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Publicado el
3 de Septiembre, 2013, 13:54
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Voy a revisar hoy mis resoluciones del mes pasado:
- Escribir post de mi serie Leyendo a Darwin [completo] ver post
- Escribir post de historia de las matemáticas [completo] ver post sobre los problemas de Hilbert
- Escribir post de mi serie teoría de números [pendiente]
- Escribir post de mi serie topología general [completo] ver post
- Seguir estudiando teoría de números [completo]
También estudié y escribí, entre otros:
Teoría de Grupos (1) Axiomas
David Hilbert: Enlaces y Recursos (1)
Los problemas de Hilbert (2)
Resoluciones para este nuevo mes de Septiembre:
- Escribir post de mi serie Leyendo a Darwin
- Escribir post de mi serie Teoría de números
- Escribir post de mi serie Los problemas de Hilbert
- Escribir post de mi serie Topología general
- Escribir post de mi serie Teoría de Grupos
- Escribir post de historia de las matemáticas, tema a elegir
- Seguir estudiando teoría de grupos
Este mes viene algo agitado, porque tengo varios compromisos de mi actividad profesional, el desarrollo de software. Pero espero igual poder cumplir con esta lista de resoluciones.
Nos leemos!
Angel "Java" Lopez
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http://twitter.com/ajlopez
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Publicado el
1 de Septiembre, 2013, 11:15
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Veamos hoy de demostrar el recíproco de lo que vimos en el anterior post. Siempre partimos de la existencia de una topología. Hoy nos toca demostrar:
Sea M un conjunto que contenga todos sus puntos de acumulación. Entonces, M es cerrado
(en el anterior post demostramos que si M es cerrado, entonces contiene todos sus puntos de acumulación).
Bien, sea X el espacio topológico completo. Para demostrar que M es cerrado nos basta con mostrar que X-M es abierto. Sea un punto cualquiera a perteneciente a X-M. Ese punto a no puede ser punto de acumulación de M, pues no pertenece a M y por hipótesis, supusimos que todos los puntos de acumulación de M están en ese conjunto. Entonces, tiene que haber un entorno de a que no contenga puntos de M. Si no existiera ese entorno, entonces el punto sería de acumulación.
Sea E(a) ese entorno del punto a. Entonces, por definición de entorno, existe un abierto, digamos A(a), contenido en E(a), y que contiene al punto a. Esa era la definición de entorno de un punto. Y como el abierto A(a) está contenido en el entorno E(a), y este entorno no tiene puntos comunes con M, queda que el abierto A(a) TAMPOCO tiene puntos de M. Está totalmente "despegado" de M, en forma intuitiva. Y ese abierto A(a), por no tener puntos en común con M, está entonces totalmente contenido en el complemento X-M.
Todo esto lo afirmamos para cualquier punto a de X-M. Vemos que todos esos puntos están "despegados topológicamente" de M. Nos queda que podemos asignar a CADA punto a de X-M, un abierto A(a) contenido en X-M. Es decir, X-M es la unión de una colección arbitraria de abiertos. Al unir todos esos abiertos A(a), haciendo que el punto a sea como una variable que recorre todos los puntos de X-M, conseguimos de nuevo al conjunto X-M. Sabemos que la unión arbitraria de abiertos es un abierto, por las propiedades de abierto que le asignamos en una topología. Entonces, X-M es abierto. Y queda entonces que M es cerrado, por ser ésta su definición, ser el complemento de un abierto. Como queríamos demostrar.
Con esta demostración y la anterior, queda:
Un conjunto es cerrado sii contiene todos sus puntos de acumulación
Vean que uso "sii" (si y sólo si), una notación al español, de "iif" inventando por Halmos.
Este es el tipo de demostraciones que vamos a encontrar cada vez más frecuentemente en esta serie de posts. Si bien se puede explicar con diagramas, es bueno que nos vayamos entrenando para prescindir de ellos en las demostraciones. Eso no quiere decir que los matemáticos no usen diagramas: apelan a la intuición, y a la intuición dibujada, en su trabajo. También hacen uso de la analogía y otras operaciones. Pero al llegar a una demostración, vemos que podemos tomar otro camino, más riguroso. La intuición ya nos engañó en la historia de las matemáticas (recuerdo las funciones continuas sin derivada, y otras yerbas). Es por eso que se establece este tipo de rigor en las demostraciones actuales. Pero no se anquilosen en el rigor: es sólo una herramienta.
Nos leemos!
Angel "Java" Lopez
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