Angel "Java" Lopez en Blog

Publicado el 1 de Septiembre, 2013, 11:15

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Veamos hoy de demostrar el recíproco de lo que vimos en el anterior post. Siempre partimos de la existencia de una topología. Hoy nos toca demostrar:

Sea M un conjunto que contenga todos sus puntos de acumulación. Entonces, M es cerrado

(en el anterior post demostramos que si M es cerrado, entonces contiene todos sus puntos de acumulación).

Bien, sea X el espacio topológico completo. Para demostrar que M es cerrado nos basta con mostrar que X-M es abierto. Sea un punto cualquiera a perteneciente a X-M. Ese punto a no puede ser punto de acumulación de M, pues no pertenece a M y por hipótesis, supusimos que todos los puntos de acumulación de M están en ese conjunto. Entonces, tiene que haber un entorno de a que no contenga puntos de M. Si no existiera ese entorno, entonces el punto sería de acumulación.

Sea E(a) ese entorno del punto a. Entonces, por definición de entorno, existe un abierto, digamos A(a), contenido en E(a), y que contiene al punto a. Esa era la definición de entorno de un punto. Y como el abierto A(a) está contenido en el entorno E(a), y este entorno no tiene puntos comunes con M, queda que el abierto A(a) TAMPOCO tiene puntos de M. Está totalmente "despegado" de M, en forma intuitiva. Y ese abierto A(a), por no tener puntos en común con M, está entonces totalmente contenido en el complemento X-M.

Todo esto lo afirmamos para cualquier punto a de X-M. Vemos que todos esos puntos están "despegados topológicamente" de M. Nos queda que podemos asignar a CADA punto a de X-M, un abierto A(a) contenido en X-M. Es decir, X-M es la unión de una colección arbitraria de abiertos. Al unir todos esos abiertos A(a), haciendo que el punto a sea como una variable que recorre todos los puntos de X-M, conseguimos de nuevo al conjunto X-M. Sabemos que la unión arbitraria de abiertos es un abierto, por las propiedades de abierto que le asignamos en una topología. Entonces, X-M es abierto. Y queda entonces que M es cerrado, por ser ésta su definición, ser el complemento de un abierto. Como queríamos demostrar.

Con esta demostración y la anterior, queda:

Un conjunto es cerrado sii contiene todos sus puntos de acumulación

Vean que uso "sii" (si y sólo si), una notación al español, de "iif" inventando por Halmos.

Este es el tipo de demostraciones que vamos a encontrar cada vez más frecuentemente en esta serie de posts. Si bien se puede explicar con diagramas, es bueno que nos vayamos entrenando para prescindir de ellos en las demostraciones. Eso no quiere decir que los matemáticos no usen diagramas: apelan a la intuición, y a la intuición dibujada, en su trabajo. También hacen uso de la analogía y otras operaciones. Pero al llegar a una demostración, vemos que podemos tomar otro camino, más riguroso. La intuición ya nos engañó en la historia de las matemáticas (recuerdo las funciones continuas sin derivada, y otras yerbas). Es por eso que se establece este tipo de rigor en las demostraciones actuales. Pero no se anquilosen en el rigor: es sólo una herramienta.

Nos leemos!

Angel "Java" Lopez
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