Angel "Java" Lopez en Blog

Publicado el 6 de Septiembre, 2013, 14:42

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Veamos hoy dos puntos que habían quedado pendientes del post anterior. En la lista de axiomas para un grupo, sólo pedí  la existencia de elemento neutro por izquierda:

e * a =a 

para todo elemento a del grupo G; y existencia de elemento inverso a izquierda:

a' * a = e 

para todo elemento a del grupo existe a' su inverso a izquierda

Demostremos hoy:
- La existencia de elemento neutro a derecha
- La existencia de elemento inverso a derecha
- La unicidad del elemento neutro (es el mismo a derecha que a izquierda)
- La unicidad del elemento inverso (idem)

Sea el elemento a de G, y su inverso sea a'. Partamos de saber que

a' * a = e

Multiplicando a derecha por a'

a' * a * a' = e * a'

No hace falta poner paréntesis en el desarrollo de la izquierda porque la operación del grupo es asociativa, es decir sabemos que

(a * b) * c = a * (b * c)

Ahora bien sabemos que

e * a' = a'

por el primer axioma de elemento neutro a izquierda. Reemplazando e * a' por a' queda

a' * a * a' = a'

Por el axioma de existencia de inverso, el elemento a' tiene un inverso a izquierda, digamos a'', que cumple entonces:

a'' * a' = e

Multiplicamos lo de arriba por a'' a izquierda:

a'' * a' * a * a' = a'' * a'

Reemplazando a'' * a por e:

e * a * a' = e
a * a' = e

con lo que a' es inverso A DERECHA de a, como queríamos demostrar. Sabiendo esto, podemos escribir desde:

e * a = a

cambiamos e por a * a':

a * a' * a = a

cambiamos a' * a por e:

a * e = a

y queda que el neutro a izquierda es también elemento neutro a derecha.

Si el elemento b tuviera DOS elementos inversos por izquierda, digamos b' b'', sería:

b' * b = b'' * b = e

Multiplicamos a la derecha por uno de los inversos de izquierda (sabemos que es inverso a derecha ahora):

b' * b * b' = b'' * b * b'
b' * e = b'' * e

como e es elemento neutron a derecha por lo que demostramos arriba, queda:

b' = b''

unicidad del inverso. De la misma forma se demuestra la unicidad del elemento neutro.

La primera vez que vi los axiomas de grupo los aprendí con la unicidad y el izquierda y a derecha afirmado DIRECTAMENTE en los axiomas. Encuentro estos axiomas reducidos en el excelente libro Grupos Continuos de Pontrjagin. En general, los matemáticos no se preocupan mucho por partir de los axiomas reducidos o no. Lo importante es la teoría de grupos que surge. Pero me pareció interesante compartir este "approach" que encontré ya casi un cuarto de siglo atrás. 

Nos leemos!

Angel “Java” Lopez
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