Angel "Java" Lopez en Blog

Publicado el 17 de Septiembre, 2013, 7:02

Anterior Post
Siguiente Post

Los puntos de acumulación de un conjunto nacieron en el análisis matemático, en espacios métricos antes que en topología. La idea es representar con un punto de acumulación una solución a una serie convergente. Por ejemplo, sea la recta real, con su topología habitual de entornos abiertos. La serie de "puntos"

1, 1/2, 1/4, 1/8, 1/16, ....

tiene, como conjunto, un punto de acumulación: el 0 (cero). Cualquier entorno de 0 tiene puntos de esa serie. Es más, cualquier entorno de 0 tiene INFINITOS puntos de ese conjunto.

Por un tiempo, pensé que siempre era así: sea un espacio topológico <X,T>,  sea M un subconjunto de X, entonces, todos los puntos de acumulación de M tienen, en todos sus entornos, infinitos puntos de M (aparte de ellos mismos). Uno podría decir: ah, pero ¿qué pasa si M tiene una cantidad finita de puntos/elementos? Pues, entonces, QUE no hay puntos de acumulación.

Pero NONES. Hay ejemplos puntos de acumulación de M que pueden tener una cantidad finita de elementos de M en sus entornos. Veamos un caso.

Sea el conjunto X, compuesto de 4 elementos: a, b, c, d:

Sean sus abiertos los conjuntos { a, b }, { a, b, c }:

y los { a, b, d } y el X completo { a, b, c, d }:

es decir, todos los subconjuntos de X que contengan { a, b }. Luego, los conjuntos de puntos aislados { c }, y { d } los consideramos también conjuntos abiertos:

así como al par  { c, d } y como siempre, al conjunto vacío también:

Si hacemos todas las combinaciones, veremos que estos conjuntos realmente son abiertos de una topología. Toda unión de ellos queda en el conjunto. Y las intersecciones (finitas) también quedan en el conjunto de los abiertos.

Consideremos M = { b }. Un conjunto cualquiera (que no es abierto), compuesto de un punto aislado. Uno podría esperar que no tiene puntos de acumulación (como no los tienen ni { c } ni { d }). Pero hete aquí que estaríamos equivocados. Tenemos al punto a como PUNTO DE ACUMULACION de M. Todo entorno de a TIENE PUNTOS DE M (todos sus entornos tienen a b). Y una cantidad finita de ellos. Así que no podemos hablar de intersecciones con infinitos puntos siempre.

En el próximo post, comentaré una o dos condiciones que se puede agregar a un espacio topológico para que podamos hablar de puntos de acumulación de M con una cantidad infinita de puntos de M en sus entornos (de hecho, una de esas condiciones fue considerada como axioma de los primeros espacios topológicos que se plantearon).

Nos leemos!

Angel "Java" Lopez
http://www.ajlopez.com
http://twitter.com/ajlopez