Angel "Java" Lopez en Blog

Diciembre del 2013


Publicado el 29 de Diciembre, 2013, 15:01

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Quiero hoy comenzar esta serie de notas, sobre un tema que me persigue: las variedades (los "manifold" en inglés) y en especial, las variedades suaves.

En mis tiempos, no se estudiaba variedades o "manifolds". Se estudiaba geometría diferencial. Pero en este siglo, me encontré con las variedades, las variedades suaves, y otros temas relacionados, en "el Penrose". Esta serie de posts nace de mi necesidad de publicar notas, aisladas, arbitrarias, pero que quiero que perduren, sobre el gran tema de las variedades suaves.

Nota 1

En estos días, leo al comienzo del prefacio de "Introduction to Smooth Manifolds", de Lee, Springer:

Manifolds are everywhere. These generalizations of curves and surfaces to arbitrarily many dimensions provide the mathematical context for  understanding "space" in all of its manifestations. Today, the tools of manifold theory are indispensable in most major subfields of pure mathematics, and outside of pure mathematics they are becoming increasingly important to scientists in such diverse fields as genetics, robotics, econometrics,  computer graphics, biomedical imaging, and, of course, the undisputed leader among consumers (and inspirers) of mathematics—theoretical physics. No longer a specialized subject that is studied only by differential geometers, manifold theory is now one of the basic skills that all mathematics students should acquire as early as possible.

Over the past few centuries, mathematicians have developed a wondrous collection of conceptual machines designed to enable us to peer ever more deeply into the invisible world of geometry in higher dimensions. Once their operation is mastered, these powerful machines enable us to think geometrically about the 6-dimensional zero set of a polynomial in four complex variables, or the 10-dimensional manifold of 5 x 5 orthogonal  matrices, as easily as we think about the familiar 2-dimensional sphere in R3. The price we pay for this power, however, is that the machines are built out of layer upon layer of abstract structure. Starting with the familiar raw materials of Euclidean spaces, linear algebra, and multivariable  calculus, one must progress through topological spaces, smooth atlases, tangent bundles, cotangent bundles, immersed and embedded submanifolds,  tensors, Riemannian metrics, differential forms, vector fields, flows, foliations, Lie derivatives, Lie groups, Lie algebras, and more—just to get to the point where one can even think about studying specialized applications of manifeld theory such as gauge theory or symplectic topology.

Como dice el texto, hoy las variedades están en todos lados. Fue "el Penrose" el que me puso sobreaviso sobre los "manifolds". Las variedades están relacionadas con los espacios topológicos, imposición de estructura adicional, mapas de coordenadas, diferenciación independiente del mapa de coordenados elegido, etc.

Ver

http://en.wikipedia.org/wiki/Manifold

In mathematics, a manifold is a topological space that resembles Euclidean space near each point. More precisely, each point of an n-dimensional manifold has a neighbourhoodthat is homeomorphic to the Euclidean space of dimension n. Lines and circles, but notfigure eights, are one-dimensional manifolds. Two-dimensional manifolds are also calledsurfaces. Examples include the plane, the sphere, and the torus, which can all be realized in three dimensions, but also the Klein bottle and real projective plane which cannot.

Ese es el tema. Por una parte, un espacio topológico. Por otra, una estructura adicional, que permite considerar temas como la diferenciación bien definida (independiente de la carta de coordenadas elegida).

Nos leemos!

Angel "Java" Lopez
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Publicado el 27 de Diciembre, 2013, 15:02

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Higgs Boson for Dummies
http://www.squidoo.com/higgs-boson-for-dummies

What is the Higgs boson? - YouTube
http://www.youtube.com/watch?v=QG8g5JW64BA

The Higgs Boson and a 'New Physics' --"Could Make the Speed of Light Possible"
http://www.dailygalaxy.com/my_weblog/2013/05/update-the-higgs-boson-and-a-new-physics-could-make-the-speed-of-light-possible.html

"God particle": Why the Higgs boson matters - CBS News
http://www.cbsnews.com/8301-205_162-57574534/god-particle-why-the-higgs-boson-matters/

The search for the Higgs boson | CERN
http://home.web.cern.ch/about/physics/search-higgs-boson

Higgs Boson scientists win top Spanish prize
http://phys.org/news/2013-05-higgs-boson-scientists-spanish-prize.html

La historia del Efecto Fotoeléctrico | Los Mundos de Brana
http://losmundosdebrana.wordpress.com/2013/05/28/la-historia-del-efecto-fotoelectrico/

Los padres del Bosón de Higgs, premio Príncipe de Asturias de Investigación | Sociedad | EL PAÍS
http://sociedad.elpais.com/sociedad/2013/05/29/actualidad/1369821615_389938.html

Eric Weinstein on Geometric Unity | Not Even Wrong
http://www.math.columbia.edu/~woit/wordpress/?p=5927

Roll over Einstein: meet Weinstein | Alok Jha | Science | guardian.co.uk
http://www.guardian.co.uk/science/blog/2013/may/23/roll-over-einstein-meet-weinstein

A los 2 años le diagnosticaron autismo, ahora tiene 14 y lo comparan con Albert Einstein
http://www.clarin.com/sociedad/diagnosticaron-autismo-comparan-Albert-Einstein_0_922107901.html

Gauge theories - Scholarpedia
http://www.scholarpedia.org/article/Gauge_theories

What is a gauge? | What's new
http://terrytao.wordpress.com/2008/09/27/what-is-a-gauge/

Gerard ′t Hooft
http://www.staff.science.uu.nl/~hooft101/

Decay channel | symmetry magazine
http://www.symmetrymagazine.org/article/december-2012/decay-channel

Government Lab Reveals It Has Operated Quantum Internet For Over Two Years | MIT Technology Review
http://www.technologyreview.com/view/514581/government-lab-reveals-quantum-internet-operated-continuously-for-over-two-years/

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Por ajlopez, en: Ciencia

Publicado el 26 de Diciembre, 2013, 15:20

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No es la primera vez que me topo con el tema de hoy, pero nunca había escrito algo en el blog. Ahora que vuelvo a estudiar teoría cuántica de campos con más detenimiento, es tiempo de comentar este punto.

El caso queda mejor explicado en un artículo que encontré en el Investigación y Ciencia de Julio de 2013 (el Scientific American publicado en España y que llega con algunos meses de retraso a mi país, Argentina). Es un artículo de la columna "Filosofía de la ciencia", titulado "Física y filosofía", escrito por Francisco José Soler Gil, investigador Ramón y Cajal en la Universidad de Sevilla y miembro del grupo de investigación en filosofía de la física de la Universidad de Bremen. Tratar varios temas, en forma corta, desde gravitación cuántica y el tema de la medida en cuántica. Darían para varios posts presentar en detalle todos esos temas. Pero hoy, los párrafos que me interesan son:

Una teoría ya existente y plenamente aceptada, pero que proporciona numerosos temas de reflexión para el filósofo es la teoría cuántica de campos. De estos temas, quizás el más importante sea la cuestión de qué realidad física fundamental está realmente describiendo la teoría, ¿partículas, campos u otro tipo de entidades de carácter más o menos híbrido?

La respuesta más intuitiva, la que se obtiene casi invariablemente de los físicos que la manejan como mero instrumento de cálculo, es que se trata de una teoría sobre partículas. Pero el carácter de las partículas descritas por la teoría cuántica de campos se aleja tanto del concepto clásico (por ejemplo, dichas partículas no pueden hallarse localizadas en ninguna región finita del espaciotiempo), que dicha interpretación se vuelve dudosa. Máxime teniendo en cuenta que la teoría describe estados físicos con un número de partículas indeterminado y que el número de partículas existentes en una situación dada parece ser dependiente del contexto o del observador. Las partículas de la teoría cuántica de campos son entidades verdaderamente misteriosas.

El tema entonces es: todo el soporte matemático de una teoría cuántica de campos, ¿qué describe de la realidad? ¿realmente campos, donde las partículas se pueden ver como "emergentes"? ¿o partículas? Discutiría del último párrafo el uso de "observador" y no queda claro lo de "ser dependiente del contexto".

Sin embargo, las interpretaciones alternativas tienen también sus propios problemas. De manera que podríamos resumir la situación en la que nos encontramos diciendo que la teoría cuántica de campos es una teoría que predice con enorme exactitud los resultados de ciertas medidas, pero que no sabemos qué tipo de realidad está describiendo.

Soler Gil no da ejemplos de esos problemas de las interpretaciones alternativas. Habrá que estudiar el tema.

Este es el primer post de una serie corta. Tengo que comentar por acá la postura de "el Penrose" y también la de Robert Laughlin (ver Un universo diferente, Susskind vs Laughlin, El futuro de la ciencia física, Buscando las causas).

Nos leemos!

Angel "Java" Lopez
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Por ajlopez, en: Ciencia

Publicado el 22 de Diciembre, 2013, 14:18

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La física cuántica es un tema que me interesa, y mucho. Por un lado, no es un tema fácil, pero tiene toda la facha de que el esfuerzo empleado en comprenderla trae una gran recompensa. Es un tema que se usa y abusa para mucha "paparruchada" y es bueno comenzar a entenderla para ver más claramente qué es lo importan, lo accesorio, y lo equivocado en algunas posturas. Su desarrollo es relativamente reciente, es una joya que la humanidad encontró en la ciencia del siglo XX. Esa historia es ya interesantísima, para mostrar el avance de la ciencia, los caminos que se tomaron y exploraron, las equivocaciones, aciertos, intuiciones y modelos propuestos, la relación con las matemáticas. Entender ese desarrollo es un curso de epistemología.

He estado escribieno posts y series de posts. Veamos:

Mi serie sobre física cuántica: donde partiendo de un ejemplo sugerido por Steven Weinberg, trato de de desarrollar el esquema expuesto por Richard Feynman en sus famosas Lectures.

Estudiando física cuántica: mencionando mis principales fuentes.

Números complejos en mecánica cuántica: un tema fascinante, la aparición de amplitudes que no son reales.

Notas sobre el desarrollo de la física cuántica: una nueva serie para entender el desarrollo histórico.

Realidad y física cuántica: una serie a seguir, sobre modelos, ciencia, realidad, formalismo matemático, epistemología, método científico.

Hacia la física cuántica: notas de su historia: un resumen que escribí para tener el gran panorama.

Como ven, son posts ambiciosos, pero que llevo adelante para pasar en limpio lo que voy entendiendo. Una de las cosas que mencioné, es que una cosa es la "mecánica cuántica" y otra la física cuántica. La primera nace en el primer cuarto del siglo XX, y tiene su climax con los modelos de Heisenberg y Schrödinger. Pero luego aparece una "extensión", algo distinto. Mientras que la mecánica cuántica nació tratando de explicar el espectro de los átomos, y su historia es una evolución desde la aparición de reglas "ad-hoc" de cuantificación con Bohr, hasta su explicación como autovalores en Schrödinger, lo que siguió es el esfuerzo de compatibilizar el modelo cuántico con la relatividad, al menos la relatividad especial.

He aquí que parece la teoría cuántica de campos. Quiero escribir en esta serie sobre la necesidad de su aparición, sobre los argumentos que llevaron a su creación. Y cómo su influencia se nota hasta hoy en día. Hasta el modelo estándar es una teoría de campos. Y quiero mencionar los problemas que tuvo que afrontar (y que aún tiene).

Todavía me falta escribir más en concreto sobre el modelo de Schrödinger, ver:

La ecuación de Schrödinger
Las ecuaciones de Schrödinger, por Richard Feynman
Erwin Schrödinger creando su ecuación, por P.A.M. Dirac

Pero si ven la expresión en el artículo de la Wikipedia:

http://en.wikipedia.org/wiki/Schr%C3%B6dinger_equation

verán que aparece una derivada temporal en el término de la izquierda. El operador H (noten el "sombrerito" sobre la H), el llamado hamiltoniano, termina expandiéndose en general en operadores que tienen la aplicación de derivadas espaciales de orden superior al primero. Primera conclusión: no parece que esta ecuación se lleve bien con la relatividad especial, donde tiempo y coordenadas espaciales se comienzan a tratar de la misma forma. Para considerar una analogía, cuando aplicamos una rotación en el espacio euclideano ordinario, las distancias se conservan. En relatividad especial pasa algo parecido: muchas leyes físicas se mantienen independientes de los cambios de coordenadas, pero esta vez son 4 dimensiones. Igual recordemos que la función de onda de Schrödinger sólo tiene 4 dimensiones cuando se considera una partícula, digamos un electrón. Su aplicación general sobre un sistema de partículas nos lleva a mas dimensiones.

Pero igual queda el problema. No parece haber casamiento fácil entre las ideas de Schrödinger, base de un modelo exitoso de mecánica cuántica, y la relatividad general. Ya los contemporáneos de Schrödinger (y él mismo) reconocían ese problema. En realidad, él trato de obtener una formulación relativista ANTES de dar con la ecuación de arriba, pero habiendo fracasado, se dedicó a la forma no relativista.

Varios trataron de extender las ideas cuánticas a la relatividad especial. Pero el primero que logró, digamos, un avance importante fue... ya saben... Dirac! ver por ejemplo:

Paul Adrien Maurice Dirac, por Abraham Pais (4)

Ya Dirac había comenzado a incorporar la relatividad en su famosa ecuación, ver que tenía precedentes pero avanzó más:

Paul Adrien Maurice Dirac, por Abraham País (7)

Todo esto está bien, Dirac obtiene una ecuación relativística para el electrón. Pero ¿cómo se llega desde ahí a una NECESIDAD de tener una teoría de campos cuántica? Y ¿qué es eso de una teoría de campos CUANTICA? Bueno, será tema para esta serie de posts. Mientras, recuerdo la importancia de los campos clásicos, ver:

Campos clásicos, física y matemáticas

Como escribía en La teoría de Maxwell-Lorentz los campos trajeron la posibilidad de expresar, en un modelo y matemáticamente, la acción retardada de una fuerza, evitando la acción a distancia instantánea, un problema que ya le habían criticado a Newton. Esta acción retardada apareció aún antes que la relatividad especial, y fue uno de los incentivos para su aparición (recordemos que el artículo seminal de Einstein, de 1905, se refería al electromagnetismo).

Bien, bastante por hoy. Una última nota, mi principal fuente para esta serie será el excelente "Quantum Field Theory in a Nutshell", de Zee.

Nos leemos!

Angel "Java" Lopez
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Por ajlopez, en: Ciencia

Publicado el 20 de Diciembre, 2013, 10:03

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Sigo presentando y comentando esta "Introduction" del comienzo del libro de 1929, "The electromagnetc field", Ed. Dover, escrito por Max Mason y Warren Weaver:

Kirchoff in 1857 noticed the coincidence between the value of the velocity of light and that of the ratio of the electrical units.

Esa relación era completamente inesperada. Pero no parece que fuera Kirchoff el que la descubrió. Leo en:

http://en.wikipedia.org/wiki/Speed_of_light#Connections_with_electromagnetism

Connections with electromagnetism

In the 19th century Hippolyte Fizeau developed a method to determine the speed of light based on time-of-flight measurements on Earth and reported a value of315,000 km/s. His method was improved upon by Léon Foucault who obtained a value of 298,000 km/s in 1862.[91] In the year 1856, Wilhelm Eduard Weber and Rudolf Kohlrausch measured the ratio of the electromagnetic and electrostatic units of charge, 1/√ε0μ0, by discharging a Leyden jar, and found that its numerical value was very close to the speed of light as measured directly by Fizeau. The following year Gustav Kirchhoff calculated that an electric signal in aresistanceless wire travels along the wire at this speed.[122] In the early 1860s, Maxwell showed that, according to the theory of electromagnetism he was working on, electromagnetic waves propagate in empty space[123][124][125] at a speed equal to the above Weber/Kohrausch ratio, and drawing attention to the numerical proximity of this value to the speed of light as measured by Fizeau, he proposed that light is in fact an electromagnetic wave.[126]

Sigamos con la "intro":

In 1858 Riemann presented a paper to the Gottingen Academy in .which he assumed a finite velocity of propagation, and deduced that this rnust.be equal to the ratio of the units, and hence to the velocity of light. In 1867, Lorenz, of Copenhagen, extended the theory of Neumann, obtained expressions for the retarded vector and scalar potentials which are equivalent to the forms commonly used today, and was led independently of Maxwell to the conception of light as an electromagnetic phenomenon. The difference in viewpoints is, however, striking; for Lorentz considered that if light were shown to be electromagnetic in nature there was no longer the necessity for maintaining the hypothesis of an aether. The action at a distance theory was thus moving certainly toward the discovery of time lag in. effects and toward the electromagnetic theory of light. Maxwell reached this goal, however, by an attack from quite a different angle, and in the glare caused by his brilliant investigations much of the work just mentioned was lost sight of.

No conocía el trabajo de Riemann. Vean que los autores escriben "Lorenz, of Copenhagen", y luego "Lorentz". Por lo que veo, no se refieren al Hendrick Lorentz, mencionado en el título de este post, sino a:

http://en.wikipedia.org/wiki/Ludvig_Lorenz

Ludvig Valentin Lorenz (January 18, 1829 – June 9, 1891) was a Danish mathematician and physicist. He developed mathematical formulae to describe phenomena such as the relation between the refraction of light and the density of a pure transparent substance, and the relation between a metal's electrical and thermal conductivity and temperature (Wiedemann–Franz–Lorenz law).

Lorenz was born in Helsingør and studied at the Technical University in Copenhagen. He became professor at the Military Academy in Copenhagen 1876. From 1887, his research was funded by the Carlsberg Foundation. He investigated the mathematical description for light propagation through a single homogeneous medium and described the passage of light between different media. The formula for the mathematical relationship between the refractive index and the density of a medium was published by Lorenz in 1869 and by Hendrik Lorentz (who discovered it independently) in 1870 and is therefore called the Lorentz–Lorenz equation. Using his electromagnetic theory of light he stated what is known as the Lorenz gauge condition, and was able to derive a correct value for the velocity of light. He also developed a theory of light scattering, publishing it in Danish in 1890 and in French in his Collected Works, published in 1898. It was later independently rediscovered by Gustav Mie in 1908, so it is sometimes referred to as Lorenz–Mie theory. Additionally, Lorenz laid the foundations for ellipsometry by using Fresnel's theory of refraction to discover that light reflected by a thin transition layer between two media becomes elliptically polarized.[1]

Conocía a Mie, pero pensé que sus ideas estaban asociadas al "otro" Lorentz. Como casi siempre en la física moderna, empieza a aparecer la palabra "gauge".

Encontré una referencia al trabajo de Riemann en la cita de Google Books en Intellectual Mastery of Nature:

... Riemann generalized Poisson's equation for the electrostatic potential by adding to it a second-order time derivative of the potential to arrive at an equation of propagation, a wave equation with a source term. Riemann solved the equation using a so-called retarded potential, which he showed leads to experimentally confirmed results. Riemann  did not publish the paper, and when it appeared posthumously it was immediately criticized by Clausius, who pointed out a mathematical error in it and suggested that Riemann had withdrawn the paper because of it. But the theory was widely noticed, and, as we will see, Carl Neumann, for one, found it a stimulus to develop his own electrodynamic theory.

¿Será el Neumann mencionado en el fragmento de arriba? En una nota de este fragmento, leo:

Riemann was apparently the first to use a retarded potential, but because of the delay in the publication of the work, the first published use of it was by Ludwig Lorenz in 1861. Rosenfeld, "The Velocity of Light," 1635.

También leo en esta cita de Google Books:

In his lectures of Gottingen in 1861, which were published in 1876, Riemann proposed a new "fundamental law" of electrodynamics. This law was another variation of Weber's, differing from Weber's in that the total relative velocity of a pair of electric masses enters in place of the relativity velocity only along the line between the masses. This time Riemann did not derive the electrodynamic action from a finite propagation of the potential function but from Lagrange's law, which he constructed from the kinetic energy T of electrical system, an electrostatic part S of the potential depending only on position, and an electrodynamic part D of the potential depending on both position and velocity.

El que hubiera un potencial que dependiera de la velocidad era algo, digamos, novedoso. El potencial más usado hasta entonces, el gravitatorio, sólo dependía de la posición. Como pasa frecuentemente, aparece Lagrange en un problema físico.

En el próximo post, seguiré con el trabajo de Maxwell, mencionado en el fragmento de hoy.

Nos leemos!

Angel "Java" Lopez
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Por ajlopez, en: Ciencia

Publicado el 19 de Diciembre, 2013, 13:31

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En estos días, estoy investigando la situación de las matemáticas y la física en el siglo XIX. En parte, motivado por mi interés en la historia de esas disciplinas, y por otra, para aprender temas nuevos que no he tenido que dominar hasta ahora. Uno de ellos es el electromagnetismo, que tanto ha influido en el ulterior desarrollo de la relatividad y de la cuántica, ambos logros principales del siglo XX:

Me encuentro con esta "Introduction" al comienzo de un libro de 1929, "The electromagnetc field", Ed. Dover, escrito por Max Mason y Warren Weaver. (Ver http://en.wikipedia.org/wiki/Max_Mason http://genealogy.math.ndsu.nodak.edu/id.php?id=7357 http://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/Biographies/Mason.html):

In a detailed theory of a group of physical phenomena an analogy is exhibited between observed facts and the logical consequences of a self-consistent mathematical structure. The analogy constitutes the theory. A theory is valued for the diversity of the phenomena which it describes and correlates, and for the stimulus it furnishes for the discovery of new experimental facts. The mathematical structure should be of such nature
that the analytical manipulations required in the derivation of the theorems can be readily performed.

Habría mucho que comentar de este párrafo inicial. Algo que prefiero agregar, es que la teoría debe exhibir un modelo de la realidad. Pero hay que admitir que en el electromagnetismo (como en las otras tres fuerzas conocidas) bien podemos haber llegado a un lugar donde la teoría, las leyes que la gobiernan, y la estructura matemática, nos revelan "the ultimate springs" (para usar una expresión de David Hume), sin poder llegar "más abajo". El futuro dirá si surge un modelo explicativo.

Judged in this light, the Maxwell-Lorentz theory has attained a degree of success little short of marvelous. Its triumphs have forced it into the position of an ultimate theory. With Maxwell, light became an electromagnetic phenomenon, and the subject of electromagnetic radiation was opened for investigation. With the electron theory of Lorentz, matter became an electrical complex.

Es importante que los autores menciones tanto a Maxwell como a Lorentz. En la actualidad, me parece que Lorentz es menos nombrado (se lo recuerda más por su errónea explicación de la contracción que lleva su nombre, resuelta luego con la relatividad especia de Einstein). Recordemos, el libro es de 1929. Me gusta, porque aprendo de él la teoría clásica en forma pura, antes de que aparecieran las explicaciones cuánticas.

Through the immediate success of this theory, and influenced by a vast amount of experimental evidence that was soon forthcoming, the conviction grew that all physical phenomena were electromagnetic. The viewpoint of physicists toward electromagnetic theory today is determined by their belief in the basic role played by the theory. Its fundamental character makes it necessary that the definitions and concepts of the theory be stated with special care and precision. Its concepts are the most fundamental concepts of physics. To "explain" electromagnetic action is meaningless. Simplicity of statement and recognition of the fundamental character of the concepts are the demands. The basic mathematical structure of the theory consists of a set of vector differential equations, the "field equations" of the electron theory. This is the form of statement a century after the science of electrodynamics was born. The viewpoint toward these equations is, like the equations themselves, a result of evolution during that century.

Hay que destacar la aparición de todo este soporte matemático para explicar los fenómenos electromagnéticos. Las matemáticas ya estaban entrenadas en problemas físicos, desde Galileo y Newton. Y luego llegaron a su mayoría de edad con la mecánica celeste y sus problemas. Notablemente, muchos de esos avances pudieron aplicarse al electromagnetismo. La aparición de los vectores en el siglo XIX parece preparada para dar impulso final a esta tendencia.

The first half of the century saw the acceptance of the conception of action at a distance for electromagnetic phenomena, and action in a medium for optical phenomena. With the names of Ampere, Weber, Grassmann, Gauss, Riemann} Neumann, Kirchoff, Helmholz, Clausius, and Betti is associated the development of mathematical expressions for laws of electrodynamic action. Forces between current. elements or moving charges were either expressed directly or through the aid of auxiliary vectors, or as Lagrangian derivatives of a function playing the role of a kinetic potential.

La acción a distancia, instantánea, ya aparece con Newton. Este cambio hacia la acción "retardada" es un gran paso, que desembocaría en la relatividad especial y general, por ejemplo. Notemos que la lista de nombres de arriba contiene alguno de los matemáticos más activos de ese siglo, además de físicos.

These laws were all point laws, giving the action of charges on charges with no attempt to describe the way in which these forces, acting at different points of space, could arise. In the earlier theories there was no suggestion of an actual propagation of effects from one point to another, but a suggestion of this nature was contained in a letter which Gauss wrote to Weber in 1845. He mentioned that he had himself (in 1835) attempted to deduce the fundamental law for electrodynamic action, but had never published his results because he had failed to accomplish that which seemed to him the real task-the derivation of the law from a consideration of the propagation of effects with a finite velocity.

Creo que tengo en algún lugar esa carta de Gauss. Pero como siempre, en estos temas aparece Gauss. Y luego Riemann.

Este sólo es el primer fragmento. Continuaré la mención y comentario en un próximo post.

Nos leemos!

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Publicado el 16 de Diciembre, 2013, 13:13

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A veces uno estudia una disciplina guiándose por lo resultados actuales. Pero como las matemáticas, la física tiene también una rica e fascinante historia. El entender su desarrollo nos enseña mucho sobre el estado moderno de esta ciencia, y cómo fue su desarrollo conceptual. Hoy, primera entrega de enlaces:

symmetry breaking » Blog Archive » From early particle accelerators to the LHC in 12 minutes
http://www.symmetrymagazine.org/breaking/2010/07/28/from-early-particle-accelerators-to-the-lhc-in-12-minutes/

Alfred Kleiner - Wikipedia, the free encyclopedia
http://en.wikipedia.org/wiki/Alfred_Kleiner

Technology Review: Blogs: arXiv blog: Maya Blue and the Secret of Longevity
http://www.technologyreview.com/blog/arxiv/25448/?ref=rss

Das Leben von Nikola Tesla (in unter drei Minuten) bei Glaserei
http://blog.stuttgarter-zeitung.de/raketenwissenschaft/2010/07/14/das-leben-von-nikola-tesla-in-unter-drei-minuten/

Newton's Principia : the mathematical principles of natural philosophy : Newton, Isaac, Sir, 1642-1727 : Free Download & Streaming : Internet Archive
http://www.archive.org/details/newtonspmathema00newtrich

Quantenphysik - Prinzipien der Physik, II
http://wissen.dradio.de/index.88.de.html?dram:article_id=3849&sid=

Galileo Galilei, "Sidereus Nuncius"
http://www.liberliber.it/biblioteca/g/galilei/sidereus_nuncius/html/sidereus.htm

http://www.teslasociety.com/mappeal.htm

symmetry breaking » Blog Archive » Protons crack a Dead Sea Scroll secret
http://www.symmetrymagazine.org/breaking/2010/07/06/protons-crack-a-dead-sea-scroll-secret/

Project Tuva: Enhanced Video Player Home - Microsoft Research
http://research.microsoft.com/apps/tools/tuva/index.html

A treatise of mechanics - Google Books
http://books.google.com/books?id=lksn7QwUZsQC&pg=PA254%23v#v=onepage&q&f=false

Overview and differences of 1964 PRL symmetry breaking papers - Wikipedia, the free encyclopedia
http://en.wikipedia.org/wiki/Overview_and_Differences_of_1964_PRL_Symmetry_Breaking_papers

Physics Now and Then: From Neutrinos to Galileo: Scientific American Podcast
http://www.scientificamerican.com/podcast/episode.cfm?id=physics-now-and-then-from-neutrinos-10-06-15

Discovery of cosmic microwave background radiation - Wikipedia, the free encyclopedia
http://en.wikipedia.org/wiki/Discovery_of_cosmic_microwave_background_radiation

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Publicado el 15 de Diciembre, 2013, 17:04

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Encuentro hoy en mis lecturas, una referencia a Darwin, a una dificultad que tiene su teoría en "El origen de las especies". El capítulo X se titula "Sobre la imperfección del registro geológico". Darwin expone acá uno de los problemas que encuentra en su teoría: la falta de hallazgos fósiles que revelen una transformación más o menos continua de especies.

Hacia el final del capítulo leo esto, referido a la ausencia de rastros fósiles más allá del cámbrico:

Sobre la aparición súbita de grupos de especies afines en los estratos fosilíferos más bajos que se conocen

Se presenta aquí otra dificultad análoga mucho más serie. Me refiero a la manera como las especies pertenecientes a varios de los principales grupos del reino animal aparecen súbitamente en las rocas fosilíferas inferiores que se conocen. La mayor parte de las razones que me han convencido de que todas las especies vivientes del mismo grupo descienden de un solo progenitor se aplican con igual fuerza a las especies más antiguas conocidas. Por ejemplo, es indudable que todos los trilobitos cámbicos y silúricos descienden de algún crustáceo, que tuvo que haver vivido mucho antes de la edad cámbrica, y que probablemente difirió mucho de todos los animales conocidos. Algunos de los animales más antiguos, como los Nautilus, Lingula, etc., no difieren mucho de especies vivientes, y, según nuestra teoría, no puede suponerse que estas especies antiguas sean las progenitoras de todas las especies pertenecientes a los mismos grupos que han ido apareciendo luego, pues no tienen caracteres en ningún grado intermedio.

Sobre el cámbrico, ver http://en.wikipedia.org/wiki/Cambrian. Es el primer período (el más antiguo) de la era paleozoica comenzando hace algo más de 500 millones de años. ¿Qué pasó con la vida antes del cámbrico? No sólo comienzan a aparecer fósiles de animales en este período y no antes (por lo menos en tiempos de Darwin, ahora más abajo vamos a ver la situación actual), sino que lo hacen en gran variedad, dando lugar lo que se ha llamado la explosión cámbrica http://en.wikipedia.org/wiki/Cambrian_explosion

Por lo tanto, si la teoría es verdadera, es indiscutible que, antes de que se depositase el estrato cámbrico inferior, transcurrieron largos períodos, tan largos, o probablemente mayores, que el espacio de tiempo que ha separado la edad cámbrica del día de hoy, y durante estos vastos períodos los seres vivientes hormigueaban en el mundo.

Nos encontramos aquí con una objeción formidable, pues parece dudoso que la tierra, en estado adecuado para habitarla seres vivientes, haya tenido la duración suficiente. Sir W. Thompson llega a la conclusión de que la consolidación de la corteza difícilmente pudo haber ocurrido hace menos de veinte millones de años ni más de cuatrocientos, y que probablemente ocurrió no hace menos de noventa y ocho ni más de doscientos. Estos límites amplísimos demuestran lo dudosos que son los datos, y en lo futuro, otros elementos pueden tener que ser introducidos en el problema. Croll calcula que desde el período Cámbrico han transcurrido aproximadamente sesenta millones de años; pero esto, juzgado por el pequeño cambio de los seres orgánicos desde el comienzo de la época glacial, parece un tiempo cortísimo para los muchos y grandes cambios orgánicos que han ocurrido ciertamente desde la formación cámbrica, y los ciento cuarenta millones de años anteriores apenas pueden considerarse como suficientes para el desarrollo de las variadas formas orgánicas que existían ya durante el período Cámbrico. Es, sin embargo, probable, como afirma sir William Thompson, que el mundo, en un período antiquísimo, estuvo sometido a cambios más rápidos y violentos en sus condiciones físicas que los que actualmente ocurren, y estos cambios habrían tendido a producir modificaciones proporcionadas en los organismos que entonces existiesen.

William Thompson es más conocido ahora por nosotros como Lord Kelvin. Calculó la edade de la Tierra basándose, entre otras pistas, en la edad que tardaría nuestro Sol en consumirse, considerando la combustión conocida entonces. Décadas después, se descubriría que hay otras formas de producir energía que serían compatibles con una edad más grande (y adecuada para la teoría de Darwin) del sistema solar. Leer Lord Kelvin y Rutherford.

A la pregunta de por qué no encontramos ricos depósitos fosilíferos correspondientes a estos supuestos períodos antiquísimos anteriores al sistema Cámbrico, no puedo dar respuesta alguna satisfactoria. Varios geólogos eminentes, como sir R. Murchison a la cabeza, estaban convencidos, hasta hace poco, de que en los restos orgánicos del estrato silúrico inferior contemplábamos la primera aurora de la vida. Otras autoridades muy competentes, como Lyell y E.Forbes, han impugnado esta conclusión....

Darwin se refiere a Roderick Murchison, aclarando que su postura era de "hasta hace poco", porque ya hacía unos años que la había publicado. Ver http://en.wikipedia.org/wiki/Roderick_Murchison. Probablemente se refiere al libro de Murchison The Silurian System, publicado en 1839. Voy a citar a Murchison más abajo.

...No hemos de olvidar que sólo una pequeña parte de la tierra está conocida con exactitud. No hace mucho tiempo que Barrande añadió, debajo del sistema silúrico entonces conocido, otro piso inferior abundante en especies nuevas y peculiares; y ahora, todavía más abajo, en la formación cámbrica inferior, Hicks ha encontrado en el sur de Gales capas que son ricas en trilobites y que contiene diferentes moluscos y anélidos.

Supongo que Darwin se refiere a Henry Hicks http://en.wikipedia.org/wiki/Henry_Hicks_(geologist) No pude encontrar cuál es la edición/año del Origen de las especies que estoy consultando, pero parece que parte de lo que estoy leyendo no estaba en la primera edición (1859) porque se refieren a descubrimientos posteriores.

La presencia de nódulos fostáticos y de materias bituminosas, incluso en algunas de las rocas azoicas inferiores, son probablemente indicios de vida en estos períodos, y se admite generalmente la existencia del Eozoon en la formación laurentina de Canadá. Existen en el Canadá tres grandes series de estratos por debajo del sistema silúrico, y en la inferior de ellas se encuentra el Eozoon. Sir W. Logan afirma que "su grueso, reunido, puede quizá exceder mucho del de todas las rocas siguientes, desde la base de la serie paleozoica hasta la actualidad. De este modo nos vemos transportados a un período tan reoto, que la aparición de la llamada fauna primordial (de Barrande) puede ser considerada por algunos como un acontecimiento relativamente moderno". De todas las clases de animales, el Eozoon pertenece a la organización inferior; pero, dentro de su clase, es de organización elevada, existe en cantida innumerable y, como ha hecho observar el doctor Dawson, seguramente se alimentaba de otros pequeños seres orgánicos, que tuvieron que haber vivido en gran número.

El Eozoon resultó una falsa pista, leer Eozoon: debunking the dawn animal. Acá revela Darwin que lo que está escribiendo es posterior a la primera edición del Origen:

Así, lo que escribí en 1859 acerca de la existencia de seres orgánicos mucho antes del período Cámbrico, y que son casi las mismas palabras que empleó después sir W. Logan, ha resultado cierto; pero es grandísima la dificultad para señalar alguna razón buena para explicar la ausencia de grandes cúmulos de estratos, ricos en fósiles, por debajo del sistema cámbrico. No parece probable que las capas más antiguas hayan sido desgastadas por completo por denudación, ni que sus fósiles hayan quedado totalmente borrados por la acción metamórfica, pues si así hubiese ocurrido, habríamos encontrado sólo pequeños residuos de las formaciones siguientes en edad, y éstas se habrían presentado siempre en un estado de metamorfosis parcial. Pero las descripciones que poseemos de los depósitos silúricos, que ocupan inmensos territorios en Rusia y América del Norte, no apoyan la hipótesis de que invariablemente, cuanto más vieja es una formación, tanto más haya sufrido extrema denudación metamorfosis.

El caso tiene que quedar por ahora inexplicado y puede presentarse realmente como un argumento válido contra las opiniones que aquí se sostienen....

Esta lectura de Darwin me fue sugerida en estos días al releer el excelente La vida maravillosa, de Stephen Jay Gould. Ver también http://www.stephenjaygould.org/. Ahí encuentro, en los primeros capítulos, un escrito de Murchison:

Las primeras señales de seres vivos, al anunciar como lo hacen una gran complejidad de organización, excluyen completamente la hipótesis de una transmutación de grados de existencia inferiores a superiores. El primer fiat que salió de la Creación aseguró sin duda la perfecta adaptación de los animales a los medios que los rodeaban; y así, mientras el geólogo reconoce un comienzo, pueder en las innumerables facetas del ojo del crustáceo más primitivo las mismas evidencias de Omnisciencia que en la consumación de la forma de los vertebrados.

Gould cita (1854) Murchison, Siluria: The history of the oldest known rocks containing organic remains, John Murray, Londres.

La posición de Murchison explícitamente cita a una creación, supongo que tratando de rescartar la idea del Génesis en una época donde ya no se podía aceptar que todos los fósiles eran remanentes del diluvio: se disponían en capas con distintos organismos a lo largo de varios yacimientos repartidos en muchos países.

No es ahora tiempo de discutir el excelente libro de Gould, estoy tratando hoy el tema Darwin. Pero es bueno recordar el libro Trilobites, de Richard Fortey, que tiene algunos capítulos que narran las disputas que nacieron desde la publicación de Gould (sobre la interpretación de los restos cámbricos de Burguess Shale). Leo en el tercer capítulo:

El Gales del Norte, el reverendo Adam Sedwick ... dio nombre al Sistema Cámbrico (Cambria era el nombre romano de Gales), por las rocas antiguas que se hallaban debajo de los demás estratos portadores de fósiles: el conjunto más fundamental del tiempo geológico. El término Cámbrico acabó sustituyendo a un nombre rival, "Primordial", que refería a la posición fundamental de los restos orgánicos que estos estratos contenían en relación a la historia subsiguientes de la vida.

Hoy tenemos evidencia de vida animal ANTES del cámbrico. Sigo leyendo a Fortey:

Mientras Sedgwick exporaba Gales del Norte, sir Roderick Murchisn atravesaba Gales del Sur, cartografiando y clasificando el Sistema Silúrico (1839) - los siluros eran una tribo que antaño habitaba en Gales del Sur-. Incluso más que Sedwick, Murchison utilizaba los fósiles para deducir con dificultad la narrativa del tiempo geológico.

Mencionaba más arriba que ahora tenemos más evidencia que en los tiempos de Darwin sobre la existencia de vida animal antes del cámbrico. Sigo leyendo a Gould, en el libro mencionado:

Darwin ha sido vindicado por un rico registro precámbrico, descubierto todo él en los últimos treinta años.

Gould escribe a finales de los ochenta.

Pero el carácter peculiar de esta prueba no se iguala a la predicción de Darwin de un aumento continuo de diversidad hacia la vida del Cámbrico, y el problema de la explosión del Cámbrico sigue siendo tan refractario como siempre (si no más, pues ahora nuestra confusión se basa en el conocimiento, y no en la ignorancia, de la naturaleza de la vida precámbrica).

Lo que asombra a Gould, es el largo período de vida unicelular simple. Leo más adelante:

Durante los 2.400 millones de años posteriores a los sedimentos de Isua, o aproximadamente dos tercios de toda la historia de la vida en la Tierra, todos los organismos fueron seres unicelulares del diseño más simple, o procariota. (Las células procariotas carecen de organelos, no tienen núcleo, ni cromosomas pares, ni mitocondrias ni cloroplastos. Las células eucariotas, mucho mayores, de otros organismos unicelulares y de todos los seres pluricelulares, son enormemente más complejas y pueden haber evolucionado a partir de colonias de procariotas; las mitocondrias y los cloroplastos, por lo menos, se parecen muchísimo a organismos procariotas completos y conservan algo de ADN propio, quizá como vestigio de esta antigua independencia. Las bacterias y las algas verdiazulez, o cianófitos, son procariotas. Todos los demás organismos unicelulares comunes - entre ellos las Amoeba y los aramecium de los laboratorios de los institutos- son eucariotas.)

Luego, mucho antes del cámbrico aparecen los organimos con células eucariotas:

La aparición de las células eucariotas en el registro fósil hace unos 1.400 millones de años señala un incremento importante en la complejidad de la vida, pero los animales pluricelulares no llegaron triunfalmente como secuela. El tiempo transcurrido entre la aparición de la primera célula eucariota y el primer animal pluricelular es más extenso que todo el período de éxito pluricelular desde la explosión del cámbrico.

Como se menciona en el artículo que mencioné más arriba http://en.wikipedia.org/wiki/Cambrian_explosion hay una fauna anterior al cámbrico:

El registro del Precámbrico contiene ciertamente una fauna de unidades pluricelulares que precede a la explosión del Cámbrico, la fauna de Ediacara, así llamada por una localidad de Australia pero que ahora se conoce de rocas de todo el mundo. Sin embargo, esta fauna no puede ofrecer alivio alguno a la expectativa de Darwin por dos razones. En primer lugar, Ediacara es de edad apenas precámbrica. Estos animales se encuentran exclusivamente en rocas que preceden a la explosión, probablemente de no más de 700 millones de años de edad y quizás más jóvenes. En segundo lugar, los animales de Ediacara pueden representar un experimento fallido independiente en la vida pluricelular, no un conjunto de antepasados más simples para seres posteriores con partes duras.

Fue una larga lectura. Por ahora, suficiente. Me queda por comentar más en detalle hacia dónde apunta Gould con su libro: a afirmar que la evolución no es un cono invertido de especies, con una diversidad creciente, sino que hubo varias ramas que aparecieron y no llegaron a dejar otras subramas que llegaran a la actualidad; que la historia de la vida bien pudo haber sido otra.

Todos estos escritos y las historias que encierran, desde Darwin, Murchison, el Eozoon, los registros del cámbrico, Burguess Shale y sus revisiones, muestran cómo funciona la ciencia, como actividad humana.

Nos leemos!

Angel "Java" Lopez
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Por ajlopez, en: Ciencia

Publicado el 11 de Diciembre, 2013, 13:57

Recibo el temario para este fin de semana, del Café Filosófico de Buenos Aires. Ver información detallada en:

http://www.filosofiaparalavida.com.ar
http://www.filosofiaparalavida.com.ar/cafefilosofico.htm

Comparto el temario, para que no se pierda (no parece que queden en el sitio), me sirva de referencia, y por si a alguien le interesa asistir en estos días:

Dado que muchas personas reciben los avisos con signos raros, hemos suprimido los acentos, las comillas y otros signos y letras, salvo dificultad de comprension.

....

El Cafe Filosofico comenzara con una exposicion teorica de una hora en la que les proponemos reflexionar sobre las culturas afectivas de hombres y mujeres a partir de la evidencia cientifica. El patron de genero no es el unico que determina nuestra relacion con las emociones, que es cultural, historico y responde a factores vinculados con el aprendizaje y el contexto social y familiar. Sin embargo, es una variable de suma importancia cuyo conocimiento puede contribuir a zanjar malentendidos y discordancias generados por el lenguaje afectivo de cada sexo, y si bien se esta modificando a la luz de los vertiginosos cambios que se desarrollan en la sociedad comtemporanea, aun responde a estereotipos de antigua data. Que emociones son expresadas con mayor frecuencia por hombres y mujeres? Los tres miedos mas frecuentes en el varon. La socializacion masculina y la figura del heroe. La conquista sexual masculina. Cuan importante es el afecto para la sexualidad masculina? Que dicen los estudios cientificos sobre los machos mas buscados por las hembras en otras especies animales? De que modo diverge la forma en que ambos generos las manifiestan? Se encolerizan por igual hombres y mujeres? Como viven la culpa, la pena, la angustia, los celos, la empatia, la alegria? Que genero es mas orgulloso? En cual de los dos generos es mayor el porcentaje de suicidios? Por que? Viven ambos generos de la misma manera las emociones negativas -colera, pena, culpa y angustia-? Viven ambos generos de la misma manera las emociones positivas -dicha, alegria, buen humor-? Como inciden durante la infancia las expectativas de rol.

De que modo los padres asignan a sus hijas y a sus hijos emociones que aun no estan en condiciones de sentir? La tragedia y el drama: que tipo de narracion prefiere cada genero. Como se manifiesta la diversa cultura emocional de hombres y mujeres en la eleccion de films. Ademas de la socializacion, influye de algun modo el metabolismo cerebral? Quienes suelen ser mas autocriticos, los hombres o las mujeres? El llanto y la sonrisa en hombres y mujeres. En que situaciones llora mas el hombre? Hay culturas en las que hombres y mujeres lloren por igual? Hay culturas en las que los hombres lloren mas que las mujeres? La competencia. La vanidad. Por que las mujeres reclaman mas que los hombres la conversacion sobre problemas vinculares ("troubles talk").

Por que los hombres suelen huir de estas conversaciones. Por que las culturas individualistas han sido llamadas "culturas de las emociones". La experiencia del dolor en hombres y mujeres. En que divergen en este sentido las actitudes de los medicos con hombres y mujeres? Memoria, emocion y genero. Filosofia, emocion y genero.

Las virtudes como disposiciones adecuadas en relacion a los sentimientos. Uno de los propositos de esta charla es dar cuenta de las ultimas investigaciones en torno a la disparidad de culturas afectivas de hombres y mujeres.

 (Mas abajo incluimos unos fragmentos sobre el tema)

Ella quiere que conversen sobre como estan, pero no lo propone. El prefiere el silencio pero estalla por algun motivo trivial, por ejemplo, por un traje arrugado. Ella desea una aclaracion pero ignora que los varones no aceptan tan facilmente sus debilidades; el no tiene idea de cuan maltratadas se sienten las mujeres cuando no comparten sus penas, sus emociones.

En uno de los experimentos mostraron la foto de un bebe llorando entre adultos de ambos sexos y preguntaron: "Por que llora el ninio?" La mayoria respondio: "Porque siente rabia". Mostraron la misma fotografia en otro grupo identico y preguntaron: "Por que llora la ninia?" La mayoria respondio: "Porque siente pena". La experiencia revela hasta que punto aun influyen los estereotipos culturales. Otros estudios dan cuenta del modo en que los padres actuan condicionados por estos estereotipos.

Una mujer habla con una amiga por telefono: -Claro, me di cuenta de que no solo quiero tener al lado a un hombre que sea capaz de llorar, de pedir, de dudar, sino que ademas necesito que por favor no lo haga.

Tras la primera hora de exposicion teorica, hacemos una pausa de diez minutos para el refrigerio, y en el turno del viernes a las 22.30hs para la cena, y luego retomamos con un debate de una hora en un clima de cordialidad e investigacion conjunta.

Nos leemos!

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Por ajlopez, en: Filosofía

Publicado el 8 de Diciembre, 2013, 12:42

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Cremona biography
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Recubriendo con "garfios" - Gaussianos | Gaussianos
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Demostrando "pitagóricamente" la validez de la fórmula del seno de la suma - Gaussianos | Gaussianos
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Relaciones entre dos triángulos
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Los ángulos de un triángulo suman 180 grados: demostración
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Nueva imagen del poliedro de Császár: Ángel - Gaussianos | Gaussianos
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The Existential Risk of Mathematical Error
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Daily Kos: Breakthrough in Quantum Physics May Do Away with Space-Time, Lead to Ultimate Theory
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Physicists Discover Geometry Underlying Particle Physics | Simons Foundation
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Recordatorio: décimo Desafío Gaussianos y Guijarro "Pseudo-triángulos y pseudo-triangulaciones" - Gaussianos | Gaussianos
http://gaussianos.com/recordatorio-decimo-desafio-gaussianos-y-guijarro-pseudo-triangulos-y-pseudo-triangulaciones/

Lectures on the Icosahedron (Dover Phoenix Editions): Felix Klein: 9780486495286: Amazon.com: Books
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Publicado el 4 de Diciembre, 2013, 13:01

Tiempo de revisar mis resoluciones de noviembre:

- Escribir post sobre historia de la física cuántica [completo] (ver post)
- Escribir post sobre historia de las matemáticas [completo] (ver post)
- Escribir post de mi serie Topología General [pendiente]
- Escribir post de mi serie Leyendo a Darwin [pendiente]
- Estudiar física cuántica y su historia [completo]

También agregué:

Series de Potencias (1)
Notas sobre Lagrangianos y Hamiltonianos (3)

He estado bastante ocupado en mi actividad profesional, y atendiendo temas personales.

Y de plantear las de este mes:

- Escribir post sobre historia de la física cuántica
- Escribir post sobre historia de las matemáticas
- Escribir post de mi serie Leyendo a Darwin
- Seguir estudiando historia de la física cuántica

Nos leemos!

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Publicado el 2 de Diciembre, 2013, 8:09

Quiero comenzar a jugar a ser matemático, con algunos elementos. Elijo para esta serie de posts las series infinitas de potencias, que hay algo he visitado en:

Desarrollando una Función en Serie de Potencias
Resolviendo una Simple Ecuación Diferencial Usando Series de Potencias

Sea una serie infinita de potencias de x:

Vean que no trato de saber si es convergente o no para cada x. Puedo tomar tanto los coeficientes como la variable x de algún cuerpo conmutativo, digamos de los reales o de los complejos. Por ahora, para lo que voy a hacer, no importa.

Defino arbitrariamente la "derivada de y" como:

Es decir, como derivando cada término en x, pero sin preocuparme si esto está bien definido o no. De la misma forma, puedo seguir con la "segunda derivada":

Qué pasa si quiero conocer la serie que cumpla con:

Veamos. Lo primero que hago es hacer coincidir con signos opuestos los coeficientes de ambas series, que correspondan a las mismas potencias de x:





Queda una regla de formación de coeficientes, quedando libres (sin determinar) a0 y a1. Puedo escribir


Es decir, toda y que sea solución de y"" + y = 0 es la combinación lineal de dos series de potencias. Esas dos series de potencias son conocidas. La primera, para x = 1 da 1. La segunda, para x = 0, se obtiene 0. La primera es cos(x) y la segunda es sen(x). Es tema pendiente encontrar la demostración de esa correspondencia. No es un tema trivial: hay que encontrar la expresión de seno (o de coseno) en serie de potencias, apelando a propiedades trigonométricas. Una vez demostrados que seno y coseno se pueden expresar con esas series (al menos para x real), podré extender el resultado a otras series.

Que recuerde, el primero que demostró el desarrollo en serie de seno de x fue Newton.

Otros temas que quedan pendientes: ¿cuándo convergen estas series de potencias? ¿toda función se puede expresar en series de potencias? Mostrar la relación entre los coeficientes del desarrollo en serie y las derivadas de la función en un punto.

Nos leemos!

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