Angel "Java" Lopez en Blog

Publicado el 2 de Diciembre, 2013, 8:09

Quiero comenzar a jugar a ser matemático, con algunos elementos. Elijo para esta serie de posts las series infinitas de potencias, que hay algo he visitado en:

Desarrollando una Función en Serie de Potencias
Resolviendo una Simple Ecuación Diferencial Usando Series de Potencias

Sea una serie infinita de potencias de x:

Vean que no trato de saber si es convergente o no para cada x. Puedo tomar tanto los coeficientes como la variable x de algún cuerpo conmutativo, digamos de los reales o de los complejos. Por ahora, para lo que voy a hacer, no importa.

Defino arbitrariamente la "derivada de y" como:

Es decir, como derivando cada término en x, pero sin preocuparme si esto está bien definido o no. De la misma forma, puedo seguir con la "segunda derivada":

Qué pasa si quiero conocer la serie que cumpla con:

Veamos. Lo primero que hago es hacer coincidir con signos opuestos los coeficientes de ambas series, que correspondan a las mismas potencias de x:





Queda una regla de formación de coeficientes, quedando libres (sin determinar) a0 y a1. Puedo escribir


Es decir, toda y que sea solución de y"" + y = 0 es la combinación lineal de dos series de potencias. Esas dos series de potencias son conocidas. La primera, para x = 1 da 1. La segunda, para x = 0, se obtiene 0. La primera es cos(x) y la segunda es sen(x). Es tema pendiente encontrar la demostración de esa correspondencia. No es un tema trivial: hay que encontrar la expresión de seno (o de coseno) en serie de potencias, apelando a propiedades trigonométricas. Una vez demostrados que seno y coseno se pueden expresar con esas series (al menos para x real), podré extender el resultado a otras series.

Que recuerde, el primero que demostró el desarrollo en serie de seno de x fue Newton.

Otros temas que quedan pendientes: ¿cuándo convergen estas series de potencias? ¿toda función se puede expresar en series de potencias? Mostrar la relación entre los coeficientes del desarrollo en serie y las derivadas de la función en un punto.

Nos leemos!

Angel "Java" Lopez
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