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Es impresionante los temas que abarcan los "smooth manifolds". En el anterior post citaba:

.. one must progress through topological spaces, smooth atlases, tangent bundles, cotangent bundles, immersed and embedded submanifolds,  tensors, Riemannian metrics, differential forms, vector fields, flows, foliations, Lie derivatives, Lie groups, Lie algebras, and more—just to get to the point where one can even think about studying specialized applications of manifeld theory such as gauge theory or symplectic topology.

Nota 1b

Esta nota es una continuación de la anterior. Sigo leyendo en ese prefacio de "Introduction to Smooth Manifolds", de Lee, Springer

This subject is often called "differential geometry." I have deliberately avoided using that term to describe what this book is about, however, because the term applies more properly to the study of smooth  manifolds endowed with some extra structure—such as Lie groups, Riemannian manifolds, symplectic manifolds, vector bundles,- foliations—and of their properties that are invariant under structure-preserving maps. Although I do give all of these geometric structures their due (after all, smooth  manifold theory is pretty sterile without some geometric applications), I felt that it was more honest not to suggest that the book is primarily about one or all of these geometries. Instead, it is about developing the general tools for working with smooth manifolds, so that the reader can go on to work in whatever field of differential geometry or its cousins he or she feels drawn to.

Este párrafo me sirve para darme cuenta que las variedades suaves, en general, tienen alguna estructura adicional que las hace interesantes. Tengo que distinguir todavía entre variedades de Riemann y las simplécticas. Veo que las propiedades interesantes de esas estructuras adicionales, son INVARIANTES ante los cambios de mapas de coordenadas.

Siempre hay que ver que una variedad (suave o no) se puede ver como un conjunto de puntos, con entornos (recordemos espacios topológicos). Pero lo que le da sabor, es la posibilidad de asignar a cada punto valores en un mapa (o varios) de coordenadas. Ese ida y vuelta entre la representación sin mapa fijo, y el de un mapa cualquiera, es lo que le da interés al estudio de las variedades. Y las variedades suaves (que no he definido en ninguna nota, pero donde la suavidad tiene relación con la transformación suave de mapas, donde "suave" indica alguna clase de diferenciación infinita entre las funciones que transforman las coordenadas en otras) se aplican entonces en muchos ámbitos de la física, donde se pueden definir propiedades y estructuras adicionales de la variedad que se mantengan ante cambios en los mapas de coordenadas. Como pasa en la realidad física: las coordenadas son humanas, las pone el físico, no la realidad. 

Nos leemos!

Angel "Java" Lopez
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