Angel "Java" Lopez en Blog

Publicado el 22 de Enero, 2014, 14:35

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Este es un tema interminable e importante, en física clásica y cuántica. En esta nueva nota, quería comentar una continuación de la nota 1 del primer post

Nota 5

Sigo leyendo "el Penrose". Cerca del comienzo del capítulo 20, escribe Penrose:

Consideremos un sistema newtoniano que consiste en un número (finito) de partículas individuales y quizás algunos cuerpos rígidos, cada uno de ellos considerado como una entidad indivisible. Habrá un espacio de configuración, C, de un número grande, N, de dimensiones, cada uno de cuyos puntos representa una única disposición espacial de todas estas partículas y cuerpos... En el transcurso del riempo, ese único punto de C que representa a todo el sistema se moverá dentro de C de acuerdo con cierta ley que engloba el comportamiento newtoniano del sistema;... Resulta muy notable (y muy valioso computacionalmente) el hecho de que esta ley puede obtenerse por un procedimiento matemático a partir de una única función.

Cierto: es muy notable. Las ecuaciones de movimiento que describan la evolución de las N dimensiones se pueden obtener de una única función. Y esa función es el lagrangiano del sistema (o el hamiltoniano). Lo que se busca en la física actual, ante un problema concreto, es encontrar el lagrangiano correspondiente. Es el tema a estudiar: ¿qué lleva a la naturaleza a tener ese esquema tan notable? Tal vez es sólo una ilusión matemática, un "emergente" de algo más básico que no conocemos (esta frase apunta a lo que quiero seguir proponiendo: la realidad no funciona de "forma continua", sino de alguna otra forma; el que tengamos modelos continuos basados en números reales y complejos, y estas formulaciones lagrangianas y hamiltonianas, bien puede ser sólo una aproximación a algo más fundamental).

En la imagen lagrangiana (al menos en su forma más simple y habitual), esta función - denominada la función lagrangiana - se define sobre la fibra tangente T(C) del espacio de configuración C ...

Penrose debe ser el único de mis lecturas principales que menciona lo de fibra tangente (y más abajo, fibra cotangente). Son términos más matemáticos que físicos, y en muchos libros de texto no aparecen (por ejemplo, no los encontré en la "Mecánica Clásica" de Goldstein, ni en Landau).

En la imagen hamiltoniana, la función - denominada función hamiltoniana - se define sobre la fibra cotangente T*(C)... denominada espacio de fases. Notemos que tanto T(C) (cada uno de cuyos puntos representa un punto Q de C, junto con un vector tangente en Q) como T*(C)(cada uno de cuyos puntos representa un punto Q de C, junto con un vector cotangente en Q) son variedades 2N-dimensionales.

Si bien entiendo espacio vectorial tangente, tengo que captar mejor la idea del cotangente, y luego, lo de fibras (temas que luego tienen contacto con conexión gauge, como trata el propio Penrose en otro capítulo). Veremos que en ambos tratamientos, lagrangiano y hamiltoniano, hay coordenadas generalizadas. Pero hay otras coordenadas: en el primero, hay "velocidades", y en el segundo "momentos" generalizados. Pero tiempo al tiempo. Seguiré tomando notas, y en algún momento, comenzará serie de post con desarrollo más concreto, fórmulas y ejemplos.

Nos leemos!

Angel "Java" Lopez
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Por ajlopez, en: Ciencia