Angel "Java" Lopez en Blog

Publicado el 30 de Enero, 2014, 14:55

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Uno de los libros que me explica lagrangianos y hamiltonianos es "Fundamentos de Mecánica Cuántica" de Borowitz. Es un muy buen libro, que recorre el camino seguido por Schrödinger: la conexión entre la mecánica clásica y la cuántica es similar a la relación entre óptica geométrica y ondulatoria.

En uno de los capítulos, por ejemplo, desarrolla todo sobre series y transformaciones de Fourier. Es un libro bastante autocontenido e interesante por el detalle que pone. Hoy tomo de ahí una breve nota, del capítulo donde presenta lagrangianos y hamiltonianos, el capítulo 6, titulado Dinámica:

Nota 6

Primero presenta a Newton:

La resolución de problemas referentes a fenómenos de partículas clásicas se inicia con las leyes del movimiento de Newton, sobre todo con la segunda ley. En realidad, las partículas pueden ser definidas como entes cuyo movimiento se rige por estas leyes. Como las ecuaciones clásicas del movimiento no se asemejan en absoluto a la ecuación de ondas (la segunda ley de Newton conduce a ecuaciones diferenciales ordinarias y no a ecuaciones diferenciales entre derivadas parciales como la ecuación de ondas), para establecer la conexión entre fenómenos corpusculares y ondas será necesario llevar a cabo algunas transformaciones. Este capítulo y el siguiente están dedicados al estudio de los principales avances y evoluciones de la mecánica de los cuales resultó el establecimiento de dicha conexión.

Para Newton, ver:

Las leyes de movimiento de Newton
Mecánica Clásica (1) Primeros Conceptos

Borowitz pasa a deducir un primer lagrangiano, suponiendo ya fórmulas para energía cinética, potencial, que es una fuerza conservativa, y que el potencial entonces sólo depende de la posición y no de la velocidad ni del tiempo. Son varias restricciones, pero sirven para comenzar a tratar el tema. Una vez obtenida la expresión de las ecuaciones de Lagrange (derivadas sobre L el lagrangiano), afirma que esas ecuaciones son mejores que la formulación de Newton porque no cambian de forma ante un cambio de sistema de coordenadas. No da una prueba, y sugiere hacer la sustitución algebraica. Tengo pendiente esa deducción. Es más fácil deducir que las ecuaciones de Lagrange son invariantes por cambios de coordenadas si se parte del principio de Hamilton (donde cierta integral de L es extremal) y se aplican entonces las ecuaciones de Euler de cálculo variacional. Todos temas para otra serie de post, más matemática.

Pero no quiero olvidarme de algo que mencione, que en muchos textos de mecánica no está tan explícito. En la segunda sección, presenta el principio de mínima acciób de Hamilton. Y escrribe lo que comienza a ser la conexión entre mecánica y óptica:

Puesto que la dinámica puede formularse en términos de un principio variacional es posible establecer una conexión entre la óptica y la dinámica. La generación de trayectoria en un problema mecánico puede concebirse como un intento por parte del sistema de mantener la acción en un mínimo, del mismo modo que la generación de una trayectoria en óptica se efectúa a lo largo de un camino que mantiene en un mínimo al tiempo.

Describe una lagrangiana para fenómenos ópticos, y escribe:

Esta "lagrangiana" no parece hallarse asociada con una diferencia entre una "energía cinética" y una "energía potencial", pero este hecho no debe por sí mismo disuadirnos. Existen sistema dinámicos en los que la lagrangiana no es expresable como diferencia entre las energías cinéticas y potencial. En realidad, se suele considerar como lagrangiana apropiada a aquella función de las coordenadas y del tiempo que, introducida en las ecuaciones de Lagrange, proporciona las ecuaciones del movimiento correctas. Esta función no ha de ser necesariamente expresable como diferencia entre las energías cinética y potencial.

Lo importante a entender es:

- Hay una lagrangiana L (una fórmula) que describe un sistema
- Hay ecuaciones adicionales sobre L (las ecuaciones de Lagrange)
- Y ESAS ECUACIONES dan las ecuaciones de movimiento del sistema
- La expresión de esas ecuaciones es tan fundamental que son invariantes a los cambios de coordenadas

Es notable que la naturaleza física "funcione" de esta manera. Es algo profundo que se nos asoma desde la mecánica clásica y las matemáticas. De ahí que tanto lagrangianas como hamiltonianos tengan un papel destacado en la formación de modelos matemáticas, tanto en física clásica como en cuántica.

Luego de deducir el primer lagrangiano desde las ecuaciones de Newton,

Posts donde ya mencioné el libro:

Hacia la Física Cuántica: Notas de su Historia
Estudiando Física Cuántica

Nos leemos!

Angel "Java" Lopez
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Por ajlopez, en: Ciencia