Habría tanto para escribir y comentar sobre Poincaré. Y su influencia tanto en la física como en las matemáticas. Por ahora, unos enlaces. Vean por ejemplo, el del Poincaré Project.

http://en.wikipedia.org/wiki/Henri_Poincar%C3%A9

Jules Henri Poincaré (French: [ʒyl ɑ̃ʁi pwɛ̃kaʁe];^[2] 29 April 1854 – 17 July 1912) was a French mathematician, theoretical physicist, engineer, and a philosopher of science. He is often described as a polymath, and in mathematics as The Last Universalist by Eric Temple Bell,^[3] since he excelled in all fields of the discipline as it existed during his lifetime.

As a mathematician and physicist, he made many original fundamental contributions topure and applied mathematics, mathematical physics, and celestial mechanics. He was responsible for formulating the Poincaré conjecture, which was one of the most famousunsolved problems in mathematics until it was solved in 2002–2003. In his research on thethree-body problem, Poincaré became the first person to discover a chaotic deterministic system which laid the foundations of modern chaos theory. He is also considered to be one of the founders of the field of topology.

Poincaré made clear the importance of paying attention to the invariance of laws of physics under different transformations, and was the first to present the Lorentz transformations in their modern symmetrical form. Poincaré discovered the remaining relativistic velocity transformations and recorded them in a letter to Dutch physicist Hendrik Lorentz (1853–1928) in 1905. Thus he obtained perfect invariance of all of Maxwell's equations, an important step in the formulation of the theory of special relativity.

The Poincaré group used in physics and mathematics was named after him.

James Tauber : Poincaré Project
http://jtauber.com/poincare_project/

The Poincaré Conjecture
http://www.claymath.org/poincare/

Henri Poincaré | El Tamiz
http://eltamiz.com/2012/01/19/henri-poincare/

Pat'sBlog: On This Day in Math - December 9
http://pballew.blogspot.com.ar/2013/12/on-this-day-in-math-december-9.html

French Polymath Henri Poincaré on How Creativity Works | Brain Pickings
http://www.brainpickings.org/index.php/2013/08/15/henri-poincare-on-how-creativity-works/

Phys. Rev. 140, B977 (1965): Classification of Elementary Particles Based on the Representation Types of the Poincaré Group Including Space, Time, and Charge Reflections
http://prola.aps.org/abstract/PR/v140/i4B/pB977_1

Representations of the Symmetry Group of Spacetime
http://pages.cs.wisc.edu/~guild/symmetrycompsproject.pdf

Gauge fixing - Wikipedia, the free encyclopedia
http://en.wikipedia.org/wiki/Gauge_fixing

Poincaré conjecture - Wikipedia, the free encyclopedia
http://en.wikipedia.org/wiki/Poincar%C3%A9_conjecture

Division Algebras and Supersymmetry III | The n-Category Café
http://golem.ph.utexas.edu/category/2011/09/division_algebras_and_supersym_1.html

Spinors, Chirality, and Majorana Mass « An American Physics ...
http://fliptomato.wordpress.com/2008/01/04/spinors-chirality-and-majorana-mass/

Matemático Grigori Perelman explica por qué renunció a US$ 1 millón - FayerWayer
http://www.fayerwayer.com/2011/04/matematico-grigori-perelman-explica-por-que-renuncio-a-us-1-millon/

Grigori Perelman claims he can control Universe - English pravda.ru
http://english.pravda.ru/science/tech/28-04-2011/117727-Grigori_Perelman-0/

Yang–Mills existence and mass gap - Wikipedia, the free encyclopedia
http://en.wikipedia.org/wiki/Yang%E2%80%93Mills_existence_and_mass_gap

Pictures of Modular Curves (III) | The n-Category Café
http://golem.ph.utexas.edu/category/2010/11/pictures_of_modular_curves_iii.html

Russian mathematician rejects $1 million prize - Yahoo! News
http://news.yahoo.com/s/ap/20100701/ap_on_sc/eu_sci_russia_math_genius

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Uno de los primeros textos donde apareción "variedad" en mis lecturas de este siglo, está en "el Penrose". El tema de variedades suaves aparecen en varios lugares en ese gran libro. Vaya una nota para recordar la introducción al tema:

Nota 2

Leo en la sección 10.2 Suavidad, Derivadas Parciales:

Puesto que al considerar funciones de más de una variable empezamos a aventurarnos en espacios de dimensiones más altas, aquí es necesario hacer algunos comentarios concernientes al "cálculo infinitesiman" en tales espacios....

Justamente, en las variedades suaves se aplica alguna forma de análisis matemático, involucrado integrales, derivades, diferenciales. Esa es una nota que distingue a las variedades suaves: no son "suaves" sólo en un sentido topológico sino que hay una estructura adicional que permite extender el cálculo ("cálculo" como "análisis matemático", no simple destreza de calcular), a las variedades de varias dimensiones (incluso de dimensión infinita). Igual, a Penrose le interesa las variedades n-dimensionales. Y explica un caso de uso en física.

... los espacios - conocidos como variedades - pueden ser de cualquier dimensión n, donde n es un entero positivo. (Una variedad n-dimensional se suele conocer simplemente como una n-variedad.) La teoría de la relatividad general de Einstein utiliza una 4-variedad para describir el espaciotiempo, y muchas teorías modernas utilizan variedades de dimensiones aún más altas. Exploraremos las n-variedades generales ... [pero ahora] por simplicidad consideraremos solo la situación de una 2-variedad (o superficie) real S. Entonces podemos utilizar las coordenadas locales x e y (reales) para etiquetar los diferentes puntos de S (en una región local de S). De hecho, la discusión es muy representativa del caso general n-dimensional.

Al pensar en dos dimensiones, uno podría usar el plano euclídeo. Pero hay otros ejemplos, más interesantes:

Una superficie 2-dimensional podría ser, por ejemplo, un plano ordinario o una esfera ordinaria.... Su estructura [la de la variedad] solo tiene que ser la de una variedad suave. Geométricamente, esto significa... que necesitamos poder decir cuándo una función definida en el espacio (i.e., una función cuyo dominio es el espacio) debe considerarse "suave".

Voy a dejar acá la lectura del texto para esta nota. Por una lado, aparecieron coordenadas. Por otro lado, a cada punto del espacio/variedad a considerar se le puede asignar una función (por ejemplo, con resultado real o complejo; si queremos jugar a las matemáticas, podríamos considerar funciones que van de una variedad a otra, y considerar la variedad "target"/objetivo a la  recta real o plano complejo como casos especiales). Les adelanto que hay que considerar:

- La existencia de mapas de coordenadas que pueden no cubrir TODA la variedad (por ejemplo, no hay una forma de adoptar coordenadas en la superficie de una esfera PARA TODOS los puntos, sin caer en puntos singulares, como el "polo norte" y el "polo sur" en el caso de coordenadas longitud/latitud)
- El solapamiento "suave" de mapas de coordenadas
- La existencia de funciones "suaves" y como esa suavidad se extiende al aplicar mapas que se solapan "suavemente"

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Hay mucho material para comentar en los enlaces de abajo, y otros que voy coleccionado. Por ejemplo, la presentación "Three Pictures" es muy interesante, porque marca las diferencias entre los modelos de Schrodinger, Heisenberg y Dirac. O el "Understanding Heisenberg ... " un muy buen artículo que me hace ver que mi incomprensión de algunos pasos en el "paper" más famoso no era injustificada.

http://en.wikipedia.org/wiki/Werner_Heisenberg

Werner Karl Heisenberg (5 December 1901 – 1 February 1976) was a Germantheoretical physicist and one of the key creators of quantum mechanics. He published his work in 1925 in a breakthrough paper. In the subsequent series of papers with Max Bornand Pascual Jordan, during the same year, this matrix formulation of quantum mechanicswas substantially elaborated. In 1927 he published his uncertainty principle, upon which he built his philosophy and for which he is best known. Heisenberg was awarded theNobel Prize in Physics for 1932 "for the creation of quantum mechanics".^[1] He also made important contributions to the theories of the hydrodynamics of turbulent flows, the atomic nucleus, ferromagnetism, cosmic rays, and subatomic particles, and he was instrumental in planning the first West German nuclear reactor at Karlsruhe, together with a research reactor in Munich, in 1957. Considerable controversy surrounds his work on atomic research during World War II.

Following World War II, he was appointed director of the Kaiser Wilhelm Institute for Physics, which soon thereafter was renamed the Max Planck Institute for Physics. He was director of the institute until it was moved to Munich in 1958, when it was expanded and renamed the Max Planck Institute for Physics and Astrophysics.

Heisenberg was also president of the German Research Council, chairman of the Commission for Atomic Physics, chairman of the Nuclear Physics Working Group, and president of the Alexander von Humboldt Foundation.

Heisenberg group - Wikipedia, the free encyclopedia
http://en.wikipedia.org/wiki/Heisenberg_group

Heisenberg, Matrix Mechanics, and the Uncertainty Principle
https://www.physics.iitm.ac.in/~labs/dynamical/pedagogy/slbala/heisenberg.pdf

Three Pictures of Quantum Mechanics
http://uncw.edu/phy/documents/Shafer_09.pdf

Understanding Heisenberg’s ‘magical’ paper of July 1925: a new look at the calculational details
http://arxiv.org/pdf/quant-ph/0404009.pdf

Quantum Mechanics, 1925-1927: Triumph of the Copenhagen Interpretation
http://www.aip.org/history/heisenberg/p09.htm

Heisenberg's Uncertainty Principle - Part 1 of 2 - YouTube
http://www.youtube.com/watch?v=yrVi24pp_6I&feature=relmfu

References for: A history of Quantum Mechanics
http://www.gap-system.org/~history/HistTopics/References/The_Quantum_age_begins.html

Heisenberg’s Matrix Mechanics and Dirac’s Re-creation of it
http://www.worldscibooks.com/etextbook/7271/7271_chap02.pdf

S-matrix - Wikipedia, the free encyclopedia
http://en.wikipedia.org/wiki/S-matrix

Heisenberg picture - Wikipedia, the free encyclopedia
http://en.wikipedia.org/wiki/Heisenberg_picture

Copenhagen (TV 2002) - IMDb
http://www.imdb.com/title/tt0340057/

What is the Uncertainty Principle? - YouTube
http://www.youtube.com/watch?v=7vc-Uvp3vwg

Heisenberg - Quantum Mechanics, 1925-1927: The Uncertainty Principle
http://www.aip.org/history/heisenberg/p08.htm

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Les sigo compartiendo temas que se tratan en Café Filosófico, aquí en Buenos Aires, Argentina. Más detalle, lugar, costos, en:

http://filosofiaparalavida.com.ar/cafefilosofico.htm

El tema de hoy es la búsqueda de relación amorosa. Soy algo escéptico a poner teoría de la evolución (biológica, imagino) en este tema. Tampoco me convence la psicología evolutiva. Pienso (más que opino) que la cultura y la historia han tenido MUCHO de injerencia en nuestras conductas. Decir que la conducta X ha "sido seleccionada" por ser "ventajosa" es una gran afirmación, que apela a mecanismos paralelos a los de la evolución biológica (como la supuesta selección), que no veo que sucedan. Sólo lo tomaría como una analogía, pero nada más. Veamos el temario:

 ¿Se preguntaron por qué algunas personas muy inteligentes tienen tantas dificultades en sus relaciones amorosas? En un trabajo reciente publicado por la Universidad de Oxford, dos investigadores evolucionistas, pioneros en este campo de estudio, Glenn Geher y Scott Barry Kaufman, revelan qué entienden por "inteligencia en la búsqueda de sexo y de pareja" y nos revelan muchos aspectos desconocidos y fascinantes a la luz de recientes investigaciones científicas, inéditas en el país, en las que interactúan la teoría evolucionista y las neurociencias. La búsqueda de sexo o de pareja exige un enorme trabajo cognitivo consciente e inconsciente, de modo que la inteligencia tiene un papel importante para jugar ahí.

Nos internaremos en una exploración del universo cognitivo, consciente e inconsciente, detrás de las estrategias de apareamiento de los seres humanos. La habilidad para presentarse a uno mismo como atractivo. La neuroquímica de la confianza. Pensamientos, motivaciones y aptitudes vinculadas con salir victorioso en el juego del apareamiento. Según los estudios disponibles, ¿quiénes detectan mejor las infidelidades, los hombres o las mujeres? Esta diferencia, ¿cumple alguna función biológicamente adaptativa? La función del humor en el cortejo de hombres y mujeres. ¿Qué dicen (sorprendentemente) los estudios científicos acerca de la conveniencia de que las mujeres prefieran como pareja a los hombres que las hacen reír? Según las evidencias disponibles, ¿cuáles son las mejores frases para el cortejo y cuáles están con mayor probabilidad destinadas al fracaso? Los indicadores de "buena paternidad". ¿Qué hombres y mujeres resultan más atractivos para relaciones a corto y a largo plazo?

Muchas de las capacidades humanas se desarrollaron para encantar a una potencial pareja. ¿Qué rol cumplen el arte, el humor y la creatividad en el apareamiento? Los efectos de la ovulación en la preferencia de pareja. El rol de la personalidad. ¿Cómo operan en hombres y mujeres las variables disposicionales (inteligencia, creatividad, humor, personalidad) y las situacionales (riqueza, status social o atractivo físico)? Qué resulta más atractivo para cada género. La psicología evolucionista sostiene que aunque existan influencias culturales, el atractivo físico no está construido enteramente por la cultura. El rol de la mente en el sexo, el cortejo y el amor. Como solemos hacerlo habitualmente, expondremos material reciente que hemos traido del exterior para compartir en nuestros encuentros.

Este trabajo original, revelador, sorprendente y por momentos muy gracioso, ilumina quizá una de las facetas más fundamentales de la biología y de la filosofía: el apareamiento y la reproducción humanas. Un ejemplo de cómo la ciencia puede ser de utilidad para el ciudadano común.

(Incluimos abajo un par de fragmentos sobre el tema)

Esto me parece más interesante: examinar la conducta de la gente, y luego formular modelos (que pueden estar o no equivocados). Pero por lo menos no apela tanto a la explicación evolutiva:

 Hay mujeres engañadas, pero no por un hombre, sino por condicionantes genéticos, culturales y propios de un periodo histórico determinado. Por ejemplo, van a un encuentro de citas rápidas (speed-dating), declaran por escrito que buscan una relación a largo plazo pero terminan seducidas por el caballero que sólo desea tener una relación a corto plazo. Este comportamiento fue mayoritario en las mujeres pero no en los hombres que asistieron a una investigación realizada en el contexto de citas rápidas por Jens Asendorpt y equipo en Alemania. Era más probable que los hombres que buscaban una relación comprometida lo consiguieran, mientras que la mayoría de las mujeres en idéntica situación terminaban en una relación a corto plazo. ¿Cómo se explica? Una hipótesis posible pleanteada por los investigadores es que los hombres que buscan relaciones a corto plazo pueden tener más habilidades para la seducción, tal vez sean menos tímidos y esto se vincula con los roles tradicionales, que requieren que los hombres tomen la iniciativa. El estudio hizo un seguimiento de un año y, en efecto, muchas más mujeres que buscaban relaciones de pareja estable no lo habían conseguido, a diferencia de los hombres que se habían planteado idéntico propósito.

 En un estudio en el que 206 mujeres leyeron sobre distintos hombres, los descriptos como más graciosos fueron caracterizados como más "sensibles, flexibles, extrovertidos, excitantes, felices, capaces de jugar con niños, inteligentes, generosos, altos ( !) ricos, masculinos y musculosos ( !)". Sin embargo, en estudios en los que se hizo un seguimiento de las parejas a lo largo de los años, se vio que las parejas más felices y duraderas son aquellas en las que la mujer es más generadora de humor que el hombre. La hipótesis de los investigadores es que en muchos casos el humor masculino puede ser utilizado en contra de la mujer. Si algo aprendimos, señalan los autores, es que la inteligencia humana para la búsqueda de pareja es extremadamente complicada.

Lo comparto por acá, para no perder la descripción, y los investigadores nombrados. Me temo que la gente de Café Filosófico no deja publicadas estos textos, sólo vi el último de cada semana.

Nos leemos!

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Sigo leyendo a Heisenberg:

La época siguiente [a la de Newton] aplicó con éxito los métodos de la mecánica newtoniana a dominios de la Naturaleza cada vez más amplios. Se procuró aislar mediante el experimiento determinadas partes del proceso natural, observarlas objetivamente y comprender su regularidad; se procuró luego formular matemáticamente las relaciones descubiertas, obteniendo "leyes" de validez incondicionada en todo el Universo. Con ello se alcanzó finalmente, mediante la técnica, el poder de aplicar a nuestros fines las fuerzas de la Naturaleza. El magno desarrollo de la mecánica en el siglo XVIII, y el de la óptica y la teoría y técnica térmicas a principios del XIX, atestiguan la fecundidad de aquel principio.

Hasta acá una descripción de lo que pasó con el desarrollo de la ciencia moderna luego de Newton. Vemos que Heisenberg menciona experimento, relaciones, pero no pone "modelo". La ciencia no es sólo relaciones, sino también el proponer conceptos y modelos que puedan explicar lo que sucede.

Y acá viene el tema del libro, cómo se ha ido transformando la imagen de la Naturaleza.

A medida que aquel tipo de ciencia natural iba obteniendo éxito, traspasaba progresivamente las fronteras del dominio de la experiencia cotidiana y penetraba en remotas zonas de la Naturaleza, que no pdían ser alcanzadas más que mediane la técnica que por su parte iba desarrollándose en combinación con la ciencia natural. Ya en la obra de Newton, el paso decisivo lo constituyó el descubrimiento de que las leyes mecánicas que rigen la caída de una piedra son las mismas que presiden el movimiento de la Luna alrededor de la Tierra, y, por consiguiente, que aquellas leyes pueden aplicarse también en dimensiones cósmicas.

Eso es importante. Fue la primera "gran unificación" que vivió la física. Para Aristóteles y otros, los cielos tenían sus propias leyes y propiedades. El movimiento circular era el "normal" en los cielos.

Por hoy, dejo acá el tema, a seguir en próximos posts.

Nos leemos!

Angel "Java" Lopez
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Ha llegado el tiempo de encarar más seriamente el estudio de un tema que empapa gran parte de las matemáticas aplicadas a la física. Notablemente, tiene injerencia tanto en la física clásica, como en la mecánica cuántica "clásica" y la derivada teoría de campos cuántica. Esto indica, de alguna manera, que este formulismo matemático que vamos a comenzar a estudiar esconde una clave importante en la formación de modelos de la realidad física. Tal vez sean modelos que se puedan explicar de otra forma, tal vez sean modelos donde los lagrangianos y hamiltonianos (el tema que nos ocupa) sean fundamentales y no derivados. Mi apuesta actual: son derivados, no fundamentales. Sólo surgen por aproximación a modelos continuos desde una conducta no continua de la realidad física. Pero por ahora, dejemos consideraciones filosóficas, y adentrémonos en este grande y fascinante tema.

Desde hace siglos, la física de la mecánica se ve guiada por las leyes de Newton. Estas nos dan una forma de describir el movimiento de partículas ideales (y luego, cuerpos y otros elementos) a partir de la descripción de las fuerzas que actúan sobre ellas, y una característica que llamamos masa. A partir de ahí, con ecuaciones diferenciales con derivadas por tiempo (no derivadas parciales, sino absolutas) Newton y compañía pueden establecer ecuaciones de movimiento que nos dicen dónde estará una partícula determinada (en un sistema de partículas) al tiempo t, sabiendo la disposición (posición espacial y velocidades) de las partículas al tiempo 0, sus características (masa inercial de cada una) y las fuerzas y leyes de fuerzas que actúan en el ambiente (por ejemplo, fuerzas gravitatorias entre las partículas, fuerzas de otro tipo (ejemplo, electromagnetismo) entre las partículas y entre las partículas y el ambiente, etc). Si bien el esquema newtoniano ha servido para resolver problemas y describir muchas situaciones, en la historia de las matemáticas han surgido, motivados por tema s físicos, otras aproximaciones a la descripción de las ecuaciones de movimientos. Veamos hoy una derivación simple (y parcial) de lo que se llaman las ecuaciones de Lagrange.

Primero, recordemos la forma de la segunda ley de Newton:

¿Qué nos dice esta fórmula? Al ser una ecuación donde interviene la derivada total del tiempo, nos dice que el cambio del momento p (que es un vector, tiene dirección y magnitud) se origina en las fuerzas presentes en cada instante. Se puede reescribir, cuando nos manejamos en física no relativista, como:

Donde x es el vector posición. La derivada segunda por el tiempo nos dá la velocidad. Si consideramos que x se puede expresar en sus componentes de coordenadas cartesianas xi:

Consideremos un caso especial pero importante en física: la fuerza se origina de una sola fuente, que se puede explicar con un campo potencial V (lo que se llama un campo de fuerzas conservativo). Es decir, las fuerzas externas se pueden dar con sólo dar la posición de la partícula: no importa la velocidad, ni el color ni el sabor ni nada más. Y en base al cambio de potencial V en el espacio, se da la fuerza. Como ejemplo, podría poner como V el campo gravitatorio, que genera una fuerza que "empuja" a la partícula desde un punto de mayor potencial a uno de menor potencial. Eso se expresa diciendo que la fuerza es proporcional y apunta en la dirección espacial donde el campo V disminuye. En forma matemática:

Donde i toma los valores 1, 2, 3. La x con el punto arriba denota dx/dt, la derivada total de x respecto de t. Es la notación original de Newton, para quien no había más que derivadas por el tiempo (simplifico, pero es lo que hacía Newton cuando aplicaba su cálculo a la física).

En un campo de fuerzas como el que describimos, hay otra cosa que se pone en juego: la energía cinética de la partícula. Y así como la energía potencial sólo depende de la posición, la energía cinética en este caso sólo depende de la velocidad cartesiana (en otras coordenadas podría no ser el caso):

Notablemente, la energía cinética depende de la SUMA de las aceleraciones, no importa si giramos nuestro laboratorio en otras coordenadas (eso sí, ortogonales). Esta es una indicación de que la fórmula de arriba refleja un estado que es independiente de los ejes coordenados que elijamos (eso sí, de nuevo, ortogonales).

Ahora bien, si nos fijamos con detenimiento, vemos que la derivada de T, la energía cinética, respecto de la velocidad en el eje i, es una derivada parcial:

Entonces, si son iguales, serán iguales sus derivadas en el tiempo:

Pero vimos más arriba que el miembro de la derecha, la derivada por el tiempo del impulso, es el negativo de la derivada espacial parcial del potencial. Queda:

O lo que es lo mismo

Esta es una muy interesante fórmula, que relaciona la influencia de la fuerza (debida a un potencial) con el cambio en el tiempo de, no la energía cinética, sino de la forma en la que la energía cinética T tiende a cambiar respecto a la velocidad dirigida según los ejes. Todas estas relaciones se encuentran de nuevo por otros caminos en la mecánica clásica newtoniana. Sigamos.

Tenemos esta hermosa relación, pero no nos interesa la hermosura sino la deducción de cómo va a funcionar nuestro sistema, cómo van a evolucionar en el tiempo la posición y la velocidad de la partícula. ¿Podremos obtener algo de esa información desde la fórmula de arriba? Seamos valientes, y avancemos.
En los sistemas conservativos, que estamos considerando, la energía potencial sólo depende de la posición. Y donde la energía cinética sólo depende de las velocidades. Podemos escribir

Para indicar que la energía cinética depende de las velocidades. Es una forma abreviada de decir:

Extendamos un poco la definición de potencial, y escribamos que depende de esta forma abreviada:

Por lo que vimos en la hermosa fórmula de arriba, T y V están relacionados. ¿Cómo podemos combinarlos y seguir obtiendo algo interesante? No es evidente. Pero las primeras opciones son contemplar el estudio de T+V o T-V, las expresiones más simples que contienen a las dos. Lagrange fue el que tomó T-V como fundamental, y entonces queda:

Históricamente, esta expresión se llama lagrangiano. Pero hay que estar atentos: esta expresión combina energía cinética y potencial EN CAMPOS DE FUERZA CONSERVATIVOS. Podría tener una expresión más complicada en otras situaciones, y servirnos igual de bien (ver mi post 5 de mis notas sobre lagrangianos y hamiltonianos de más abajo). Algo notable en la historia de la física es que se descubrió que muchas situaciones se pueden describir con un lagrangiano, y aplicando lo que se llama las ecuaciones de Lagrange, que aparecen en breve más abajo, SE OBTIENEN LAS ECUACIONES DE MOVIMIENTO. Muchos problemas entonces son: dado el sistema X, encontrar su lagrangiano, de tal forma que las ecuaciones de Lagrange nos den las ecuaciones de movimiento correctas. Esto es algo que no todos los libros de texto o de divulgación avanzada declaran claramente. Muchos se quedan en que el lagrangiano es simplemente T – V y no hacen énfasis en que es un caso especial. Y que el caso general es notable: es fascinante que los modelos físicos funcionen de tal manera que dado un L podamos sacar tanta información. Algo similar pasa con otras funciones (como la función de onda de Schrodinger) en la física cuántica: una función nos da multitud de información sobre el sistema. No era evidente que la realidad física pudiera mapear a tamaño formulismo.

Pero nos quedamos a mitad de camino. Tenemos la expresión de arriba para el lagrangiano. Y ahora ¿dónde vamos? Pues bien, veamos que al ser el potencial independiente de la velocidad (lo cual no es siempre el caso en otros ambientes):

Pero también sabemos que

Ese signo menos es que de alguna forma decidió a Lagrange a decantarse por T-V.  Entonces la hermosa fórmula:

Queda expuesta como:

Son TRES ecuaciones, para i=1,2,3. Terminan relacionando posiciones y velocidades en el tiempo. Si podemos dar con estas ecuaciones (lo que es fácil conociendo el lagrangiano) y resolverlas (lo que no siempre es fácil), podemos expresar posición y velocidad futuras de la partícula, en función del tiempo. En un campo de fuerzas conservativo, estas ecuaciones son EQUIVALENTES a las derivadas de la segunda ley de Newton. Acá sólo mostré el camino Newton -> Lagrange, pero se podría hacer a la inversa.
Todo muy lindo, hermosa la fórmula, y muy interesante las ecuaciones de Lagrange. Pero ¿qué ganamos desde el punto de vista físico? No queda evidente del desarrollo de arriba. Tenemos que explorar algunos ejemplos concretos. Pero adelantemos algo: LA FORMA de las ecuaciones de Lagrange, no cambia si cambiamos las coordenadas, no sólo girando el laboratorio, sino cambiando de coordenadas cartesianas a polares, u a otras, la FORMA de la ecuaciones de Lagrange se conserva. Es decir, basta con transformar el lagrangiano a su expresión en las nuevas coordenadas, y las ecuaciones de Lagrange tienen la misma forma, derivada parcial por las velocidades de las nuevas coordenadas y derivada por las coordinadas. ESO NO ERA EVIDENTE. De nuevo, tendremos que estudiarlo en futuros posts.

Esa invariancia de forma permite plantear un problema en otras coordenadas, que podrían hacer al lagrangiano más fácil de tratar. Llamamos a las nuevas coordenadas, coordenadas generalizadas, digamos qi en vez de xi. Hasta podría ser que en el lagrangiano deje de depender de alguna coordenada qi, digamos la q1, con lo que tenemos

Entonces de la ecuación de movimiento para q1:

Ya que el segundo miembro de la izquierda es cero, podemos deducir:

O lo que es lo mismo

Es decir, podemos encontrar algo que se mantiene constante en toda la evolución del sistema partícula. Se lo llama constante del movimiento. Ya vamos a encontrar cómo en casos donde el sistema no se ve influido por temas externos, hay constantes como el momento lineal, el momento cinético, y la energía. Pero paso a paso. Ya llegaremos a temas tan importantes, relacionados con la simetría de la forma de algún lagrangiano, ver que no cambia de forma ante algunas transformaciones (como rotaciones, translaciones y otras más que aparecen en relatividad einsteniana).

El desarrollo de arriba lo tomé del excelente "Fundamentos de Mecánica Cuántica" de Sidney Borowitz, hay una edición de Reverté. Me sirvió el comienzo del capítulo 6, donde Borowitz introduce la lagrangiana, que le va a servir para explicar luego hamiltoniana, y la relación que encontró Schrodinger entre las ópticas geométrica/de ondas por un lado, y la mecánica clásica/cuántica por el otro.

Post relacionados:

Post relacionados:
Mecánica Clásica (2) Fuerza, Momento, Velocidad
Mecánica Clásica (1) Primeros Conceptos
Notas sobre Lagrangianos y Hamiltonianos (1)
Notas sobre Lagrangianos y Hamiltonianos (2)
Notas sobre Lagrangianos y Hamiltonianos (3)
Notas sobre Lagrangianos y Hamiltonianos (4)
Notas sobre Lagrangianos y Hamiltonianos (5)
Las leyes de movimiento de Newton

Nos leemos!

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Veo hoy de revisar las resoluciones de enero y plantear las de febrero. No fue un mes fácil el que pasó, con temas personales de los que ocuparse, pero he podido cumplir bastante de las resoluciones:

- Escribir post sobre Stephen Jay Gould [completo] ver post
- Escribir post de mi serie Topología General [completo] ver post
- Seguir mi serie Notas sobre Variedades Suaves [pendiente]
- Seguir mi serie Notas sobre Lagrangianos y Hamiltonianos [completo] ver post y ver post
- Seguir mi serie La necesidad de una teoría cuántica de campos [completo] ver post
- Estudiar topología [completo]
- Estudiar variedades [completo]
- Estudiar física cuántica [completo]

Además estuve escribiendo de historia de la física:

Bohr según Pauli y Heisenberg
Sommerfeld según Pauli
Teoría de Maxwell-Lorentz (4)

Para febrero, quiero:

- Escribir post sobre Stephen Jay Gould
- Seguir mi serie de Notas sobre Variedades Suaves
- Seguir mi serie de Notas sobre Lagrangianos y Hamiltonianos
- Seguir mi serie sobre la Ecuación de Schrodinger
- Seguir mi serie sobre Espacios Vectoriales
- Iniciar serie Grupos y Partículas Elementales
- Estudiar Topología
- Estudiar Espacios Vectoriales
- Estudiar Teoría de Grupos

Algo ambicioso, pero interesante.

Nos leemos!

Angel "Java" Lopez
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En el anterior post, descubrimos que puede haber, en un espacio topológico, puntos de acumulación de un conjunto cualquiera M, que tengan una cantidad de puntos finita en la intersección de sus abiertos con el conjunto M. Eso no es lo que se espera en general. Los puntos de acumulación que nos aparecen en la historia del cálculo (límites de sucesiones) en general tienen una cantidad infinita de puntos del conjunto al que se "aproximan". ¿Que es lo que nos falta?

Es que hemos considerado espacios topológicos generales. Pongamos una condición adicional; manejemos espacios topológicos que cumplan:

- Dados dos puntos distintos a, b, siempre hay un entorno del punto a que no contiene al punto b.

Gráficamente:

.

El punto a tiene siempre un entorno (en el que está incluido) que no contiene al punto b. Por supuesto, cada entorno del punto a puede tener o no más puntos. Pero siempre podemos ahora elegir un entorno de a que no contenga al punto b. En definitiva: el punto a no está "pegado" al punto b, se lo puede separar en un entorno.

Con esta simple condición, la situación de los puntos de acumulación comienza a cambiar. Sea un punto de acumulación de M, el punto a. Si TODO entorno del punto a sólo tuviera una cantidad finita de puntos de M, entonces veremos que podemos construir un entorno del punto a QUE NO contenga puntos de M, y entonces el punto a dejaría de ser de acumulación. Veamos.

Sea E(a) un entorno del punto a que tenga una cantidad FINITA de puntos de M. Sea b uno de los puntos de M que está en E(a). Ahora, por la condición enunciada arriba, hay un segundo entorno del punto a, digamos E'(a), QUE NO contiene a B. La intersección de E(a) y E'(a) sigue siendo un entorno de a, digamos E''(a). Este nuevo entorno del punto a, tiene MENOS puntos de M que el entorno del que partimos inicialmente. Siguiendo con este procedimiento, cada vez tenemos un entorno nuevo del punto a, que va teniendo menos puntos de M. Al final, como supusimos desde el principio de todo que la cantidad de puntos del entorno inicial que caían en M era finita, terminamos con un entorno del punto a QUE NO TIENE ningún punto en común con M, distinto de a. Es como que vamos quitando de a uno los puntos en común hasta quedarnos sin ninguno.

Esto es una contradicción con la suposición: el punto a es punto de acumulación de M.

Conclusión: no pueden ser a la vez ciertas:

- punto a es punto de acumulación de M
- existe E(a) con una cantidad FINITA de puntos de M, distintos de a

Corolario:

- Si punto a es de acumulación de M, TODOS sus entornos tienen una CANTIDAD INFINITA de puntos de M distintos del mismo punto a

Es notable que con la simple adición de la condición expresada recuperemos la infinitud de la "adherencia" de los puntos de acumulación. Históricamente, los espacios topológicos fueron tratados al principio con esa condición. Sólo generalizando se vió que era una condición que podía estar o no estar. Veremos en próximos posts la historia de ese desarrollo, y condiciones similares que le podemos adosar a un espacio topológico.  Tengo que visitar, por ejemplo, los distintos axiomas de separabilidad.

Nos leemos!

Angel "Java" Lopez
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