Publicado el 27 de Febrero, 2014, 14:36
Habría tanto para escribir y comentar sobre Poincaré. Y su influencia tanto en la física como en las matemáticas. Por ahora, unos enlaces. Vean por ejemplo, el del Poincaré Project. http://en.wikipedia.org/wiki/Henri_Poincar%C3%A9 Jules Henri Poincaré (French: [ʒyl ɑ̃ʁi pwɛ̃kaʁe];[2] 29 April 1854 – 17 July 1912) was a French mathematician, theoretical physicist, engineer, and a philosopher of science. He is often described as a polymath, and in mathematics as The Last Universalist by Eric Temple Bell,[3] since he excelled in all fields of the discipline as it existed during his lifetime. As a mathematician and physicist, he made many original fundamental contributions topure and applied mathematics, mathematical physics, and celestial mechanics. He was responsible for formulating the Poincaré conjecture, which was one of the most famousunsolved problems in mathematics until it was solved in 2002–2003. In his research on thethree-body problem, Poincaré became the first person to discover a chaotic deterministic system which laid the foundations of modern chaos theory. He is also considered to be one of the founders of the field of topology. Poincaré made clear the importance of paying attention to the invariance of laws of physics under different transformations, and was the first to present the Lorentz transformations in their modern symmetrical form. Poincaré discovered the remaining relativistic velocity transformations and recorded them in a letter to Dutch physicist Hendrik Lorentz (1853–1928) in 1905. Thus he obtained perfect invariance of all of Maxwell's equations, an important step in the formulation of the theory of special relativity. The Poincaré group used in physics and mathematics was named after him. James Tauber : Poincaré Project The Poincaré Conjecture Henri Poincaré | El Tamiz Pat'sBlog: On This Day in Math - December 9 French Polymath Henri Poincaré on How Creativity Works | Brain Pickings Phys. Rev. 140, B977 (1965): Classification of Elementary Particles Based on the Representation Types of the Poincaré Group Including Space, Time, and Charge Reflections Representations of the Symmetry Group of Spacetime Gauge fixing - Wikipedia, the free encyclopedia Poincaré conjecture - Wikipedia, the free encyclopedia Division Algebras and Supersymmetry III | The n-Category Café Spinors, Chirality, and Majorana Mass « An American Physics ... Matemático Grigori Perelman explica por qué renunció a US$ 1 millón - FayerWayer Grigori Perelman claims he can control Universe - English pravda.ru Yang–Mills existence and mass gap - Wikipedia, the free encyclopedia Pictures of Modular Curves (III) | The n-Category Café Russian mathematician rejects $1 million prize - Yahoo! News Mis Enlaces Nos leemos! Angel "Java" Lopez |
Publicado el 18 de Febrero, 2014, 8:50
Uno de los primeros textos donde apareción "variedad" en mis lecturas de este siglo, está en "el Penrose". El tema de variedades suaves aparecen en varios lugares en ese gran libro. Vaya una nota para recordar la introducción al tema: Nota 2 Leo en la sección 10.2 Suavidad, Derivadas Parciales:
Justamente, en las variedades suaves se aplica alguna forma de análisis matemático, involucrado integrales, derivades, diferenciales. Esa es una nota que distingue a las variedades suaves: no son "suaves" sólo en un sentido topológico sino que hay una estructura adicional que permite extender el cálculo ("cálculo" como "análisis matemático", no simple destreza de calcular), a las variedades de varias dimensiones (incluso de dimensión infinita). Igual, a Penrose le interesa las variedades n-dimensionales. Y explica un caso de uso en física.
Al pensar en dos dimensiones, uno podría usar el plano euclídeo. Pero hay otros ejemplos, más interesantes:
Voy a dejar acá la lectura del texto para esta nota. Por una lado, aparecieron coordenadas. Por otro lado, a cada punto del espacio/variedad a considerar se le puede asignar una función (por ejemplo, con resultado real o complejo; si queremos jugar a las matemáticas, podríamos considerar funciones que van de una variedad a otra, y considerar la variedad "target"/objetivo a la recta real o plano complejo como casos especiales). Les adelanto que hay que considerar: - La existencia de mapas de coordenadas que pueden no cubrir TODA la variedad (por ejemplo, no hay una forma de adoptar coordenadas en la superficie de una esfera PARA TODOS los puntos, sin caer en puntos singulares, como el "polo norte" y el "polo sur" en el caso de coordenadas longitud/latitud) Nos leemos! Angel "Java" Lopez |
Publicado el 13 de Febrero, 2014, 7:52
Hay mucho material para comentar en los enlaces de abajo, y otros que voy coleccionado. Por ejemplo, la presentación "Three Pictures" es muy interesante, porque marca las diferencias entre los modelos de Schrodinger, Heisenberg y Dirac. O el "Understanding Heisenberg ... " un muy buen artículo que me hace ver que mi incomprensión de algunos pasos en el "paper" más famoso no era injustificada. http://en.wikipedia.org/wiki/Werner_Heisenberg
Heisenberg group - Wikipedia, the free encyclopedia Heisenberg, Matrix Mechanics, and the Uncertainty Principle Three Pictures of Quantum Mechanics Understanding Heisenberg’s ‘magical’ paper of July 1925: a new look at the calculational details Quantum Mechanics, 1925-1927: Triumph of the Copenhagen Interpretation Heisenberg's Uncertainty Principle - Part 1 of 2 - YouTube References for: A history of Quantum Mechanics Heisenberg’s Matrix Mechanics and Dirac’s Re-creation of it S-matrix - Wikipedia, the free encyclopedia Heisenberg picture - Wikipedia, the free encyclopedia Copenhagen (TV 2002) - IMDb What is the Uncertainty Principle? - YouTube Heisenberg - Quantum Mechanics, 1925-1927: The Uncertainty Principle Mis Enlace Angel "Java" Lopez |
Publicado el 11 de Febrero, 2014, 10:20
Les sigo compartiendo temas que se tratan en Café Filosófico, aquí en Buenos Aires, Argentina. Más detalle, lugar, costos, en: http://filosofiaparalavida.com.ar/cafefilosofico.htm El tema de hoy es la búsqueda de relación amorosa. Soy algo escéptico a poner teoría de la evolución (biológica, imagino) en este tema. Tampoco me convence la psicología evolutiva. Pienso (más que opino) que la cultura y la historia han tenido MUCHO de injerencia en nuestras conductas. Decir que la conducta X ha "sido seleccionada" por ser "ventajosa" es una gran afirmación, que apela a mecanismos paralelos a los de la evolución biológica (como la supuesta selección), que no veo que sucedan. Sólo lo tomaría como una analogía, pero nada más. Veamos el temario:
Esto me parece más interesante: examinar la conducta de la gente, y luego formular modelos (que pueden estar o no equivocados). Pero por lo menos no apela tanto a la explicación evolutiva:
Lo comparto por acá, para no perder la descripción, y los investigadores nombrados. Me temo que la gente de Café Filosófico no deja publicadas estos textos, sólo vi el último de cada semana. Nos leemos! Angel "Java" Lopez |
Publicado el 10 de Febrero, 2014, 9:32
Sigo leyendo a Heisenberg:
Hasta acá una descripción de lo que pasó con el desarrollo de la ciencia moderna luego de Newton. Vemos que Heisenberg menciona experimento, relaciones, pero no pone "modelo". La ciencia no es sólo relaciones, sino también el proponer conceptos y modelos que puedan explicar lo que sucede. Y acá viene el tema del libro, cómo se ha ido transformando la imagen de la Naturaleza.
Eso es importante. Fue la primera "gran unificación" que vivió la física. Para Aristóteles y otros, los cielos tenían sus propias leyes y propiedades. El movimiento circular era el "normal" en los cielos. Por hoy, dejo acá el tema, a seguir en próximos posts. Nos leemos! Angel "Java" Lopez |
Publicado el 9 de Febrero, 2014, 16:15
Ha llegado el tiempo de encarar más seriamente el estudio de un tema que empapa gran parte de las matemáticas aplicadas a la física. Notablemente, tiene injerencia tanto en la física clásica, como en la mecánica cuántica "clásica" y la derivada teoría de campos cuántica. Esto indica, de alguna manera, que este formulismo matemático que vamos a comenzar a estudiar esconde una clave importante en la formación de modelos de la realidad física. Tal vez sean modelos que se puedan explicar de otra forma, tal vez sean modelos donde los lagrangianos y hamiltonianos (el tema que nos ocupa) sean fundamentales y no derivados. Mi apuesta actual: son derivados, no fundamentales. Sólo surgen por aproximación a modelos continuos desde una conducta no continua de la realidad física. Pero por ahora, dejemos consideraciones filosóficas, y adentrémonos en este grande y fascinante tema. Desde hace siglos, la física de la mecánica se ve guiada por las leyes de Newton. Estas nos dan una forma de describir el movimiento de partículas ideales (y luego, cuerpos y otros elementos) a partir de la descripción de las fuerzas que actúan sobre ellas, y una característica que llamamos masa. A partir de ahí, con ecuaciones diferenciales con derivadas por tiempo (no derivadas parciales, sino absolutas) Newton y compañía pueden establecer ecuaciones de movimiento que nos dicen dónde estará una partícula determinada (en un sistema de partículas) al tiempo t, sabiendo la disposición (posición espacial y velocidades) de las partículas al tiempo 0, sus características (masa inercial de cada una) y las fuerzas y leyes de fuerzas que actúan en el ambiente (por ejemplo, fuerzas gravitatorias entre las partículas, fuerzas de otro tipo (ejemplo, electromagnetismo) entre las partículas y entre las partículas y el ambiente, etc). Si bien el esquema newtoniano ha servido para resolver problemas y describir muchas situaciones, en la historia de las matemáticas han surgido, motivados por tema s físicos, otras aproximaciones a la descripción de las ecuaciones de movimientos. Veamos hoy una derivación simple (y parcial) de lo que se llaman las ecuaciones de Lagrange. Primero, recordemos la forma de la segunda ley de Newton: ¿Qué nos dice esta fórmula? Al ser una ecuación donde interviene la derivada total del tiempo, nos dice que el cambio del momento p (que es un vector, tiene dirección y magnitud) se origina en las fuerzas presentes en cada instante. Se puede reescribir, cuando nos manejamos en física no relativista, como: Donde x es el vector posición. La derivada segunda por el tiempo nos dá la velocidad. Si consideramos que x se puede expresar en sus componentes de coordenadas cartesianas xi: Consideremos un caso especial pero importante en física: la fuerza se origina de una sola fuente, que se puede explicar con un campo potencial V (lo que se llama un campo de fuerzas conservativo). Es decir, las fuerzas externas se pueden dar con sólo dar la posición de la partícula: no importa la velocidad, ni el color ni el sabor ni nada más. Y en base al cambio de potencial V en el espacio, se da la fuerza. Como ejemplo, podría poner como V el campo gravitatorio, que genera una fuerza que "empuja" a la partícula desde un punto de mayor potencial a uno de menor potencial. Eso se expresa diciendo que la fuerza es proporcional y apunta en la dirección espacial donde el campo V disminuye. En forma matemática: Donde i toma los valores 1, 2, 3. La x con el punto arriba denota dx/dt, la derivada total de x respecto de t. Es la notación original de Newton, para quien no había más que derivadas por el tiempo (simplifico, pero es lo que hacía Newton cuando aplicaba su cálculo a la física). En un campo de fuerzas como el que describimos, hay otra cosa que se pone en juego: la energía cinética de la partícula. Y así como la energía potencial sólo depende de la posición, la energía cinética en este caso sólo depende de la velocidad cartesiana (en otras coordenadas podría no ser el caso): Notablemente, la energía cinética depende de la SUMA de las aceleraciones, no importa si giramos nuestro laboratorio en otras coordenadas (eso sí, ortogonales). Esta es una indicación de que la fórmula de arriba refleja un estado que es independiente de los ejes coordenados que elijamos (eso sí, de nuevo, ortogonales). Ahora bien, si nos fijamos con detenimiento, vemos que la derivada de T, la energía cinética, respecto de la velocidad en el eje i, es una derivada parcial: Entonces, si son iguales, serán iguales sus derivadas en el tiempo: Pero vimos más arriba que el miembro de la derecha, la derivada por el tiempo del impulso, es el negativo de la derivada espacial parcial del potencial. Queda: O lo que es lo mismo Esta es una muy interesante fórmula, que relaciona la influencia de la fuerza (debida a un potencial) con el cambio en el tiempo de, no la energía cinética, sino de la forma en la que la energía cinética T tiende a cambiar respecto a la velocidad dirigida según los ejes. Todas estas relaciones se encuentran de nuevo por otros caminos en la mecánica clásica newtoniana. Sigamos. Tenemos esta hermosa relación, pero no nos interesa la hermosura sino la deducción de cómo va a funcionar nuestro sistema, cómo van a evolucionar en el tiempo la posición y la velocidad de la partícula. ¿Podremos obtener algo de esa información desde la fórmula de arriba? Seamos valientes, y avancemos. Para indicar que la energía cinética depende de las velocidades. Es una forma abreviada de decir: Extendamos un poco la definición de potencial, y escribamos que depende de esta forma abreviada: Por lo que vimos en la hermosa fórmula de arriba, T y V están relacionados. ¿Cómo podemos combinarlos y seguir obtiendo algo interesante? No es evidente. Pero las primeras opciones son contemplar el estudio de T+V o T-V, las expresiones más simples que contienen a las dos. Lagrange fue el que tomó T-V como fundamental, y entonces queda: Históricamente, esta expresión se llama lagrangiano. Pero hay que estar atentos: esta expresión combina energía cinética y potencial EN CAMPOS DE FUERZA CONSERVATIVOS. Podría tener una expresión más complicada en otras situaciones, y servirnos igual de bien (ver mi post 5 de mis notas sobre lagrangianos y hamiltonianos de más abajo). Algo notable en la historia de la física es que se descubrió que muchas situaciones se pueden describir con un lagrangiano, y aplicando lo que se llama las ecuaciones de Lagrange, que aparecen en breve más abajo, SE OBTIENEN LAS ECUACIONES DE MOVIMIENTO. Muchos problemas entonces son: dado el sistema X, encontrar su lagrangiano, de tal forma que las ecuaciones de Lagrange nos den las ecuaciones de movimiento correctas. Esto es algo que no todos los libros de texto o de divulgación avanzada declaran claramente. Muchos se quedan en que el lagrangiano es simplemente T – V y no hacen énfasis en que es un caso especial. Y que el caso general es notable: es fascinante que los modelos físicos funcionen de tal manera que dado un L podamos sacar tanta información. Algo similar pasa con otras funciones (como la función de onda de Schrodinger) en la física cuántica: una función nos da multitud de información sobre el sistema. No era evidente que la realidad física pudiera mapear a tamaño formulismo. Pero nos quedamos a mitad de camino. Tenemos la expresión de arriba para el lagrangiano. Y ahora ¿dónde vamos? Pues bien, veamos que al ser el potencial independiente de la velocidad (lo cual no es siempre el caso en otros ambientes): Pero también sabemos que Ese signo menos es que de alguna forma decidió a Lagrange a decantarse por T-V. Entonces la hermosa fórmula: Queda expuesta como: Son TRES ecuaciones, para i=1,2,3. Terminan relacionando posiciones y velocidades en el tiempo. Si podemos dar con estas ecuaciones (lo que es fácil conociendo el lagrangiano) y resolverlas (lo que no siempre es fácil), podemos expresar posición y velocidad futuras de la partícula, en función del tiempo. En un campo de fuerzas conservativo, estas ecuaciones son EQUIVALENTES a las derivadas de la segunda ley de Newton. Acá sólo mostré el camino Newton -> Lagrange, pero se podría hacer a la inversa. Esa invariancia de forma permite plantear un problema en otras coordenadas, que podrían hacer al lagrangiano más fácil de tratar. Llamamos a las nuevas coordenadas, coordenadas generalizadas, digamos qi en vez de xi. Hasta podría ser que en el lagrangiano deje de depender de alguna coordenada qi, digamos la q1, con lo que tenemos Entonces de la ecuación de movimiento para q1: Ya que el segundo miembro de la izquierda es cero, podemos deducir: O lo que es lo mismo Es decir, podemos encontrar algo que se mantiene constante en toda la evolución del sistema partícula. Se lo llama constante del movimiento. Ya vamos a encontrar cómo en casos donde el sistema no se ve influido por temas externos, hay constantes como el momento lineal, el momento cinético, y la energía. Pero paso a paso. Ya llegaremos a temas tan importantes, relacionados con la simetría de la forma de algún lagrangiano, ver que no cambia de forma ante algunas transformaciones (como rotaciones, translaciones y otras más que aparecen en relatividad einsteniana). El desarrollo de arriba lo tomé del excelente "Fundamentos de Mecánica Cuántica" de Sidney Borowitz, hay una edición de Reverté. Me sirvió el comienzo del capítulo 6, donde Borowitz introduce la lagrangiana, que le va a servir para explicar luego hamiltoniana, y la relación que encontró Schrodinger entre las ópticas geométrica/de ondas por un lado, y la mecánica clásica/cuántica por el otro. Post relacionados: Post relacionados: Nos leemos! Angel "Java" Lopez |
Publicado el 2 de Febrero, 2014, 10:34
Veo hoy de revisar las resoluciones de enero y plantear las de febrero. No fue un mes fácil el que pasó, con temas personales de los que ocuparse, pero he podido cumplir bastante de las resoluciones: - Escribir post sobre Stephen Jay Gould [completo] ver post Además estuve escribiendo de historia de la física: Bohr según Pauli y Heisenberg - Escribir post sobre Stephen Jay Gould Algo ambicioso, pero interesante. Nos leemos! Angel "Java" Lopez |
Publicado el 1 de Febrero, 2014, 15:16
En el anterior post, descubrimos que puede haber, en un espacio topológico, puntos de acumulación de un conjunto cualquiera M, que tengan una cantidad de puntos finita en la intersección de sus abiertos con el conjunto M. Eso no es lo que se espera en general. Los puntos de acumulación que nos aparecen en la historia del cálculo (límites de sucesiones) en general tienen una cantidad infinita de puntos del conjunto al que se "aproximan". ¿Que es lo que nos falta? Es que hemos considerado espacios topológicos generales. Pongamos una condición adicional; manejemos espacios topológicos que cumplan: - Dados dos puntos distintos a, b, siempre hay un entorno del punto a que no contiene al punto b. Gráficamente:
El punto a tiene siempre un entorno (en el que está incluido) que no contiene al punto b. Por supuesto, cada entorno del punto a puede tener o no más puntos. Pero siempre podemos ahora elegir un entorno de a que no contenga al punto b. En definitiva: el punto a no está "pegado" al punto b, se lo puede separar en un entorno. Con esta simple condición, la situación de los puntos de acumulación comienza a cambiar. Sea un punto de acumulación de M, el punto a. Si TODO entorno del punto a sólo tuviera una cantidad finita de puntos de M, entonces veremos que podemos construir un entorno del punto a QUE NO contenga puntos de M, y entonces el punto a dejaría de ser de acumulación. Veamos. Sea E(a) un entorno del punto a que tenga una cantidad FINITA de puntos de M. Sea b uno de los puntos de M que está en E(a). Ahora, por la condición enunciada arriba, hay un segundo entorno del punto a, digamos E'(a), QUE NO contiene a B. La intersección de E(a) y E'(a) sigue siendo un entorno de a, digamos E''(a). Este nuevo entorno del punto a, tiene MENOS puntos de M que el entorno del que partimos inicialmente. Siguiendo con este procedimiento, cada vez tenemos un entorno nuevo del punto a, que va teniendo menos puntos de M. Al final, como supusimos desde el principio de todo que la cantidad de puntos del entorno inicial que caían en M era finita, terminamos con un entorno del punto a QUE NO TIENE ningún punto en común con M, distinto de a. Es como que vamos quitando de a uno los puntos en común hasta quedarnos sin ninguno. Esto es una contradicción con la suposición: el punto a es punto de acumulación de M. Conclusión: no pueden ser a la vez ciertas: - punto a es punto de acumulación de M Corolario: - Si punto a es de acumulación de M, TODOS sus entornos tienen una CANTIDAD INFINITA de puntos de M distintos del mismo punto a Es notable que con la simple adición de la condición expresada recuperemos la infinitud de la "adherencia" de los puntos de acumulación. Históricamente, los espacios topológicos fueron tratados al principio con esa condición. Sólo generalizando se vió que era una condición que podía estar o no estar. Veremos en próximos posts la historia de ese desarrollo, y condiciones similares que le podemos adosar a un espacio topológico. Tengo que visitar, por ejemplo, los distintos axiomas de separabilidad. Nos leemos! Angel "Java" Lopez |