Angel "Java" Lopez en Blog

Publicado el 9 de Febrero, 2014, 16:15

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Ha llegado el tiempo de encarar más seriamente el estudio de un tema que empapa gran parte de las matemáticas aplicadas a la física. Notablemente, tiene injerencia tanto en la física clásica, como en la mecánica cuántica "clásica" y la derivada teoría de campos cuántica. Esto indica, de alguna manera, que este formulismo matemático que vamos a comenzar a estudiar esconde una clave importante en la formación de modelos de la realidad física. Tal vez sean modelos que se puedan explicar de otra forma, tal vez sean modelos donde los lagrangianos y hamiltonianos (el tema que nos ocupa) sean fundamentales y no derivados. Mi apuesta actual: son derivados, no fundamentales. Sólo surgen por aproximación a modelos continuos desde una conducta no continua de la realidad física. Pero por ahora, dejemos consideraciones filosóficas, y adentrémonos en este grande y fascinante tema.

Desde hace siglos, la física de la mecánica se ve guiada por las leyes de Newton. Estas nos dan una forma de describir el movimiento de partículas ideales (y luego, cuerpos y otros elementos) a partir de la descripción de las fuerzas que actúan sobre ellas, y una característica que llamamos masa. A partir de ahí, con ecuaciones diferenciales con derivadas por tiempo (no derivadas parciales, sino absolutas) Newton y compañía pueden establecer ecuaciones de movimiento que nos dicen dónde estará una partícula determinada (en un sistema de partículas) al tiempo t, sabiendo la disposición (posición espacial y velocidades) de las partículas al tiempo 0, sus características (masa inercial de cada una) y las fuerzas y leyes de fuerzas que actúan en el ambiente (por ejemplo, fuerzas gravitatorias entre las partículas, fuerzas de otro tipo (ejemplo, electromagnetismo) entre las partículas y entre las partículas y el ambiente, etc). Si bien el esquema newtoniano ha servido para resolver problemas y describir muchas situaciones, en la historia de las matemáticas han surgido, motivados por tema s físicos, otras aproximaciones a la descripción de las ecuaciones de movimientos. Veamos hoy una derivación simple (y parcial) de lo que se llaman las ecuaciones de Lagrange.

Primero, recordemos la forma de la segunda ley de Newton:

¿Qué nos dice esta fórmula? Al ser una ecuación donde interviene la derivada total del tiempo, nos dice que el cambio del momento p (que es un vector, tiene dirección y magnitud) se origina en las fuerzas presentes en cada instante. Se puede reescribir, cuando nos manejamos en física no relativista, como:

Donde x es el vector posición. La derivada segunda por el tiempo nos dá la velocidad. Si consideramos que x se puede expresar en sus componentes de coordenadas cartesianas xi:

Consideremos un caso especial pero importante en física: la fuerza se origina de una sola fuente, que se puede explicar con un campo potencial V (lo que se llama un campo de fuerzas conservativo). Es decir, las fuerzas externas se pueden dar con sólo dar la posición de la partícula: no importa la velocidad, ni el color ni el sabor ni nada más. Y en base al cambio de potencial V en el espacio, se da la fuerza. Como ejemplo, podría poner como V el campo gravitatorio, que genera una fuerza que "empuja" a la partícula desde un punto de mayor potencial a uno de menor potencial. Eso se expresa diciendo que la fuerza es proporcional y apunta en la dirección espacial donde el campo V disminuye. En forma matemática:

Donde i toma los valores 1, 2, 3. La x con el punto arriba denota dx/dt, la derivada total de x respecto de t. Es la notación original de Newton, para quien no había más que derivadas por el tiempo (simplifico, pero es lo que hacía Newton cuando aplicaba su cálculo a la física).

En un campo de fuerzas como el que describimos, hay otra cosa que se pone en juego: la energía cinética de la partícula. Y así como la energía potencial sólo depende de la posición, la energía cinética en este caso sólo depende de la velocidad cartesiana (en otras coordenadas podría no ser el caso):

Notablemente, la energía cinética depende de la SUMA de las aceleraciones, no importa si giramos nuestro laboratorio en otras coordenadas (eso sí, ortogonales). Esta es una indicación de que la fórmula de arriba refleja un estado que es independiente de los ejes coordenados que elijamos (eso sí, de nuevo, ortogonales).

Ahora bien, si nos fijamos con detenimiento, vemos que la derivada de T, la energía cinética, respecto de la velocidad en el eje i, es una derivada parcial:

Entonces, si son iguales, serán iguales sus derivadas en el tiempo:

Pero vimos más arriba que el miembro de la derecha, la derivada por el tiempo del impulso, es el negativo de la derivada espacial parcial del potencial. Queda:

O lo que es lo mismo

Esta es una muy interesante fórmula, que relaciona la influencia de la fuerza (debida a un potencial) con el cambio en el tiempo de, no la energía cinética, sino de la forma en la que la energía cinética T tiende a cambiar respecto a la velocidad dirigida según los ejes. Todas estas relaciones se encuentran de nuevo por otros caminos en la mecánica clásica newtoniana. Sigamos.

Tenemos esta hermosa relación, pero no nos interesa la hermosura sino la deducción de cómo va a funcionar nuestro sistema, cómo van a evolucionar en el tiempo la posición y la velocidad de la partícula. ¿Podremos obtener algo de esa información desde la fórmula de arriba? Seamos valientes, y avancemos.
En los sistemas conservativos, que estamos considerando, la energía potencial sólo depende de la posición. Y donde la energía cinética sólo depende de las velocidades. Podemos escribir

Para indicar que la energía cinética depende de las velocidades. Es una forma abreviada de decir:

Extendamos un poco la definición de potencial, y escribamos que depende de esta forma abreviada:

Por lo que vimos en la hermosa fórmula de arriba, T y V están relacionados. ¿Cómo podemos combinarlos y seguir obtiendo algo interesante? No es evidente. Pero las primeras opciones son contemplar el estudio de T+V o T-V, las expresiones más simples que contienen a las dos. Lagrange fue el que tomó T-V como fundamental, y entonces queda:

Históricamente, esta expresión se llama lagrangiano. Pero hay que estar atentos: esta expresión combina energía cinética y potencial EN CAMPOS DE FUERZA CONSERVATIVOS. Podría tener una expresión más complicada en otras situaciones, y servirnos igual de bien (ver mi post 5 de mis notas sobre lagrangianos y hamiltonianos de más abajo). Algo notable en la historia de la física es que se descubrió que muchas situaciones se pueden describir con un lagrangiano, y aplicando lo que se llama las ecuaciones de Lagrange, que aparecen en breve más abajo, SE OBTIENEN LAS ECUACIONES DE MOVIMIENTO. Muchos problemas entonces son: dado el sistema X, encontrar su lagrangiano, de tal forma que las ecuaciones de Lagrange nos den las ecuaciones de movimiento correctas. Esto es algo que no todos los libros de texto o de divulgación avanzada declaran claramente. Muchos se quedan en que el lagrangiano es simplemente T – V y no hacen énfasis en que es un caso especial. Y que el caso general es notable: es fascinante que los modelos físicos funcionen de tal manera que dado un L podamos sacar tanta información. Algo similar pasa con otras funciones (como la función de onda de Schrodinger) en la física cuántica: una función nos da multitud de información sobre el sistema. No era evidente que la realidad física pudiera mapear a tamaño formulismo.

Pero nos quedamos a mitad de camino. Tenemos la expresión de arriba para el lagrangiano. Y ahora ¿dónde vamos? Pues bien, veamos que al ser el potencial independiente de la velocidad (lo cual no es siempre el caso en otros ambientes):

Pero también sabemos que

Ese signo menos es que de alguna forma decidió a Lagrange a decantarse por T-V.  Entonces la hermosa fórmula:

Queda expuesta como:

Son TRES ecuaciones, para i=1,2,3. Terminan relacionando posiciones y velocidades en el tiempo. Si podemos dar con estas ecuaciones (lo que es fácil conociendo el lagrangiano) y resolverlas (lo que no siempre es fácil), podemos expresar posición y velocidad futuras de la partícula, en función del tiempo. En un campo de fuerzas conservativo, estas ecuaciones son EQUIVALENTES a las derivadas de la segunda ley de Newton. Acá sólo mostré el camino Newton -> Lagrange, pero se podría hacer a la inversa.
Todo muy lindo, hermosa la fórmula, y muy interesante las ecuaciones de Lagrange. Pero ¿qué ganamos desde el punto de vista físico? No queda evidente del desarrollo de arriba. Tenemos que explorar algunos ejemplos concretos. Pero adelantemos algo: LA FORMA de las ecuaciones de Lagrange, no cambia si cambiamos las coordenadas, no sólo girando el laboratorio, sino cambiando de coordenadas cartesianas a polares, u a otras, la FORMA de la ecuaciones de Lagrange se conserva. Es decir, basta con transformar el lagrangiano a su expresión en las nuevas coordenadas, y las ecuaciones de Lagrange tienen la misma forma, derivada parcial por las velocidades de las nuevas coordenadas y derivada por las coordinadas. ESO NO ERA EVIDENTE. De nuevo, tendremos que estudiarlo en futuros posts.

Esa invariancia de forma permite plantear un problema en otras coordenadas, que podrían hacer al lagrangiano más fácil de tratar. Llamamos a las nuevas coordenadas, coordenadas generalizadas, digamos qi en vez de xi. Hasta podría ser que en el lagrangiano deje de depender de alguna coordenada qi, digamos la q1, con lo que tenemos

Entonces de la ecuación de movimiento para q1:

Ya que el segundo miembro de la izquierda es cero, podemos deducir:

O lo que es lo mismo

Es decir, podemos encontrar algo que se mantiene constante en toda la evolución del sistema partícula. Se lo llama constante del movimiento. Ya vamos a encontrar cómo en casos donde el sistema no se ve influido por temas externos, hay constantes como el momento lineal, el momento cinético, y la energía. Pero paso a paso. Ya llegaremos a temas tan importantes, relacionados con la simetría de la forma de algún lagrangiano, ver que no cambia de forma ante algunas transformaciones (como rotaciones, translaciones y otras más que aparecen en relatividad einsteniana).

El desarrollo de arriba lo tomé del excelente "Fundamentos de Mecánica Cuántica" de Sidney Borowitz, hay una edición de Reverté. Me sirvió el comienzo del capítulo 6, donde Borowitz introduce la lagrangiana, que le va a servir para explicar luego hamiltoniana, y la relación que encontró Schrodinger entre las ópticas geométrica/de ondas por un lado, y la mecánica clásica/cuántica por el otro.

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Notas sobre Lagrangianos y Hamiltonianos (5)
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Nos leemos!

Angel "Java" Lopez
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Por ajlopez, en: Ciencia