Angel "Java" Lopez en Blog

Publicado el 18 de Febrero, 2014, 8:50

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Uno de los primeros textos donde apareción "variedad" en mis lecturas de este siglo, está en "el Penrose". El tema de variedades suaves aparecen en varios lugares en ese gran libro. Vaya una nota para recordar la introducción al tema:

Nota 2

Leo en la sección 10.2 Suavidad, Derivadas Parciales:

Puesto que al considerar funciones de más de una variable empezamos a aventurarnos en espacios de dimensiones más altas, aquí es necesario hacer algunos comentarios concernientes al "cálculo infinitesiman" en tales espacios....

Justamente, en las variedades suaves se aplica alguna forma de análisis matemático, involucrado integrales, derivades, diferenciales. Esa es una nota que distingue a las variedades suaves: no son "suaves" sólo en un sentido topológico sino que hay una estructura adicional que permite extender el cálculo ("cálculo" como "análisis matemático", no simple destreza de calcular), a las variedades de varias dimensiones (incluso de dimensión infinita). Igual, a Penrose le interesa las variedades n-dimensionales. Y explica un caso de uso en física.

... los espacios - conocidos como variedades - pueden ser de cualquier dimensión n, donde n es un entero positivo. (Una variedad n-dimensional se suele conocer simplemente como una n-variedad.) La teoría de la relatividad general de Einstein utiliza una 4-variedad para describir el espaciotiempo, y muchas teorías modernas utilizan variedades de dimensiones aún más altas. Exploraremos las n-variedades generales ... [pero ahora] por simplicidad consideraremos solo la situación de una 2-variedad (o superficie) real S. Entonces podemos utilizar las coordenadas locales x e y (reales) para etiquetar los diferentes puntos de S (en una región local de S). De hecho, la discusión es muy representativa del caso general n-dimensional.

Al pensar en dos dimensiones, uno podría usar el plano euclídeo. Pero hay otros ejemplos, más interesantes:

Una superficie 2-dimensional podría ser, por ejemplo, un plano ordinario o una esfera ordinaria.... Su estructura [la de la variedad] solo tiene que ser la de una variedad suave. Geométricamente, esto significa... que necesitamos poder decir cuándo una función definida en el espacio (i.e., una función cuyo dominio es el espacio) debe considerarse "suave".

Voy a dejar acá la lectura del texto para esta nota. Por una lado, aparecieron coordenadas. Por otro lado, a cada punto del espacio/variedad a considerar se le puede asignar una función (por ejemplo, con resultado real o complejo; si queremos jugar a las matemáticas, podríamos considerar funciones que van de una variedad a otra, y considerar la variedad "target"/objetivo a la  recta real o plano complejo como casos especiales). Les adelanto que hay que considerar:

- La existencia de mapas de coordenadas que pueden no cubrir TODA la variedad (por ejemplo, no hay una forma de adoptar coordenadas en la superficie de una esfera PARA TODOS los puntos, sin caer en puntos singulares, como el "polo norte" y el "polo sur" en el caso de coordenadas longitud/latitud)
- El solapamiento "suave" de mapas de coordenadas
- La existencia de funciones "suaves" y como esa suavidad se extiende al aplicar mapas que se solapan "suavemente"

Nos leemos!

Angel "Java" Lopez
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