Angel "Java" Lopez en Blog

Publicado el 4 de Marzo, 2014, 14:50

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Vimos en el anterior post que la combinación

av + bw

es un subespacio vectorial, donde v y w son dos vectores dados, y a, b son escalares del cuerpo del espacio vectorial. Consideremos para lo que sigue, que v y w son vectores no nulos.

Pero también vimos que un vector podría ser múltiplo de otro vector y un escalar. ¿Qué pasa si el vector w de arriba es múltiplo de v? Veamos. Será entonces que existe un escalar c, que cumple:

cv = w

para algún escalar c. Si c = 0, entonces vimos en el post anterior que w es el vector nulo. Sea c distinto de 0. Queda

av + bw = (a + bc)v

Y acá pasa algo interesante. Si a, b son cero,

av + bw = 0v + 0w = 0

que es el vector nulo (no confundir con el 0 del cuerpo de escalares). Pero ahora, si c es distinto de escalar cero, y b es distinto de 0 como supusimos, cb es distinto de 0 (un cuerpo no tiene divisores de 0), así que basta poner a = -cb, distinto de 0, para tener:

-cbv + bw = (-cb + cb)v = 0v = 0

obtenemos el vector nulo de nuevo. HAY MAS DE UNA FORMA de conseguir el vector nulo combinando los vectores v y w. Siempre HAY UNA forma, considerando a, b son ceros. Pero ahora surge que "hay más de un camino" para llegar al vector nulo, partiendo de los vectores iniciales. Este pasó porque comenzamos suponiendo que un vector era múltiplo del otro.

Sea ahora tres vectores, v, w, t no nulos combinados en una suma:

av + bw + ct

(ahora el coeficiente c es libre, no es el mismo que consideramos antes). Si de alguna forma existen escalares d, e tales que el nuevo vector t se pueda expresar como combinación de los anteriores vectores v y w:

t = dv + ew

No pueden ser d y e ambos ceros, porque supusimos que t es vector no nulo. Podría ser alguno de los dos el escalar cero, pero caeríamos en el caso anterior. Así que exploremos el caso: d y e son escalares distintos del cero. Tenemos que se cumple:

av + bw + ct = av + bw + c(dv + ew) = (a + cd)v + (b +  ce)w

Supusimos que los escalares c, d, e son distintos de 0. Entonces, cd, ce son distintos de cero. Colocando a = -cd, b = -ce, tenemos

av + bw + ct = 0

el vector nulo de nuevo, como resultado de la combinación de los tres vectores, usando COEFICIENTES ESCALARES DISTINTOS DEL CERO. De nuevo, todo esto pasó al suponer que el nuevo vector t era combinación de los anteriores, vía la multiplicación escalar y vector, y vía la suma de vectores. Se dice que un conjunto de vectores (incluso infinito) es linealmente dependiente si hay una suma finita de múltiplos de esos vectores con no todos los coeficientes 0, cuya suma produzca el vector nulo. Cuando pasa eso, uno de los vectores se puede expresar como combinación de los demás. Pues en el caso de arriba, se puede deducir que si c es distinto de 0, queda:

t = a/c v + b/c w

Es decir, el camino inverso que habíamos tomado.

De la misma forma, un conjunto de vectores se dice linealmente independiente si no pueden "generar" el vector nulo (de nuevo considerando sumas finitas de múltiplos escalares). Tenemos que seguir estudiando el tema de la dependencia e independencia lineal. Por ejemplo, tenemos que poner algún ejemplo "visual", combinando vectores "en el plano" o "en el espacio". Los matemáticos también se guían por intuiciones. Pero también se apartan de ellas cuando es necesario elevar la abstracción.

Nos leemos!

Angel "Java" Lopez
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