Angel "Java" Lopez en Blog

Publicado el 20 de Marzo, 2014, 14:16

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Llegó el tiempo de tratar un gran tema, tan demorado en este blog. En los últimos años, volví a estudiar teoría de grupos, y algo de física. Fue "el Penrose" el que volvió a introducirme en temas que son fundamentales de entender para ver de qué va gran parte de la física moderna. Veamos qué relación hay entre una teoría tan matemática como la teoría de grupos y la física del modelo estándar.

No es trivial la relación entre grupos y partículas elementales. Si bien el uso de los grupos en ciencia natural aparece en varios temas (recuerdo la cristalografía) casi nunca se hace una descripción detallada de su uso en física de partículas. Es un tema que apareció en mi radar a principios de los ochenta del siglo pasado. Pero pienso que es uno de los temas tratados en los artículos de divulgación de forma superficial. De ahí una de las motivaciones para comenzar a escribir esta serie. Otra gran motivación: terminar de entender lo que fui leyendo y aprendiendo.

Comencemos por los grupos. Un grupo es un conjunto de objetos que pueden ser multiplicados entre sí, cumpliendo algunas condiciones. Si los elementos son a, b, c, ... entonces las condiciones son:

1) Si a y b son dos elementos cualesquiera, el producto ab está definido y es un elemento del grupo

2) La multiplicación de elementos es asociativa. Esto es, (ab)c es igual a a(bc) cualesquiera sean a, b, c.

3) Hay un elemento destacado, llamémosle e, tal que ae = ea = a para todo elemento a

4) Cada elemento tiene su inverso. Esto es, si a es elemento del grupo, entonces existe un elemento del grupo a-1 tal que aa-1 = a-1a = e

Con estas simples condiciones, se consigue alzar la teoría de grupos, una de las ramas de las matemáticas más penetrantes, tan presente en tantas otras ramas. Pero ¿cómo se relaciona con la física de partículas? Bueno, tenemos que recorrer un camino largo. Pero puedo adelantar algo: estas relaciones abstractas se volverán más concretas cuando veamos que transformaciones de vectores y tensores forman un grupo. Y que vectores y tensores pueden representar estados físicos.

Como ejemplo sencillo de grupo, podemos mencionar los números enteros, donde tomamos la suma de enteros como la operación "multiplicación" del grupo, y al número cero como la unidad e. Se dice que es un grupo infinito, porque tiene una cantidad infinita de elementos. Pero también los hay finitos. Por ejemplo, el caso ilustrado por e, a, b, c y la tabla de multiplicación:

Ambos grupos (el de los enteros, y el de arriba, ahora finito) son grupos conmutativos, donde ab = ba. De ahí que no especiqué cómo leer la tabla de arriba (¿se multiplica primero un elemento de la primer columna, con un elemento de las primera fila? ¿o es al revés? al ser conmutativo no importa). Pero también vamos a descubrir que hay grupos no conmutativos.

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Nos leemos!

Angel "Java" Lopez
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Por ajlopez, en: Ciencia