Angel "Java" Lopez en Blog

Publicado el 2 de Mayo, 2014, 15:20

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Sigo con este tema inmenso e importante, que une a la física y a las matemáticas modernas. Ya vimos en el anterior post lo que es un grupo abstracto, y un ejemplo de grupo finito. A pesar de ser abstractos, los grupos intervienen en física, por ejemplo, en la transformación de estados representados por vectores, y notablemente, hay estados representados por tensores, que podemos considerar una "extensión" de las ideas vectoriales. Por un lado, tenemos estados físicos que se pueden representar por entes matemáticos. Y los grupos es como que se cuelan entre ellos, para expresar transformaciones. Pero sigamos primero explorando los grupos.

Hay un tema que no siempre se estudia cuando uno esta interesado en lo abstracto de los grupos, y en sus operaciones matemáticas. Es el tema de las representaciones. Hay una relación entre grupos abstractos y elementos concretos que se le pueden asociar, notablemente números y matrices.

La representación de un grupo es un conjunto de objetos que satisfacen la tabla de multiplicación del grupo. Con el ejemplo del anterior post:

podemos tener una representación si asignamos objetos números a cada operación, así:

e = 1
a = i
b = -1
c = -i

Donde i es la unidad imaginaria, la raíz cuadrada de -1. Podemos llamar a esta representación la C4. Como la multiplicación de números es conmutativa, también lo es entonces este grupo ejemplo en particular, o sea ab = ba para cualesquiera elementos a, b del grupo. Este grupo es también cíclico, es decir, sus elementos se obtienen a partir de potencias de un solo elemento. Un desarrollo posible es:

e = i4
a = i
b = i2
c = i3

Pero no es la única representación posible. Recordemos las matrices. Una matriz que represente una rotación en el plano de ángulo phi está dada por:

Si ponemos phi con los valores 0, pi /2, pi, 3pi /2, nos quedan cuatro matrices:

correspondientes, de nuevo, a las operaciones del grupo original, tomando como composición a la multiplicación de matrices de 2x2. Si recordamos, hasta podemos asociar multiplicar por i a "girar noventa grados" el plano complejo. De ahí la correspondencia entre ambas representaciones. Pueden consultar mi serie Simetrías del cuadrado para reencontrar de nuevo estas relaciones, de otra forma.

Puede haber correspondencia entre los elementos de dos grupos. La correspondencia puede ser uno a uno, dos a uno, muchos a uno, etc... Si los elementos de un grupo, correspondientes a todos los elementos del otro grupo, satisfacen la misma tabla de multiplicación, se dice que hay un homomorfismo. No solamente una correspondencia de elementos, sino también de sus operaciones y resultados de grupo. Si esa correspondencia de homomorfismo es también una a una (cada elemento de un grupo corresponde a uno y sólo un elemento del otro grupo), se dice que es un isomorfismo. Las dos representaciones de arriba corresponden uno a uno con los elementos del grupo original, y respetan la tabla de multiplicación. Son entonces isomorfas.

Ya comentamos que no todos los grupos son conmutativos. Así que no todos los grupos admitirán una representación en números (reales o complejos). Pero sí pueden tener representación en matrices. Los físicos se manejan mejor con matrices que con grupos abstractos, así que estas representaciones tienen su importancia para el tema que estamos tratando.

El ejemplo que vimos es un ejemplo de grupo finito. Pero el ejemplo de las rotaciones en el plano (con ángulo arbitrario, no sólo los cuatro de arriba) forma un grupo contínuo, donde hay elementos del grupo arbitrariamente cercanos a otros elementos del grupo. Puede demostrarse que los grupos finitos y los grupos continuos que interesan en física pueden ser representados por matrices. Es más: pueden ser representados por matricas unitarias. En estas matrices se cumple

A+ = A-1

en otras palabras, la matriz traspuesta y conjugada compleja es igual a la matriz inversa. La traspuesta es la que tiene sus elementos "espejados" según la diagonal tope-izquierdo a abajo-derecha. Es decir, donde aij = aji. Y la conjugada compleja es la que tiene cada elemento como conjugado complejo del original. Combinado traspuesta y conjugada compleja, tenemos la A+. Y en el caso de las unitarias, esa matriz es LA INVERSA de la original A.

El por qué de este "unitarismo" queda en la relación que tienen estas matrices para expresar variables dinámicas en física cuántica. Puede que más adelante visitemos de nuevo el tema. Por ahora, nos contentaremos con seguir investigando este tipo de representaciones.

Nos leemos!

Angel "Java" Lopez
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Por ajlopez, en: Ciencia