Angel "Java" Lopez en Blog

Publicado el 25 de Mayo, 2014, 9:55

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Comienzo hoy esta serie, de un tema amplísimo. Pero ha llegado el momento de encararlo. Vamos a explorar cómo son las matemáticas de la física cuántica. En primer lugar, exploraremos mecánica cuántica como había sido planteada en los años veinte del siglo pasado por Heisenberg, Schrödinger, Dirac y otros. Pero en algún momento iremos algo más allá, por ejemplo, en la relación de la teoría de grupos con la física, y en particular la física cuántica, y en la extensión a la relatividad especial, que dio nacimiento a la teoría cuántica de campos.

Notemos que tanto en física clásica como en física cuántica, se tratan estados físicos. Veamos el caso simple de un electrón libre. Para la física clásica, sería una partícula en el espacio. Bastará para describir su estado físico dar su posición y su velocidad, en un instante de tiempo. La posición se expresa en algún sistema de referencia, con valores numéricos y unidades, lo mismo su velocidad, que será un vector, no solo un número (importa su sentido y dirección, además de su "intensidad"). También se necesitará describir el entorno: ¿hay gravitación? ¿Hay campo electromagnético? Si los hay ¿varían con el tiempo? Dado todo eso, se puede describir clásicamente la evolución del sistema electrón-entorno simple.

La gran novedad de la física cuántica, y de sus matemáticas de base, es que sigue habiendo estado, pero su descripción es muy distinta. Aparece la función de onda (el primero es mostrarla en todo su esplendor, fue Erwin Schrödinger, ver mi serie La Ecuación de Schrödinger)

¿Qué es eso de la función de onda? Primero, designemos al estado físico, con una simple letra griega:

Digamos, para fijar ideas, que estamos interesados en el estado de un electrón, libre, con entorno simple. Luego, la función de onda es una función que REPRESENTA a ese estado físico, y que depende de las coordenadas que usemos:

Podemos poner que q son las coordenadas habituales espaciales: x, y, z. Lo de arriba es una abreviatura para:

Cuando trabajamos con esas coordenadas x, y, z. Pero llegarán casos donde tengamos otros sistemas de coordenadas, y así es conveniente habituarnos a hablar de un q genérico.

Podemos tener también una función de onda que dependa del tiempo:

Y el gran trabajo de Schrodinger fue descubrir cómo evoluciona la función de onda en el tiempo, dado un sistema electrón-entorno. Hizo por la mecánica cuántica lo que que Newton por la clásica: planteó ecuaciones diferenciales para describir el cambio en el tiempo de un estado físico. Pero ya llegaremos a esas ecuaciones.

Ahora tenemos la función de onda, apenas esbozada. ¿Qué devuelve? Pues, para cada conjunto de valores de coordenadas q (digamos para cada x, y, z), DEVUELVE UN NUMERO COMPLEJO. Epa ¿por qué? Si siempre en física clásica nos hemos manejado con números reales. Bueno, esa es la primera gran sorpresa de la mecánica cuántica: aparecen en primer plano los números complejos. La segunda gran sorpresa es que el estado del electrón no se especifica por una terna de valores x, y, z: no, el estado que pusimos arriba con una letra griega, se describe CON TODOS LOS VALORES de la función de onda. En cada punto del espacio el electrón tiene un valor complejo asociado.

Bien, mientras digerimos estas novedades, aprendamos que a ese valor complejo se le llama amplitud. En cada punto del espacio, la función de onda da una amplitud (compleja) para el electrón. ¿Y qué es esa amplitud? ¿qué representa FISICAMENTE? Notablemente, Schrödinger no dio en el clavo para esa respuesta: pensó que esa amplitud estaba relacionada con una densidad electrónica, de carga eléctrica, o algo así, repartida en el espacio. Veremos que la amplitud está relacionada con la probabilidad de encontrar al electrón en un volumen de espacio. Pero recordemos: probabilidad no es lo mismo que amplitud. Mientras que la primera es un número real no negativo, la segunda es un valor complejo.

A los físicos les interesa conocer otros aspectos de un sistema, en nuestro caso del electrón, como su posición, velocidad, energía, momento, etc. Ahora, en mecánica cuántica, tendremos que trabajar sobre la función de onda, nuestra principal fuente de información, para obtener algunos valores físicamente útiles. Tenemos un largo camino que recorrer en los próximos posts. Temas que vendrán:

- Principio de superposición
- Obteniendo la probabilidad en un volumen
- Magnitud física
- Espectro discreto y continuo de valores de una magnitud física
- Funciones y valores propios
- Operadores como magnitudes físicas
- Vectores de estado, bras, kets
- Hamiltoniano
- Lagrangiano
- Matriz S
- etc..

Ya hay otras series de post en los que trato temas no tan centrados en matemáticas como esta serie. En mi serie Física Cuántica vemos el desarrollo de los conceptos de la física cuántica a partir de experimentos idealizados, donde las matemáticas se insuflan de apoco. En esta nueva serie, quiero abordar más directamente el aspecto matemático, dando por sentado los experimentos físicos.

En Realidad y Física Cuántica quiero explorar la relación de todos estos conceptos y formulismos con la realidad.

En Notas sobre el Desarrollo de la Física Cuántica quiero compartir algunas notas, lecturas que he encontrado sobre el desarrollo histórico de estos temas, y el funcionamiento de la ciencia.

En Teoría de Grupos y Partículas Elementales me zambullo en un tema fascinante. Tenemos que ver qué es eso de la teoría de grupos aplicada a algo que vino luego de la física de campos: el modelo estándar de partículas elementales.

En Las Tres Espectroscopías estoy viendo de visitar qué hemos descubierto siguiendo la pista de tres espectroscopías a las que los físicos le han dedicado más de un siglo.

En Historia de las Partículas Elementales sigo la pista de esa historia. En cuántica, no hay "partículas" como en física clásica, bolitas desplegadas en un espacio. Pero igual asombra, como en el caso de las espectrospopías, que no se da en la realidad lo continuo, sino lo discreto. Esa pista que nos da la naturaleza pasó por milenios desapercibida, oculta, sin que nos diéramos cuenta, debido a que nuestra realidad cotidiana no se topa con esos fenómenos, al menos de manera evidente. Tanto la cuántica como la relatividad einsteniana nos vinieron a sacar de la zona de comfort a la que había llegado la física a fines del siglo XIX, cuando parecía que todo estaba resuelto y sólo era cuestión de "calcular algunos decimales más" en algunas teorías.

Nos leemos!

Angel "Java" Lopez
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Por ajlopez, en: Ciencia