Angel "Java" Lopez en Blog

Publicado el 26 de Mayo, 2014, 6:40

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Ya publiqué sobre el tema en Teorías Gauge: Enlaces y Recursos (1). Comienzo hoy a compartir notas sobre el tema. Partamos desde el artículo:

http://en.wikipedia.org/wiki/Introduction_to_gauge_theory

In physics, gauge invariance (also called gauge symmetry) is the property of a field theory in which different configurations of the underlying fields—which are not themselves directly observable—result in identical observable quantities. A theory with such a property is called a gauge theory. A transformation from one such field configuration to another is called a gauge transformation.[1][2]

Lo primero a destacar: se trata de algo relacionado con teorías de campo:

http://en.wikipedia.org/wiki/Field_(physics)

A field is a physical quantity that has a value for each point in space and time.[1] For example, in a weather forecast, the wind velocity is described by assigning a vector to each point in space. Each vector represents the speed and direction of the movement of air at that point.

En una teoría de campos, entonces, se le asigna un valor a cada punto del espacio y el tiempo. El campo completo representa una entidad física. Hablamos de campo electromagnético, o de campo gravitatorio, o de campo de Higgs. El valor no tiene que ser un número plano, según el anterior artículo sobre campos en física:

A field can be classified as a scalar field, a vector field, a spinor field or a tensor fieldaccording to whether the value of the field at each point is a scalar, a vector, aspinor or a tensor, respectively. For example, the Newtonian gravitational field is a vector field: specifying its value at a point in spacetime requires three numbers, the components of the gravitational field vector at that point. Moreover, within each category (scalar, vector, tensor), a field can be either a classical field or a quantum field, depending on whether it is characterized by numbers or quantum operatorsrespectively.

Vemos que hay campos clásicos y campos cuánticos. En los primeros, los resultados (escalares, vectores, tensores) se caracterizan por números. En los segundos, aparece el uso de operadores cuánticos. Ver

http://en.wikipedia.org/wiki/Field_(physics)#Quantum_fields

It is now believed that quantum mechanics should underlie all physical phenomena, so that a classical field theory should, at least in principle, permit a recasting in quantum mechanical terms; success yields the corresponding quantum field theory. For example, quantizing classical electrodynamics gives quantum electrodynamics. Quantum electrodynamics is arguably the most successful scientific theory; experimental data confirm its predictions to a higher precision (to more significant digits) than any other theory.[12] The two other fundamental quantum field theories are quantum chromodynamics and theelectroweak theory.

 Ver

http://en.wikipedia.org/wiki/Operator_(physics)
http://en.wikipedia.org/wiki/Operator_(physics)#Operators_in_quantum_mechanics

The mathematical formulation of quantum mechanics (QM) is built upon the concept of an operator.

The wavefunction represents the probability amplitude of finding the system in that state. The terms "wavefunction" and "state" in QM context are usually used interchangeably.

Physical pure states in quantum mechanics are represented as unit-norm vectors (probabilities are normalized to one) in a special complex vector space: a Hilbert space. Time evolution in this vector space is given by the application of the evolution operator.

Any observable, i.e., any quantity which can be measured in a physical experiment, should be associated with a self-adjointlinear operator. The operators must yield real eigenvalues, since they are values which may come up as the result of the experiment. Mathematically this means the operators must be Hermitian.[1] The probability of each eigenvalue is related to the projection of the physical state on the subspace related to that eigenvalue. See below for mathematical details.

Es el tema que estoy explorando en Matemáticas y Física Cuántica.

Pero volvamos a las teorías gauge. Mi primer encuentro con ellas se remonta a los años ochenta, a un artículo clásico de Gerard't Hooft en el Scientific America (Investigación y Ciencia, de España). El título era "Teorías de aforo" pero desde entonces, prácticamente nadie usa la palabra "aforo" y todos se refieren a "gauge".  Ver también el artículo de 't Hooft:

http://www.scholarpedia.org/article/Gauge_theories

Esta palabra inglesa "gauge" se puede traducir por "calibre". Pero ¿qué quiere decir "gauge" en este contexto de "teoría gauge"? Lo que dice el artículo de la Wikipedia: a veces, podemos describir un campo con una expresión distinta, y aún así, la física que describe es la misma. El primer ejemplo que tengo es el de la función de onda en mecánica cuántica (ver ... ). Es una función que da un valor complejo para cada punto del espacio y del tiempo. Pero si esos valores los multiplicamos por un valor complejo cualquiera de "longitud" 1 (por un e elevado a la i rho), la expresión es DISTINTA, pero la física descripta ES LA MISMA. Esta equivalencia nace de transformar la expresión GLOBALMENTE, es decir, multiplicándola por EL MISMO valor complejo unitario en todos los puntos. Veremos que hay teorías gauge donde se hace una transformación distinta en cada punto.

Volviendo al artículo introductorio de la Wikipedia citado al principio:

Modern physical theories describe reality in terms of fields, e.g., theelectromagnetic field, the gravitational field, and fields for the electron and all other elementary particles. A general feature of these theories is that none of these fundamental fields, which are the fields that change under a gauge transformation, can be directly measured. On the other hand, the observable quantities, namely the ones that can be measured experimentally—charges, energies, velocities, etc.—do not change under a gauge transformation, even though they are derived from the fields that do change. This (and any) kind of invariance under a transformation is called a symmetry.

Hay algo que cambia (el campo, su descripción matemática, algún parámetro) y algo que no cambia (las cantidades observables). Ante un cambio, hay una invariancia. Y como siempre que nos topamos con invariancia, aparece simetría. Ver algo de las matemáticas en Funciones Invariantes, donde vemos que las transformaciones que dejan invariante una expresión (en este caso, lo que no varía es la expresión, no solamente los valores medibles experimentalmente) forman un grupo. El mismo artículo muestra un ejemplo de campo gauge:

For example, in electromagnetism the electric and magnetic fields, E and B, are observable, while the potentials V ("voltage") and A (the vector potential) are not.[3] Under a gauge transformation in which a constant is added to V, no observable change occurs in E or B.

Cuando en nuestros hogares llegan 220 voltios (como aquí en Argentina), no es que estamos midiendo el potencial, sino LA DIFERENCIA entre dos potenciales situados en el origen de la red eléctrica. Si ambos potenciales subieran en 100000 voltios, nuestros artefactos eléctricos funcionarían igual. Si bien las teorías gauge ya aparecen con el electromagnetismo, es en el siglo XX donde surgen con más fuerza, con la cuántica:

With the advent of quantum mechanics in the 1920s, and with successive advances in quantum field theory, the importance of gauge transformations has steadily grown. Gauge theories constrain the laws of physics, because all the changes induced by a gauge transformation have to cancel each other out when written in terms of observable quantities. Over the course of the 20th century, physicists gradually realized that all forces (fundamental interactions) arise from the constraints imposed by local gauge symmetries, in which case the transformations vary from point to point in space and time.

Y esos son dos grandes puntos: uno, cómo lo gauge restringe las leyes de la física, y dos, cómo las simetrías de las transformaciones gauge locales se relacionan con las fuerzas fundamentales.

Nos leemos!

Angel "Java" Lopez
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Por ajlopez, en: Ciencia