Angel "Java" Lopez en Blog

Junio del 2014


Publicado el 28 de Junio, 2014, 19:04

Anterior Post
Siguiente Post

El hecho de que la fuerza que aparece entre dos cargas sea proporcional a la PRIMERA potencia de cada carga es llamada linearidad. Algo que está relacionado con esto, pero más general, se ha visto en los experimentos: si dos cargas, colocadas en puntos distintos, ejercen fuerza sobre una tercera, esta fuerza es la suma vectorial de las fuerzas de cada carga inicial sobre la tercera. Esto es notable, y no es evidente que tuviera que ser así (lo mismo pasa con la gravedad). Primero, la fuerza es aditiva, en el sentido de si tenemos DOS cargas EN EL MISMO lugar, ejercen una suma de fuerzas sobre una tercera. Pero lo que acabamos de ver que muestran los experimentos, es que si las DOS cargas están EN DOS LUGARES distintos, la fuerza que ejercen contra la tercera sigue una REGLA SIMPLE, de suma vectorial. Esto es lo que se llama el Principio de Superposición de la fuerza eléctrica. Si extendemos esto a la fuerza debida a VARIAS cargas, el principio de superposición nos lleva a:

Esta fórmula expresa la fuerza en una carga puntual q en la posición r debido a otras cargas qn localizadas en los puntos rn. Acá podemos apreciar por qué es más conveniente el uso de un numerador elevado al cubo, en lugar de la fórmula inicial que habíamos visto, donde el numerador estaba elevado al cuadrado:

donde en el numerador aparecía no r sino un versor (de longitud unitaria) en la dirección de r:

Bien, tenemos definida la fuerza sobre una carga puntual q. Se ha visto que es muy útil trabajar, en lugar de con la fuerza, con el llamado campo eléctrico. Definamos al campo E como:

[1]

Para la fuerza ejercida sobre la carga puntual q por el resto de las cargas. Pero sacando "afuera" a q en la expresión que conocemos:

Queda el campo eléctrico como función de la posición:

[2]

Al principio parece todo esto un truco matemático. Pero veremos que el concepto de campo eléctrico E tiene importancia física por sí mismo, no solamente como una forma distinta de conseguir la fuerza F. Vemos que en la ecuación [2] desapareció q. Parece como que no importa si estuviera o no. Vaya la aclaración siguiente.

En la ecuación [1] definimos el campo eléctrico E en el punto r en la presencia de la carga q. Pero tenemos que tener cuidado si la vamos a usar como campo eléctrico ANTES de haber introducido la carga q. Esto se debe que el campo puede quedar transformado si introducimos la carga q. Por ejemplo, al introducir la carga q podemos cambiar la posición de otras cargas en el entorno. Por eso tenemos que usar, para definir el campo eléctrico en un punto r AUN antes de introducir una carga q, al límite:

Donde entonces E0 es el campo eléctrico del que podemos hablar ANTES de introducir a q en la posición r.

Hasta ahora hemos considerado cargas puntuales, y n cargas. Veremos en el próximo post cómo generalizar este resultado a una cantidad "casi infinita" de cargas.

Principal fuente consultada: Classical Electromagnetism, de Jerrold Franklin.

Nos leemos!

Angel "Java" Lopez
http://www.ajlopez.com
http://twitter.com/ajlopez

Por ajlopez, en: Ciencia

Publicado el 12 de Junio, 2014, 9:20

Siguiente Post

En estos días estoy estudiando la historia de la física cuántica. El estudiar la historia permite conocer mejor los por qué del desarrollo actual, los problemas encontrados y pendientes, los actores y sus relaciones. Puedo dividir la historia en:

- Cuántica inicial, con los problemas del cuerpo negro, el efecto fotoeléctrico, el modelo atómico de Bohr.

- Mecánica cuántica, la década de los 20 en el siglo pasado

- Cuántica relativista y teoría de campos, desde los años 30, y demás ramas que se abrieron

Uno de los temas fascinantes es cómo se llegó a las formulaciones de Heinsenberg y de Schrödinger, y su unificación. Me encuentro leyendo la autobiografía de Heinsenberg, "Physics and beyond", con muchos datos interesantes a revisar. En el capítulo 5, "Quantum Mechanics and a Talk with Einstein", leo:

During these critical years, atomic physics developed much as Niels Bohr had predicted it would during our walk over the Hain Mountain. The difficulties and inner contradictions that stood in the way of a true understanding of atoms and their stability seemed unlikely to be removed or even reduced-on the contrary, they became still more acute. All attempts to surmount them with the conceptual tools of the older physics appeared doomed to failure.

Bohr estaba muy interesado en la filosofía de la física de entonces. No se conformaba con simplemente poner fórmulas que concordaran con los experimentos. Quería construir algo más firme, sin tener que mezclar física clásica con postulados extraños.

There was, for instance, the discovery by the American physicist, Arthur Holly Compton, that light (or more precisely X-rays) changes its wavelength when radiation is scattered by free electrons. This result could be explained by Einstein's hypothesis that light consists of small corpuscles or packets of energy, moving through space with great velocity and occasionally-e.g., during the process of scattering-colliding with an electron. On the other hand, there was a great deal of experimental evidence to suggest that the only basic difference between light and radio waves was that the former are of shorter length; in other words, that a light ray is a wave and not a stream of particles. Moreover, attempts by the Dutch physicist, Ornstein, to determine the intensity ratio of spectral lines in a so-called multiplet had produced very strange results. These ratios can be determined with the help of Bohr's theory. Now it appeared that, although the formulae derived from Bohr's theory were incorrect, a minor modification produced new formulae that fitted the experimental results. And so physicists gradually learned to adapt themselves to a host of difficulties. They became used to the fact that the concepts and models of classical physics were not rigorously applicable to processes on the atomic scale. On the other hand, they had come to appreciate that, by skillful use of the resulting freedom, they could, on occasion, guess the correct mathematical formulation of some of the details.

Heisenberg había conocido a Bohr en esos tiempos, ver Bohr y Heisenberg, primer encuentro. Yo no conocía el trabajo de Ornstein, que se menciona arriba. Vemos cómo gran parte del problema era explicar el espectro atómico. Muy importante fue el efecto Compton, que continuó poniendo en evidencia el papel de la frecuencia, que ya había aparecido en los trabajos de Planck y la radiación del cuerpo negro, y de Einstein y el efecto fotoeléctrico.

In the seminars run by Max Born in Gottingen during the summer of 1924, we had begun to speak of a new quantum mechanics that would one day oust the old Newtonian mechanics, and whose vague outlines could already be discerned here and there. Even during the subsequent winter term, which I once again spent in Copenhagen, trying to develop Kramers' theory of dispersion phenomena, our efforts were devoted not so much to deriving the correct mathematical relationships as to guessing them from similarities with the formulae of classical theory.

Max Born acuñó el término "mecánica cuántica" en un artículo de aquellos años. Heisenberg menciona a Kramer, que era ayudante de Bohr, al que conoció al trabajar en Copenhagen. Había algo de rivalidad entre ellos, o por lo menos parece que Heisenberg (apenas algunos años más joven que Kramer) lo veía como el principal "rival" en el ambiente físico de aquella época. Eso no impidió que escribiera con él y con Bohr, un artículo seminal sobre el tema. La fórmula de dispersión de Kramer pasaría a ocupar un lugar importante en lo que se desarrollaría entonces. En el próximo post veremos cómo fueron los días de Heisenberg cuando escribió su "paper" de 1925.

Nos leemos!

Angel "Java" Lopez
http://www.ajlopez.com
http://twitter.com/ajlopez

Por ajlopez, en: Ciencia

Publicado el 6 de Junio, 2014, 14:10

Hay tantos temas para visitar, y una sola vida. Pero ha llegado el tiempo de comenzar a explorer el tema tensores. Puse como título a esta nueva serie "Vectores y Tensores" para recordar que los tensores son una especie de "vectores con esteroides" en el mundo de las matemáticas. Tanto los vectores simples, como los tensores, aparecen en muchos campos, y en especial, en los temas relacionados con física. Por un lado, los vectores comienzan a tomar forma en el siglo XIX, pero la idea de suma vectorial está flotando desde siglos antes. Ver History of Vectors, donde primero se los relaciona con la aparición de la representación de los complejos en un plano, y luego con los cuaterniones de Hamilton. Pero para mí, el gran creador del campo es Hermann Grassman. Con los vectores, comienzan a aparecer las n-dimensiones en forma explícita, y comienzan a liberarse de cualquier atadura a un cuerpo, como los complejos. Riemann extiende a n-dimensiones las ideas de Gauss sobre curvaturas, y de ahí a los tensores hay poco trecho. El trabajo de matemáticos como Christoffel, Ricci y Levi-Civita hicieron avanzar el campo. Pero ya en el trabajo de Grassman, con su álgebra exterior, aparecen los tensores. Notablemente, Hamilton usó por primera vez el término tensor, pero no en el sentido actual. La primera vez que entró en mi radar esta rica historia, fue a través de las notas de historia de Bourbaki.

Y luego, vino la explosión del tema: con la llegada de la relatividad general de Einstein, los tensores encontraron su lugar principal (no el único) en el mundo de la física matemática. Ver Quick introduction to tensor analysisHistory of Tensors. Antes, los vectores ya habían contribuido a mejorar la notación (y por tanto las ideas) en temas como mecánica clásica y electromagnetismo (como curiosidad, Maxwell no escribió inicialmente sus fórmulas en forma vectorial, sino en desarrollo completo por las coordenadas). 

Ya comencé el estudio de vectores, desde el tema más restringido de espacios vectoriales. En esta serie tendremos que visitar campos escalares, vectoriales, tensores en general (y no solo tensores cartesianos), discutir lo que llamo "el mayor engaño del álgebra lineal", covarianza y contravarianza. Y quisiera que lleguemos a derivada covariante, que tanto tiene que ver con conexión gauge y las teorías gauge modernas. Estuve tentado de dividir el tema en dos: una serie de notas, comentarios, y otra serie de desarrollo matemático, pero esta vez quisiera que exploremos ambos caminos en la misma serie.

Tengo varias fuentes a consultar, por ejemplo, el Penrose (aunque sigo sin entender su notación tensorial particular). Pero hoy vay una cita del excelente "Mathematical Physics" de Hassani. Leo al comienzo del capítulo 26, dedicado a tensores:

Until around 1970s, tensors were almost completely synonymous with (general) relativity except for a minor use in hydrodynamics. Students of physics did not need to study tensors until they took a course in the general theory of relativity. Then they would read the introductory chapter on tensor algebra and analysis, solve a few problems to condition themselves for index "gymnastics", read through the book, learn some basic facts about relativity, and finally abandon it (unless they became relativists).

Today, with the advent of gauge theories of fundamental particles, the realization that gauge fields are to be thought of as geometrical objects, and the widespread belief that all fundamental interactions (including gravity) are different manifestations of the same superforce, the picture has changed drastically. Two important developments have taken place as a consequence: Tensors have crept into other interactions besides gravity (such as the weak and strong nuclear interactions), and the geometrical (coordinate-independent) aspects of tensors have become more and more significant in the study of all interactions. The coordinate-independent study of tensors is the focus of the fascinating field of differential geometry and Lie groups...

Es fascinante cómo este tema que es una extensión de la tan "pedestre" resolución de ecuaciones lineales, termina estando en tantos lugares. Tanto en cosmología como en el modelo estándar, no se puede avanzar sin conocer de estos temas.

Nos leemos!

Angel "Java" Lopez
http://www.ajlopez.com
http://twitter.com/ajlopez

Publicado el 3 de Junio, 2014, 15:27

Parece mentira, pasa otro mes. Repaso primero de mis resoluciones de Mayo:

- Seguir escribiendo post sobre Stephen Jay Gould [completo] ver post
- Seguir mi serie Leyendo a Darwin [completo] ver post
- Seguir mi serie sobre la Ecuación de Schrodinger [pendiente]
- Seguir mi serie Grupos y Partículas Elementales [pendiente]
- Seguir mi serie sobre Electromagnetismo [pendiente]
- Iniciar serie Notas sobre Teorías Gauge [completo] ver post
- Estudiar Cosmología [completo]

Los posts sobre física pendientes me llevarn a escribir de otros temas, ver:

Matemáticas y Física Cuántica (1) Función de Onda
Las Tres Espectroscopías (1)
Historia de las Partículas Elementales (1) A fines del siglo XIX
Fundamentos Matemáticos de la Mecánica Cuántica, por John Von Neumann (1)
Fundamentos Matemáticos de la Mecánica Cuántica, por John Von Neumann (2)

Algo sobre la actividad matemática en:

El dilema de Ulam

He estado leyendo bastante sobre cosmología, y eso se va a reflejar en futuros posts. Por una parte, es un tema amplio que se ve influido por la relatividad general, la historia, la observación astronómica, las partículas elementales. Por otro lado, en ese campo se juega mucho de lo que es la actividad científica con poquísimo acceso a la experimentación, y un gran trabajo de formación de modelos. Y ya desde hace casi un siglo, se ve inundado de matemáticas que tengo que comenzar a dominar.

Resoluciones para el nuevo mes:

- Seguir mi serie sobre la Ecuación de Schrodinger
- Seguir mi serie Grupos y Partículas Elementales
- Seguir mi serie sobre Electromagnetismo
- Seguir mi serie Notas sobre Teorías Gauge
- Comenzar serie sobre Cosmología
- Seguir mi serie sobre Espacios Vectoriales
- Estudiar Vectores y Tensores
- Seguir mi serie Matemáticas y Física Cuántica

Sobre el tema vectores y tensores, tengo que comenzar a comprender mejor lo covariante y lo contravariante, la existencia de tensores generales (en contraposición a los tensores cartesianos), lo que es una conexión (para derivada covariante, relacionado por lo que ví con conexión gauge), y matemáticas para física en general.

Nos leemos!

Angel "Java" Lopez
http://www.ajlopez.com
http://twitter.com/ajlopez

Publicado el 1 de Junio, 2014, 9:47

Anterior Post
Siguiente Post

Sigo leyendo a Gould y comentando este interesant tema:

El estereotipo del "método científico" no tiene lugar para la historia irreducible.

Sigue mencionando un estereotipo de "método científico" entre comillas, pero no ha presentado aún la descripción de lo que toma por esa expresión. Algo viene ahora:

 Las leyes de la naturaleza se definen por su invariancia en el espacio y en el tiempo. Las técnicas del experimento controlado, y la reducción de la complejidad natural a un conjunto mínimo de causas generales, presuponen que todas las épocas pueden tratarse del mismo modo y que pueden ser adecuadamente simuladas en el laboratorio. El cuarzo cámbrico es como el cuarzo moderno: tetraedros de silicio y de oxígeno enlazados entre sí en todos los vértices. Determínense las propiedades del cuarzo moderno bajo condiciones controladas en un laboratorio, y uno puede interpretar las playas de arena de la Arenisca de Potsdam del Cámbrico.

Bien, esta describiendo temas de física y química. Y aparece "leyes de la naturaleza". En mi postura, la actividad científica no está orientada a la obtención de leyes (apenas persigue eso en la física y aledaños), sino a la formación de modelos explicativos de la realidad. De ahí que no tenga tanto conflicto con esteoreotipos o realidades de un método científico. La formación de modelos es UNO DE LOS PASOS del método científico. Los demás son el estudio de la realidad, y la corroboración de los modelos propuestos. A veces se puede apelar a experimentos y otras veces no.

Pero supóngase que uno quiere saber por qué murieron los dinosaurios, o por qué florecieron los moluscos mientras que Wiwaxia perecía. El laboratorio no es irrelevante, y puede brindar importantes atisbos por analogía. (Por ejemplo, podemos aprender algo interesante acerca de la extinción del Cretácico comprobando las tolerancias fisiológicas de los organismos modernos, o incluso de "modelos" de dinosaurios, bajo los cambios ambientales propuestos en las diversas teorías acerca de esta gran extinción.) Pero las técnicas restringidas del "método científico" no pueden llegar hasta el meollo de este acontecimiento singular que implica a seres que hace mucho tiempo que murieron en una Tierra cuyos climas y posiciones continentales eran notoriamente distintos de los de hoy en día.

Insisto: método científico es más que eso, pero acepto que Gould está poniendo de relieve las dificultades del estereotipo. La actividad científica contempla la historia, como justamente menciona Gould más abajo, ante una hipótesis para explicar la extinción de los dinosaurios: la caída de meteorito(s). Pero el método científico pide corroboración de ese modelo, buscando trazas de esa caída, y un modelo explicativo de por qué esa brusca aparición en la historia provocó la extinción de los dinosaurios (y no la extinción de toda la vida, por ejemplo).

La resolución de la historia debe hallarse enraizada en la reconstrucción de los mismos acontecimientos pasados (en sus propios términos), basada en la evidencia narrativa de los fenómenos únicos que les son propios. Ninguna ley garantizaba la extinción de Wiwaxia pero algún complejo conjunto de acontecimientos conspiró para conseguir este resultado; y podemos recuperar las causas si, por buena fortuna, en nuestro registro geológico lleno de agujeros hay suficientes pruebas registradas de ello. (Por ejemplo, hasta hace diez años no supimos que la extinción del Cretácico correspondió en el tiempo con el probable impacto de uno o varios cuerpos extraterrestres sobre la Tierra, aunque las pruebas, en forma de signaturas químicas, siempre habían existido en las rocas de edad adecuada.)

Lo que Gould pone en el tapete es la importancia de la contingencia. En lo que describo como actividad científica, no encuentro problema en investigar, aceptar la influencia de lo histórico. Hasta puede que tengamos que adoptar algo de esa actitud en las investigaciones en cosmología. Lo importante es ver que método científico no es método científico como en física clásica. Es algo más: el diálogo con la realidad, y la realidad tiene pasado.

Dos notas: el Wiwaxia que menciona ya aparece en ese su libro, como ejemplo de animal extinguido, que podría haber formado todo un reino animal aparte. No sabemos por qué se extinguió. Puede ser que no pudiera adaptarse, o que por alguna CONTINGENCIA sus individuos desaparecieron. La aparición de algo cercano al azar pudo bien haber cambiado la historia de la vida en la Tierra. El tema dinosaurios, da para mucho comentario. Les recomiendo la lectura de "El Asunto Némesis" de David M. Raup, Alianza Editorial, donde también aparece Gould.

Ver

http://en.wikipedia.org/wiki/Wiwaxia
http://en.wikipedia.org/wiki/Nemesis_(hypothetical_star)

Nos leemos!

Angel "Java" Lopez
http://www.ajlopez.com
http://twitter.com/ajlopez

Por ajlopez, en: Ciencia