Publicado el 6 de Junio, 2014, 14:10
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Hay tantos temas para visitar, y una sola vida. Pero ha llegado el tiempo de comenzar a explorer el tema tensores. Puse como título a esta nueva serie "Vectores y Tensores" para recordar que los tensores son una especie de "vectores con esteroides" en el mundo de las matemáticas. Tanto los vectores simples, como los tensores, aparecen en muchos campos, y en especial, en los temas relacionados con física. Por un lado, los vectores comienzan a tomar forma en el siglo XIX, pero la idea de suma vectorial está flotando desde siglos antes. Ver History of Vectors, donde primero se los relaciona con la aparición de la representación de los complejos en un plano, y luego con los cuaterniones de Hamilton. Pero para mí, el gran creador del campo es Hermann Grassman. Con los vectores, comienzan a aparecer las n-dimensiones en forma explícita, y comienzan a liberarse de cualquier atadura a un cuerpo, como los complejos. Riemann extiende a n-dimensiones las ideas de Gauss sobre curvaturas, y de ahí a los tensores hay poco trecho. El trabajo de matemáticos como Christoffel, Ricci y Levi-Civita hicieron avanzar el campo. Pero ya en el trabajo de Grassman, con su álgebra exterior, aparecen los tensores. Notablemente, Hamilton usó por primera vez el término tensor, pero no en el sentido actual. La primera vez que entró en mi radar esta rica historia, fue a través de las notas de historia de Bourbaki. Y luego, vino la explosión del tema: con la llegada de la relatividad general de Einstein, los tensores encontraron su lugar principal (no el único) en el mundo de la física matemática. Ver Quick introduction to tensor analysis, History of Tensors. Antes, los vectores ya habían contribuido a mejorar la notación (y por tanto las ideas) en temas como mecánica clásica y electromagnetismo (como curiosidad, Maxwell no escribió inicialmente sus fórmulas en forma vectorial, sino en desarrollo completo por las coordenadas). Ya comencé el estudio de vectores, desde el tema más restringido de espacios vectoriales. En esta serie tendremos que visitar campos escalares, vectoriales, tensores en general (y no solo tensores cartesianos), discutir lo que llamo "el mayor engaño del álgebra lineal", covarianza y contravarianza. Y quisiera que lleguemos a derivada covariante, que tanto tiene que ver con conexión gauge y las teorías gauge modernas. Estuve tentado de dividir el tema en dos: una serie de notas, comentarios, y otra serie de desarrollo matemático, pero esta vez quisiera que exploremos ambos caminos en la misma serie. Tengo varias fuentes a consultar, por ejemplo, el Penrose (aunque sigo sin entender su notación tensorial particular). Pero hoy vay una cita del excelente "Mathematical Physics" de Hassani. Leo al comienzo del capítulo 26, dedicado a tensores:
Es fascinante cómo este tema que es una extensión de la tan "pedestre" resolución de ecuaciones lineales, termina estando en tantos lugares. Tanto en cosmología como en el modelo estándar, no se puede avanzar sin conocer de estos temas. Nos leemos! Angel "Java" Lopez |