Publicado el 31 de Agosto, 2014, 16:16
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En las aplicaciones de física aparecen los llamados grupos de Lie que, al contrario de los que vimos hasta ahora, son continuos: sus elementos no tienen una cardinalidad finita, y hay infinitos elementos "cercanos" a otros. Para comenzar a tener una imagen de estos grupos, podemos pensar en las rotaciones por un ángulo arbitrario, en el plano, alrededor del origen
Por ejemplo, si el ángulo es de noventa grados, la matriz vale:
Y multiplicando por el vector (1, 0), lo "rota" 90 grados:
Sea el vector v" el vector resultante de aplicar esta rotación. Queremos que tenga la misma longitud que el vector original v. Es decir, la relación v"2 = v2 debe satisfacerse. La norma puede escribirse como la multiplicación:
Donde vT es el vector transpuesto (si v es vector columna, entonces vT es vector fila). Ejemplo, para el vector (2, 3):
Esto es, si recordamos la reglas de multiplicación de vectors y matrices. Pero sabiendo que el vector transformado
Y que queremos que la norma se mantenga aún luego de la transformación, se debe cumplir:
Vemos que se cumple porque para cualquier ángulo rho:
Lo que es igual, de nuevo recordando la multiplicación de los elementos de dos matrices:
Para todo ángulo rho. Entonces, queda la identidad
Quedando
Se dice que la matriz general R es ortogonal cuando
Las rotaciones en el plano alrededor del origen forman un grupo, y un grupo de Lie continuo. Las matrices que vimos arriba, entonces, son UNA REPRESENTACION del grupo. El grupo se llama SO(2), de matrices ortogonales en dos dimensiones. La letra S viene de Special, que significa que las representaciones en matrices tienen determinante igual a 1 (uno). La letra O viene de Orthogonal, las operaciones implican la conservación de la norma. Veremos en el próximo post que SO(2) es subgrupo de otros grupos más generales, y de interés en la física. Todavía no ha aparecido la relación de todos estos grupos y representaciones con la física de partículas, pero paciencia, ya llegaremos. Nos leemos! Angel "Java" Lopez |
Publicado el 30 de Agosto, 2014, 8:37
Publicado el 27 de Agosto, 2014, 14:52
Publicado el 24 de Agosto, 2014, 16:43
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Veamos hoy un ejemplo simple y clásico del uso de un lagrangiano. En física, se ha visto que dado un sistema se puede encontrar una función, el lagrangiano:
Como la función que describe el sistema. En el caso de arriba, depende de coordenadas xi, de sus derivadas en el tiempo, y del tiempo mismo. Vamos a ver que las propiedades del lagrangiano no cambian aún cambiando las coordenadas, lo que lo hace más útil que la formulación newtoniana. ¿Pero qué son "las propiedades del lagrangiano"? ¿y cómo es que "describe el sistema"? Pues bien, la gran propiedad de un lagrangiano que merezca ese nombre, es que genera n ecuaciones diferenciales:
Y que con estas ecuaciones queda descripta la evolución del sistema. Para ver entonces un caso concreto, tomemos el sistema compuesto de una sola partícula, en libertad, una partícula libre, sin ser expuesta a fuerzas exteriores, digamos con energía potencial que no cambia en el tiempo ni en el espacio. Entonces esa energía potencial podemos tomarla como 0. ¿Cuál es el lagrangiano que describe ese sistema? Para un mismo sistema, hay una indeterminación del lagrangiano, no es que hay un lagrangiano único (algo similar estamos viendo en cuanto a la función de onda de mecánica cuántica: puede haber más de una función que describa EL MISMO estado físico). Pero podemos arriesgarnos y postular (sacar de la galera, digamos) a que el lagrangiano es:
Acá, la x con punto es un vector velocidad, y el cuadrado es el productor vectorial. En coordenadas espaciales, sería
Haciendo pasar a este lagrangiano por el proceso de generar las ecuaciones diferenciales de arriba, queda para tres coordenadas xi:
Que nos dice que ese producto de masa por velocidad de cada coordenada es una constante del movimiento. Es el momento, al que se refiere la segunda ley de Newton. Lo que nos dicen las ecuaciones derivadas del lagrangiano, en este caso, es que el momento o cantidad de movimiento se conserva en cada coordenada, aun transcurriendo el tiempo. Nuestra partícula no cambia de velocidad ni en intensidad ni en dirección. En próximos post tendremos que investigar: ¿Podemos derivar el lagrangiano que vimos de consideraciones físicas generales? Mientras, enlaces relacionados: Deriving the Lagrangian for a free particle Nos leemos! Angel "Java" Lopez |
Publicado el 23 de Agosto, 2014, 15:25
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Sigamos buscando nuestra ecuación. Ya sabemos que tiene que tiene que ser compatible con
Ver post La Ecuación de Schrödinger (5) Dos Relaciones. Veamos un caso, cuando V sólo depende de la posición (no hay variación en el tiempo de la energía potencial). Esperamos que los tres términos (el de energía E, el de momento p, y el de energía potencial V), sean lineales con la función de onda que tiene que ser la solución de nuestra ecuación. Una forma de conseguirlo es esperar que CADA UNO de esos tres términos, esté multiplicado por LA FUNCION DE ONDA, o una cualquiera de sus derivadas. Pero también sabemos que la energía tiene relación con la frecuencia, y el momento con la longitud de onda. Ver post La Ecuación de Schrödinger (2) Primeras Relaciones.
Intentemos primero con una función de onda que sea de la forma (ver post La Ecuación de Schrödinger (3) Una Fórmula de Onda).
Alguna vez habíamos puesto:
Que es proporcional al momento p. Y también tenemos:
Que es proporcional a energía E. Quedando entonces
Recordando sus derivadas (ver post La Ecuación de Schrödinger (4) Algunas Derivadas Parciales)
Vemos que la DERIVADA POR EL TIEMPO, da un término que es proporcional a la energía. Y la DERIVADA SEGUNDA por x da un término que es proporcional al cuadrado del momento. Entonces, algo compatible con la ecuación [1] puede ser
Donde tenemos algo de libertad en la elección de los coeficientes alfa y beta (el tercer término lo multiplicamos por 1, por ahora) Esta ecuación diferencial satisface la linealidad, la aparición de E y p apropiadas, y nos da como solución una función de onda. Reemplazando la función de onda y sus derivadas, por los valores que suponemos potables, tenemos que explorar si hay solución para:
Veremos si es así en el próximo post. Mientras, vayamos notando algo: se deriva por el tiempo una vez, y por el espacio DOS VECES. Si estamos familiarizados un poco con la relatividad especial, vemos que hay una asimetría, un diferente tratamiento del tiempo y del espacio. Lo que encontremos no va a ser compatible con la relatividad y las transformaciones de Lorentz. Pero sigamos avanzando, tal vez igual estemos en camino del premio Nobel, como Schrödinger ;-) Nos leemos! Angel "Java" Lopez |
Publicado el 22 de Agosto, 2014, 14:47
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En la misma época en la que Heisenberg encontraba su modelo de la mecánica cuántica, Erwin Schrödinger encontraba otra solución, que luego se vió que era equivalente. En el capítulo 6 de su biografía científica, leo el recuerdo de Heisenberg de esos tiempos:
Todo se dispara con la propuesta de de Broglie, que estaba madura para caer en esos tiempos. Ver La Ecuación de Schrödinger (1) Introducción El camino de Schrödinger era más potable para muchos físicos, porque acudía a funciones, derivadas, ondas, todos elementos más familiares que las matrices de Heisenberg. Si bien a Heisenberg le interesó el trabajo de Schrödinger, también pensaba que estaba en alguna parte errado, porque era una especie de vuelta a "lo clásico", cuando él quería destacar que había una nueva mecánica. Veremos esto en el próximo post. Nos leemos! Angel "Java" Lopez |
Publicado el 21 de Agosto, 2014, 6:30
Publicado el 18 de Agosto, 2014, 6:58
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Hasta ahora nos hemos ocupado de una carga puntual, o de un grupo de cargas puntuales. Al principio es todo lo que necesitamos, porque todo indica que en la naturaleza todas las cargas aparecen como puntuales, con valores +- e para los leptones y +- 2/3 o +- 1/3 para los quarks (los constituyentes de la materia que interactúa con la fuerza fuerte). Sin embargo, en la vida real tenemos que vérnosla con objetos macroscópicos que pueden tener elementos del orden de 1023. Es por eso que manejamos también el concepto de una distribución de carga continua. En vez de la ecuación:
Para el campo eléctrico, asociado a cada posición del espacio r, podemos pasar de la suma a la integral, quedando:
Donde ahora dq" indica una densidad de carga, asociada a cada posición r". Hay dos vectores de posición: el independiente r y el que recorre todo el espacio r". La forma del elemento diferencial dq" depende del tipo de la distribución de carga. Consideremos para una densidad de carga línea:
Donde lambda(r") representa una densidad lineal. Tenemos para una densidad de carga en área:
Y para una densidad en volumen:
Donde los diferenciales de la derecha dl, dA, dt son diferenciales de longitud, de área y de volumen, respectivamente. La distribución de carga SOBRE LA QUE actua E(r) puede también considerarse continua, quedando la fuerza expresada como:
La primera integral de arriba nos da E(r), un campo eléctrico ESTATICO para una distribución de carga dada. Lo de "estático" significa que todas las derivadas del tiempo de la distribución de carga son cero o despreciables. La carga no cambia de lugar ni de intensidad. Aún así simplificado, esta integral es una solución de "fuerza bruta" que muchas veces requiere una integración complicada, y entonces, no es un buen método para encontrar el campo. Pero hay situaciones donde la geometría del problema puede acudir en nuestro auxilio. Próximos temas: potencial eléctrico, el gradiente del potencial, ley de Gauss, ejemplos. Nos leemos! Angel "Java" Lopez |
Publicado el 17 de Agosto, 2014, 13:16
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Luego de ese avace en solitario, en la isla de Heligoland, el trabajo de Heisenberg es bien recibido. Hay mucho para contar sobre cómo se fue difundiendo, adaptando, y uniendo a otras ideas, como las de Jordan, Schrödinger, y Dirac. Leo:
Es notable encontrar esta mención a Pauli. Este era en general muy crítico a ideas que no le convencían. Sin embargo, tengo que hacer notar que Pauli mismo no quiso involucrarse en los trabajos de extensión que hizo Max Born, quien tuvo entonces que recurrir a su estudiante Jordan. Ver A Review on Dirac – Jordan Transformation Theory Sobre el trabajo de extensión y reinterpretación de Dirac ver: Dirac y la teoría de Heisenberg Luego del texto de arriba, Heisenberg se embarca en un "racconto" de una conversación que tuvo con Einstein. Muy interesante tema, pero no es el que seguiré en el próximo post. Ver Heisenberg y una charla con Einstein. Será seguramente tema para una serie de posts distinta. Continuaré con la aparición de la teoría de Schrödinger y su recepción por parte de Heisenberg mismo y por Bohr. Nos leemos! |
Publicado el 16 de Agosto, 2014, 13:46
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Sigamos explorando la función de onda. Sabemos por ahora que es una función de las coordenadas (podrían ser x,y,z, pero también podrían ser otras), a veces la manejaremos dependiente del tiempo, otras veces no (la tomaremos a un tiempo determinado), REPRESENTA un estado físico, y su valor es un número complejo. Pero ¿cómo es que representa un estado físico? Lo que veremos hoy, es un caso especial pero fácilmente generalizable. Tomaremos: - Función de onda de un electrón (o una partícula) Lo primero que afirmaremos como postulado es que si la función de onda es:
Entonces, la probabilidad de encontrar al electrón en un elemento dq del espacio de coordenadas q es:
O abreviando
Si queremos saber la probabilidad de encontrar al electrón en un volumen Q del espacio de coordenadas q, será:
O recordando números complejos
Donde el asterisco indica tomar el resultado complejo conjugado. Esto no es algo que podamos deducir, sino que tenemos que postularlo. La historia mostró que al describir un estado físico por una función de onda (en nuestro caso, el estado físico descripto es un electrón), la función de onda nos da, en primera instancia, la PROBABILIDAD de encontrar ese estado físico (en nuestro caso, al electrón) en una porción posible del espacio de coordenadas. A pesar de que la función de onda nos da un valor complejo, llamado amplitud, cada elemento de integración de la fórmula de arriba, ES REAL, y no sólo es real, sino que es REAL POSITIVO. Así que el resultado de integrar, que podemos asimilar a una suma infinita, es un número REAL POSITIVO, como corresponde a una probabilidad. Lo que se pide, en general, es que la integración de una función de onda esté normalizada, es decir, que la integración completa sobre el espacio de coordenadas, de probabilidad 1 (certeza):
No siempre todas las funciones de onda se pueden normalizar. A veces, la integral de arriba sobre TODO el espacio de coordenadas diverge. Pero aún así, la integral sobre una porción Q, da un valor de probabilidad que se puede comparar con la integral sobre otra porción P. El peso relativo de esos valores nos da alguna información: si integrar sobre Q da 3, e integrar sobre P da 2, eso indica que encontrar el estado físico en Q tiene 3/2 más probabilidad de encontrarse en el fragmento P Nos leemos! Angel "Java" Lopez |
Publicado el 15 de Agosto, 2014, 14:53
Publicado el 13 de Agosto, 2014, 16:24
Publicado el 11 de Agosto, 2014, 12:02
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En una ecuación diferencial interviene una variable dependiente y sus derivadas con respect a una o más variables independientes. Muchas leyes de la naturaleza encuentran encuentran su expresión en ecuaciones diferenciales. Asimismo, son importantes por sí mismas en el desarrollo de las matemáticas desde la aparición del cálculo. ¿Cuál es la razón para encontrarnos con ecuaciones diferenciales en tantos temas (física, química, economía, geometría, etc…)? Si tenemos una función
Su primera derivada indica el ritmo de cambio de y con respecto a x. Y así sucesivamente con las siguientes derivadas. En los procesos naturales las variables que intervienen y sus ritmos de cambio están relacionadas entre sí por medio de los principios científicos que rigen esos procesos. Cuando descubrimos esas relaciones, muchas veces llegamos a expresarlas en ecuaciones diferenciales. Tomemos un ejemplo, el de la segunda ley de Newton sobre una partícula. Expresada matemáticamente:
Indica que la fuerza que actúa sobre la partícula es la responsable del cambio en el momento de la misma. Vemos que el momento p es un vector. Conociendo la fuerza que se aplica en cada momento, podemos deducir (a veces con dificultad) la trayectoria de la partícula. Pongamos un ejemplo concreto. Una partícula de masa m, libre, sólo sujeta a la fuerza de la gravedad, cae sin ninguna otra influencia, partiendo del reposo. Recordando que el momento es masa por velocidad:
Y considerando a la masa constante (estamos en un caso no relativista), lo único que varía con el tiempo es la velocidad. Su ritmo de cambio la llamamos aceleración:
La fuerza de gravedad es proporcional a la masa sobre la que se ejerce y a una constante g:
Con dirección hacia abajo. Si ponemos como variable dependiente del tiempo a y, como la distancia desde el punto de reposo que recorre la partícula, queda
Despejando m, queda
La ecuación diferencial que estábamos buscando. Resolviéndola podemos obtener la fórmula de cómo evoluciona el valor de y a través del tiempo. Pero si la partícula encuentra resistencia en su caída, debido al aire, proporcional a su velocidad, entonces la fuerza será:
Y la ecuación a resolver será
Tenemos que estudiar la resolución de éstas y otros tipos de ecuaciones diferenciales, en próximos posts. Nos leemos! Angel "Java" Lopez |
Publicado el 9 de Agosto, 2014, 12:45
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Como alguna vez le pasó a Newton, como también a Schrödinger, Heisenberg se encontró con tiempo libre para pensar en sus ideas.
Ya no era estudiante, ya era docente, así que imagino que este viaje no afectó tanto a su presupuesto como años antes, cuando necesitaba el soporte de la cátedra de su profesor Sommerfeld para viajar a congresos en Europa.
Ahora tiene que revisar su resultado. El tema es si la energía se conservaba o no. En esos tiempos, dado lo extraño de los resultados cuánticos, se había llegado a sugerir en algún "paper" que la conservación de la energía era solo un resultado estadístico.
Buen trabajo esa noche. El "paper" que escribió sobre este tema tiene saltos mágicos en el razonamiento, pero llega a las conclusiones correctas. Seguiré comentando en el próximo post. Nos leemos! Angel "Java" Lopez |
Publicado el 8 de Agosto, 2014, 13:33
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Veamos cómo Heisenberg se aproxima a su gran idea. Más adelante leo:
Habiendo trabajado en Copenhague con Kramers, vuelve a Gotinga. Tratando de avanzar, vio el camino a seguir: ignorar las órbitas electrónicas y concentrarse en las frecuencias Y amplitudes de las líneas espectrales observadas, por lo menos del átomo de hidrógeno. Esa fue una gran decisión que lo llevaría a su modelo. Leo:
Tengo que comentar sobre ese amigo Otto, que lo nombra en un capítulo anterior.
Veremos en el próximo post el problema de salud que tuvo. Pero un comentario: no sólo se dedicó al péndulo, sino al oscilador anarmónico. No tomó el camino del oscilador armónico. Tengo que revisar las razones, expuestas en el libro de van der Waerden, Sources of Quantum Mechanics Nos leemos! Angel "Java" Lopez |
Publicado el 7 de Agosto, 2014, 13:33
Publicado el 6 de Agosto, 2014, 15:42
Publicado el 5 de Agosto, 2014, 15:14
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Tiempo de escribir las nuevas resoluciones, pero primero paso a declarar el resultado de las anteriores de Julio: - Seguir mi serie sobre la ecuación de Schrödinger [completo] ver post También escribí sobre: Fundamentos Matemáticos de la Mecánica Cuántica, por John Von Neumann (3) Varios de estos temas tienen relaciones entre sí, y es muy interesante darse cuenta de ellas. Por ejemplo, cómo las ecuaciones diferenciales nacen de la física, y terminan usándose desde mecánica clásica hasta física cuántica. Cómo los vectores y tensores se usan en representaciones de partículas elementales, junto con los grupos. Cómo la función de onda termina siendo convertida en una instancia de un vector en un espacio de Hilbert. Cómo el planteamiento de Heisenberg es equivalente al de Schrödinger. Cómo Schrödinger se aprovecha de los hamiltonianos, y de una analogía entre óptica geométrica y óptica de ondas, para su formulación no relativista. Cómo Heisenberg plantea que un neutrón y un protón son dos estados de lo mismo, como el spin, y pasa a isospin. Cómo el electromagnetismo es una teoría gauge. Cómo en los grupos hay grupos continuos, que luego hay grupos de Lie, que se caracterizan por álgebras de Lie, que terminan teniendo generadores, que se identifican con partículas virtuales (?),... etc... Todo tiene que ver con todo, en los temas de arriba y en los que siguen abajo. Para este mes de Agosto pienso: - Seguir mi serie sobre Ecuaciones Diferenciales Es un listado ambicioso, veremos como va. Nos leemos! Angel "Java" Lopez |
Publicado el 4 de Agosto, 2014, 6:51
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Sigamos leyendo y comentando la postura de Gould:
Pero tampoco la física por qué tenemos la Luna alrededor de la Tierra, en vez de tener dos o ninguna. Hay tantas cosas que entran por la historia en la astronomía, como en la biología. No podemos explicar por qué tal estrella está en el cielo, pero eso no obsta a que podamos explicar su espectro y su posible historia. Tampoco siempre es necesario la predicción: a veces una teoría especifica una retrodicción, el hacer una "predicción" no hacia el futuro, sino en el pasado. Ahora pasas Gould a describir una separación entre las ciencias, donde algunas quedan como "más científicas" que otras:
Sí, aprecio que hay una separación así. Pero ¿eso hace que una disciplina sea menos científica, realmente, que otra? No lo veo así. La biología ha avanzado en descubrir conceptos, descubrir referentes reales (como el ADN), proponer modelos y verificarlos, etc. No la veo como menos "científica". Recordemos que Gould habla del "estereotipo", pero no lo describió en detalle hasta ahora en este texto que estamos visitando. Nos leemos! Angel "Java" Lopez |
Publicado el 3 de Agosto, 2014, 17:01
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Ya es hora de iniciar esta serie, para estudiar ecuaciones diferenciales. Esas ecuaciones aparecen en cada momento en la física matemática, pero también tienen su encanto por sí mismas. En este blog, hicieron su entrada en posts como: La Ecuación de Schrödinger En una ecuación diferencial relacionamos una función con sus variables y derivadas. En general, no conocemos esa función y tenemos que encontrarla resolviendo la ecuación. Es muy interesante ver que hay métodos particulares de resolución, algunos métodos generales, y también, muchas situaciones donde no conocemos cómo resolver la ecuación, tal vez sólo por métodos numéricos aproximados. El desarrollo de las ecuaciones diferenciales y sus soluciones ha impulsado varios siglos de matemáticas y física desde los tiempos de Newton. Hoy las matemáticas tienen intereses más amplios, como el estudio de estructuras abstractas. Pero las ecuaciones diferenciales siguen jugando un papel importante. Sirva de introducción a esta serie una cita de lo que es ahora mi principal fuente del tema, el excelente Ecuaciones Diferenciales de Simmons. Leo en el prefacio a la primera edición:
Interesante postura. Otros puntos a destacar de este libro es el gran nivel de las notas históricas, y el desarrollo armónico del tema, donde el autor nos va paseando por todos los tipos de ecuaciones diferenciales, paso a paso, sin grandes saltos, y siempre teniendo cerca un ejemplo concreto de aplicación. Ver también: http://en.wikipedia.org/wiki/Differential_equation Nos leemos! Angel "Java" Lopez |
Artículos anteriores en Agosto del 2014
- Leyendo a Darwin (8) (2 de Agosto, 2014)
- Matemáticas: Enlaces, Novedades y Recursos (14) (1 de Agosto, 2014)