|
|
Agosto del 2014
Publicado el
31 de Agosto, 2014, 16:16
|
Anterior Post
Siguiente Post
En las aplicaciones de física aparecen los llamados grupos de Lie que, al contrario de los que vimos hasta ahora, son continuos: sus elementos no tienen una cardinalidad finita, y hay infinitos elementos "cercanos" a otros. Para comenzar a tener una imagen de estos grupos, podemos pensar en las rotaciones por un ángulo arbitrario, en el plano, alrededor del origen
Consideremos un vector v en R2, que puede rotar un ángulo rho. La transformación de sus coordenadas puede representarse por una matriz:
Por ejemplo, si el ángulo es de noventa grados, la matriz vale:
Y multiplicando por el vector (1, 0), lo "rota" 90 grados:
Sea el vector v" el vector resultante de aplicar esta rotación. Queremos que tenga la misma longitud que el vector original v. Es decir, la relación v"2 = v2 debe satisfacerse. La norma puede escribirse como la multiplicación:
Donde vT es el vector transpuesto (si v es vector columna, entonces vT es vector fila).
Ejemplo, para el vector (2, 3):
Esto es, si recordamos la reglas de multiplicación de vectors y matrices.
Pero sabiendo que el vector transformado
Y que queremos que la norma se mantenga aún luego de la transformación, se debe cumplir:
Vemos que se cumple porque para cualquier ángulo rho:
Lo que es igual, de nuevo recordando la multiplicación de los elementos de dos matrices:
Para todo ángulo rho. Entonces, queda la identidad
Quedando
Se dice que la matriz general R es ortogonal cuando
Las rotaciones en el plano alrededor del origen forman un grupo, y un grupo de Lie continuo. Las matrices que vimos arriba, entonces, son UNA REPRESENTACION del grupo. El grupo se llama SO(2), de matrices ortogonales en dos dimensiones. La letra S viene de Special, que significa que las representaciones en matrices tienen determinante igual a 1 (uno). La letra O viene de Orthogonal, las operaciones implican la conservación de la norma.
Veremos en el próximo post que SO(2) es subgrupo de otros grupos más generales, y de interés en la física. Todavía no ha aparecido la relación de todos estos grupos y representaciones con la física de partículas, pero paciencia, ya llegaremos.
Nos leemos!
Angel "Java" Lopez
http://www.ajlopez.com
http://twitter.com/ajlopez
|
|
Publicado el
30 de Agosto, 2014, 8:37
|
Publicado el
27 de Agosto, 2014, 14:52
|
Publicado el
24 de Agosto, 2014, 16:43
|
Anterior Post
Siguiente Post
Veamos hoy un ejemplo simple y clásico del uso de un lagrangiano. En física, se ha visto que dado un sistema se puede encontrar una función, el lagrangiano:
Como la función que describe el sistema. En el caso de arriba, depende de coordenadas xi, de sus derivadas en el tiempo, y del tiempo mismo. Vamos a ver que las propiedades del lagrangiano no cambian aún cambiando las coordenadas, lo que lo hace más útil que la formulación newtoniana. ¿Pero qué son "las propiedades del lagrangiano"? ¿y cómo es que "describe el sistema"?
Pues bien, la gran propiedad de un lagrangiano que merezca ese nombre, es que genera n ecuaciones diferenciales:
Y que con estas ecuaciones queda descripta la evolución del sistema.
Para ver entonces un caso concreto, tomemos el sistema compuesto de una sola partícula, en libertad, una partícula libre, sin ser expuesta a fuerzas exteriores, digamos con energía potencial que no cambia en el tiempo ni en el espacio. Entonces esa energía potencial podemos tomarla como 0. ¿Cuál es el lagrangiano que describe ese sistema? Para un mismo sistema, hay una indeterminación del lagrangiano, no es que hay un lagrangiano único (algo similar estamos viendo en cuanto a la función de onda de mecánica cuántica: puede haber más de una función que describa EL MISMO estado físico). Pero podemos arriesgarnos y postular (sacar de la galera, digamos) a que el lagrangiano es:
Acá, la x con punto es un vector velocidad, y el cuadrado es el productor vectorial. En coordenadas espaciales, sería
Haciendo pasar a este lagrangiano por el proceso de generar las ecuaciones diferenciales de arriba, queda para tres coordenadas xi:
Que nos dice que ese producto de masa por velocidad de cada coordenada es una constante del movimiento. Es el momento, al que se refiere la segunda ley de Newton. Lo que nos dicen las ecuaciones derivadas del lagrangiano, en este caso, es que el momento o cantidad de movimiento se conserva en cada coordenada, aun transcurriendo el tiempo. Nuestra partícula no cambia de velocidad ni en intensidad ni en dirección.
En próximos post tendremos que investigar:
¿Podemos derivar el lagrangiano que vimos de consideraciones físicas generales?
¿Qué son esas ecuaciones diferenciales que se derivan del lagrangiano? ¿tienen algún significado?
¿Siguen valiendo esas ecuaciones aún cuando cambiemos las coordenadas?
Mientras, enlaces relacionados:
Deriving the Lagrangian for a free particle
Lagrangian
Nos leemos!
Angel "Java" Lopez
http://www.ajlopez.com
http://twitter.com/ajlopez
|
|
Publicado el
23 de Agosto, 2014, 15:25
|
Anterior Post
Siguiente Post
Sigamos buscando nuestra ecuación. Ya sabemos que tiene que tiene que ser compatible con
Ver post La Ecuación de Schrödinger (5) Dos Relaciones. Veamos un caso, cuando V sólo depende de la posición (no hay variación en el tiempo de la energía potencial).
Esperamos que los tres términos (el de energía E, el de momento p, y el de energía potencial V), sean lineales con la función de onda que tiene que ser la solución de nuestra ecuación. Una forma de conseguirlo es esperar que CADA UNO de esos tres términos, esté multiplicado por LA FUNCION DE ONDA, o una cualquiera de sus derivadas.
Pero también sabemos que la energía tiene relación con la frecuencia, y el momento con la longitud de onda. Ver post La Ecuación de Schrödinger (2) Primeras Relaciones.
Intentemos primero con una función de onda que sea de la forma (ver post La Ecuación de Schrödinger (3) Una Fórmula de Onda).
Alguna vez habíamos puesto:
Que es proporcional al momento p.
Y también tenemos:
Que es proporcional a energía E.
Quedando entonces
Recordando sus derivadas (ver post La Ecuación de Schrödinger (4) Algunas Derivadas Parciales)
Vemos que la DERIVADA POR EL TIEMPO, da un término que es proporcional a la energía. Y la DERIVADA SEGUNDA por x da un término que es proporcional al cuadrado del momento.
Entonces, algo compatible con la ecuación [1] puede ser
Donde tenemos algo de libertad en la elección de los coeficientes alfa y beta (el tercer término lo multiplicamos por 1, por ahora)
Esta ecuación diferencial satisface la linealidad, la aparición de E y p apropiadas, y nos da como solución una función de onda. Reemplazando la función de onda y sus derivadas, por los valores que suponemos potables, tenemos que explorar si hay solución para:
Veremos si es así en el próximo post.
Mientras, vayamos notando algo: se deriva por el tiempo una vez, y por el espacio DOS VECES. Si estamos familiarizados un poco con la relatividad especial, vemos que hay una asimetría, un diferente tratamiento del tiempo y del espacio. Lo que encontremos no va a ser compatible con la relatividad y las transformaciones de Lorentz. Pero sigamos avanzando, tal vez igual estemos en camino del premio Nobel, como Schrödinger ;-)
Nos leemos!
Angel "Java" Lopez
http://www.ajlopez.com
http://twitter.com/ajlopez
|
|
Publicado el
22 de Agosto, 2014, 14:47
|
Anterior Post
Siguiente Post
En la misma época en la que Heisenberg encontraba su modelo de la mecánica cuántica, Erwin Schrödinger encontraba otra solución, que luego se vió que era equivalente. En el capítulo 6 de su biografía científica, leo el recuerdo de Heisenberg de esos tiempos:
During the first few months of 1926, at about the same time that I delivered my lecture in Berlin, G6ttingen first became familiar with the work of the Viennese physicist, Erwin Schrodinger, who was approaching atomic theory from an entirely fresh side. The year before, Louis de Broglie in France had drawn attention to the fact that the strange wave-particle dualism which, at the time, seemed to prevent a rational explanation of light phenomena might be equally involved in the behavior of matter, for instance of electrons. Schrodinger developed this idea further and, by means of a new wave equation, formulated the law governing the propagation of material waves under the influence of an electromagnetic field. In Schrodinger's model, the stationary states of an atomic shell are compared with the stationary vibrations of a system, for instance of a vibrating string, except that all the magnitudes normally considered as energies of the stationary states are treated as frequencies of the stationary vibrations. The results Schrodinger obtained in this way fitted in very well with the new quantum mechanics, and Schrodinger quickly succeeded in proving that his own wave mechanics was mathematically equivalent to quantum mechanics; in other words, that the two were but different mathematical formulations of the same structures. Needless to say, we were delighted by this new development, for it greatly strengthened our confidence in the correctness of the new mathematical formulation. Moreover, Schrodinger's procedure lent itself readily to the simplification of calculations that had severely strained the powers of quantum mechanics.
Todo se dispara con la propuesta de de Broglie, que estaba madura para caer en esos tiempos. Ver
La Ecuación de Schrödinger (1) Introducción
El camino de Schrödinger era más potable para muchos físicos, porque acudía a funciones, derivadas, ondas, todos elementos más familiares que las matrices de Heisenberg. Si bien a Heisenberg le interesó el trabajo de Schrödinger, también pensaba que estaba en alguna parte errado, porque era una especie de vuelta a "lo clásico", cuando él quería destacar que había una nueva mecánica. Veremos esto en el próximo post.
Nos leemos!
Angel "Java" Lopez
http://www.ajlopez.com
http://twitter.com/ajlopez
|
|
Publicado el
21 de Agosto, 2014, 6:30
|
Publicado el
18 de Agosto, 2014, 6:58
|
Anterior Post
Siguiente Post
Hasta ahora nos hemos ocupado de una carga puntual, o de un grupo de cargas puntuales. Al principio es todo lo que necesitamos, porque todo indica que en la naturaleza todas las cargas aparecen como puntuales, con valores +- e para los leptones y +- 2/3 o +- 1/3 para los quarks (los constituyentes de la materia que interactúa con la fuerza fuerte). Sin embargo, en la vida real tenemos que vérnosla con objetos macroscópicos que pueden tener elementos del orden de 1023. Es por eso que manejamos también el concepto de una distribución de carga continua. En vez de la ecuación:
Para el campo eléctrico, asociado a cada posición del espacio r, podemos pasar de la suma a la integral, quedando:
Donde ahora dq" indica una densidad de carga, asociada a cada posición r". Hay dos vectores de posición: el independiente r y el que recorre todo el espacio r".
La forma del elemento diferencial dq" depende del tipo de la distribución de carga. Consideremos para una densidad de carga línea:
Donde lambda(r") representa una densidad lineal.
Tenemos para una densidad de carga en área:
Y para una densidad en volumen:
Donde los diferenciales de la derecha dl, dA, dt son diferenciales de longitud, de área y de volumen, respectivamente.
La distribución de carga SOBRE LA QUE actua E(r) puede también considerarse continua, quedando la fuerza expresada como:
La primera integral de arriba nos da E(r), un campo eléctrico ESTATICO para una distribución de carga dada. Lo de "estático" significa que todas las derivadas del tiempo de la distribución de carga son cero o despreciables. La carga no cambia de lugar ni de intensidad. Aún así simplificado, esta integral es una solución de "fuerza bruta" que muchas veces requiere una integración complicada, y entonces, no es un buen método para encontrar el campo. Pero hay situaciones donde la geometría del problema puede acudir en nuestro auxilio.
Próximos temas: potencial eléctrico, el gradiente del potencial, ley de Gauss, ejemplos.
Nos leemos!
Angel "Java" Lopez
http://www.ajlopez.com
http://twitter.com/ajlopez
|
|
Publicado el
17 de Agosto, 2014, 13:16
|
Anterior Post
Siguiente Post
Luego de ese avace en solitario, en la isla de Heligoland, el trabajo de Heisenberg es bien recibido. Hay mucho para contar sobre cómo se fue difundiendo, adaptando, y uniendo a otras ideas, como las de Jordan, Schrödinger, y Dirac. Leo:
What I saw during that night in Heligoland was admittedly not very much more than the sunlit rock edge I had glimpsed in the autumn of 1924, but when I reported my results to Wolfgang Pauli, generally my severest critic, he warmly encouraged me to continue along the path I had taken. In Gottingen, Max Born and Pascual Jordan took stock of the new possibilities, and in Cambridge the young English mathematician Paul Dirac developed his own methods for solving the problems involved, and after only a few months the concentrated efforts of these men led to the emergence of a coherent mathematical framework, one that promised to embrace all the multifarious aspects of atomic physics.
Es notable encontrar esta mención a Pauli. Este era en general muy crítico a ideas que no le convencían. Sin embargo, tengo que hacer notar que Pauli mismo no quiso involucrarse en los trabajos de extensión que hizo Max Born, quien tuvo entonces que recurrir a su estudiante Jordan. Ver
A Review on Dirac – Jordan Transformation Theory
http://pelagiaresearchlibrary.com/advances-in-applied-science/vol3-iss4/AASR-2012-3-4-2474-2480.pdf
Sobre el trabajo de extensión y reinterpretación de Dirac ver:
Dirac y la teoría de Heisenberg
Dirac revisando el trabajo de Heisenberg
Luego del texto de arriba, Heisenberg se embarca en un "racconto" de una conversación que tuvo con Einstein. Muy interesante tema, pero no es el que seguiré en el próximo post. Ver Heisenberg y una charla con Einstein. Será seguramente tema para una serie de posts distinta.
Continuaré con la aparición de la teoría de Schrödinger y su recepción por parte de Heisenberg mismo y por Bohr.
Nos leemos!
|
|
Publicado el
16 de Agosto, 2014, 13:46
|
Anterior Post
Siguiente Post
Sigamos explorando la función de onda. Sabemos por ahora que es una función de las coordenadas (podrían ser x,y,z, pero también podrían ser otras), a veces la manejaremos dependiente del tiempo, otras veces no (la tomaremos a un tiempo determinado), REPRESENTA un estado físico, y su valor es un número complejo.
Pero ¿cómo es que representa un estado físico? Lo que veremos hoy, es un caso especial pero fácilmente generalizable. Tomaremos:
- Función de onda de un electrón (o una partícula)
- Función de las coordenadas (que llamaremos genéricamente q)
Lo primero que afirmaremos como postulado es que si la función de onda es:
Entonces, la probabilidad de encontrar al electrón en un elemento dq del espacio de coordenadas q es:
O abreviando
Si queremos saber la probabilidad de encontrar al electrón en un volumen Q del espacio de coordenadas q, será:
O recordando números complejos
Donde el asterisco indica tomar el resultado complejo conjugado. Esto no es algo que podamos deducir, sino que tenemos que postularlo. La historia mostró que al describir un estado físico por una función de onda (en nuestro caso, el estado físico descripto es un electrón), la función de onda nos da, en primera instancia, la PROBABILIDAD de encontrar ese estado físico (en nuestro caso, al electrón) en una porción posible del espacio de coordenadas.
A pesar de que la función de onda nos da un valor complejo, llamado amplitud, cada elemento de integración de la fórmula de arriba, ES REAL, y no sólo es real, sino que es REAL POSITIVO. Así que el resultado de integrar, que podemos asimilar a una suma infinita, es un número REAL POSITIVO, como corresponde a una probabilidad.
Lo que se pide, en general, es que la integración de una función de onda esté normalizada, es decir, que la integración completa sobre el espacio de coordenadas, de probabilidad 1 (certeza):
No siempre todas las funciones de onda se pueden normalizar. A veces, la integral de arriba sobre TODO el espacio de coordenadas diverge. Pero aún así, la integral sobre una porción Q, da un valor de probabilidad que se puede comparar con la integral sobre otra porción P. El peso relativo de esos valores nos da alguna información: si integrar sobre Q da 3, e integrar sobre P da 2, eso indica que encontrar el estado físico en Q tiene 3/2 más probabilidad de encontrarse en el fragmento P
Nos leemos!
Angel "Java" Lopez
http://www.ajlopez.com
http://twitter.com/ajlopez
|
|
Publicado el
15 de Agosto, 2014, 14:53
|
Publicado el
13 de Agosto, 2014, 16:24
|
Publicado el
11 de Agosto, 2014, 12:02
|
Anterior Post
Siguiente Post
En una ecuación diferencial interviene una variable dependiente y sus derivadas con respect a una o más variables independientes. Muchas leyes de la naturaleza encuentran encuentran su expresión en ecuaciones diferenciales. Asimismo, son importantes por sí mismas en el desarrollo de las matemáticas desde la aparición del cálculo.
¿Cuál es la razón para encontrarnos con ecuaciones diferenciales en tantos temas (física, química, economía, geometría, etc…)? Si tenemos una función
Su primera derivada indica el ritmo de cambio de y con respecto a x. Y así sucesivamente con las siguientes derivadas. En los procesos naturales las variables que intervienen y sus ritmos de cambio están relacionadas entre sí por medio de los principios científicos que rigen esos procesos. Cuando descubrimos esas relaciones, muchas veces llegamos a expresarlas en ecuaciones diferenciales.
Tomemos un ejemplo, el de la segunda ley de Newton sobre una partícula. Expresada matemáticamente:
Indica que la fuerza que actúa sobre la partícula es la responsable del cambio en el momento de la misma. Vemos que el momento p es un vector. Conociendo la fuerza que se aplica en cada momento, podemos deducir (a veces con dificultad) la trayectoria de la partícula. Pongamos un ejemplo concreto. Una partícula de masa m, libre, sólo sujeta a la fuerza de la gravedad, cae sin ninguna otra influencia, partiendo del reposo. Recordando que el momento es masa por velocidad:
Y considerando a la masa constante (estamos en un caso no relativista), lo único que varía con el tiempo es la velocidad. Su ritmo de cambio la llamamos aceleración:
La fuerza de gravedad es proporcional a la masa sobre la que se ejerce y a una constante g:
Con dirección hacia abajo. Si ponemos como variable dependiente del tiempo a y, como la distancia desde el punto de reposo que recorre la partícula, queda
Despejando m, queda
La ecuación diferencial que estábamos buscando. Resolviéndola podemos obtener la fórmula de cómo evoluciona el valor de y a través del tiempo. Pero si la partícula encuentra resistencia en su caída, debido al aire, proporcional a su velocidad, entonces la fuerza será:
Y la ecuación a resolver será
Tenemos que estudiar la resolución de éstas y otros tipos de ecuaciones diferenciales, en próximos posts.
Nos leemos!
Angel "Java" Lopez
http://www.ajlopez.com
http://twitter.com/ajlopez
|
|
Publicado el
9 de Agosto, 2014, 12:45
|
Anterior Post
Siguiente Post
Como alguna vez le pasó a Newton, como también a Schrödinger, Heisenberg se encontró con tiempo libre para pensar en sus ideas.
Toward the end of May 1925, I fell so ill with hay fever that I had to ask Born for fourteen days' leave of absence. I made straight for Heligoland, where I hoped to recover quickly in the bracing sea air, far from blossoms and meadows. On my arrival I must have looked quite a sight with my swollen face; in any case, my landlady took one look at me, concluded that I had been in a fight and promised to nurse me through the aftereffects. My room was on the second floor, and since the house was built high up on the southern edge of the rocky island, I had a glorious view over the village, and the dunes and the sea beyond. As I sat on my balcony, I had ample opportunity to reflect on Bohr's remark that part of infinity seems to lie within the grasp of those who look across the sea.
Ya no era estudiante, ya era docente, así que imagino que este viaje no afectó tanto a su presupuesto como años antes, cuando necesitaba el soporte de la cátedra de su profesor Sommerfeld para viajar a congresos en Europa.
Apart from daily walks and long swims, there was nothing in Heligoland to distract me from my problem, and so I made much swifter progress than I would have done in Gottingen. A few days were enough to jettison all the mathematical ballast that invariably encumbers the beginning of such attempts, and to arrive at a simple formulation of my problem. Within a few days more, it had become clear to me what precisely had to take the place of the Bohr-Sommerfeld quantum conditions in an atomic physics working with none but observable magnitudes. It also became obvious that with this additional assumption I had introduced a crucial restriction into the theory. Then I noticed that there was no guarantee that the new mathematical scheme could be put into operation without contradictions. In particular, it was completely uncertain whether the principle of the conservation of energy would still apply, and I knew only too well that my scheme stood or fell by that principle.
Ahora tiene que revisar su resultado. El tema es si la energía se conservaba o no. En esos tiempos, dado lo extraño de los resultados cuánticos, se había llegado a sugerir en algún "paper" que la conservación de la energía era solo un resultado estadístico.
Other than that, however, several calculations showed that the scheme seemed quite self-consistent. Hence I concentrated on demonstrating that the conservation law held, and one evening I reached the point where I was ready to determine the individual terms in the energy table, or, as we put it today, in the energy matrix, by what would now be considered an extremely clumsy series of calculations. When the first terms seemed to accord with the energy principle, I became rather excited, and I began to make countless arithmetical errors. As a result, it was almost three o'clock in the morning before the final result of Iny computations lay before me. The energy principle had held for all the terms, and I could no longer doubt the mathematical consistency and coherence of the kind of quantum mechanics to which my calculations pointed. At first, I was deeply alarmed. I had the feeling that, through the surface of atomic phenomena, I was looking at a strangely beautiful interior, and felt almost giddy at the thought that I now had to probe this wealth of mathematical structures nature had so generously spread out before me. I was far too excited to sleep, and so, as a new day dawned, I made for the southern tip of the island, where I had been longing to climb a rock jutting out into the sea. I now did so without too much trouble, and waited for the sun to rise.
Buen trabajo esa noche. El "paper" que escribió sobre este tema tiene saltos mágicos en el razonamiento, pero llega a las conclusiones correctas. Seguiré comentando en el próximo post.
Nos leemos!
Angel "Java" Lopez
http://www.ajlopez.com
http://twitter.com/ajlopez
|
|
Publicado el
8 de Agosto, 2014, 13:33
|
Anterior Post
Siguiente Post
Veamos cómo Heisenberg se aproxima a su gran idea. Más adelante leo:
In atomic physics, likewise, the winter of 1924-1925 had obviously brought us to a realm where the fog was thick but where some light had begun to filter through and held out the promise of exciting new vistas.
Habiendo trabajado en Copenhague con Kramers, vuelve a Gotinga. Tratando de avanzar, vio el camino a seguir: ignorar las órbitas electrónicas y concentrarse en las frecuencias Y amplitudes de las líneas espectrales observadas, por lo menos del átomo de hidrógeno. Esa fue una gran decisión que lo llevaría a su modelo. Leo:
In the summer term of 1925, when I resumed my research work at the University of Gottingen-since July 1924 I had been Privatdozent at that university-I made a first attempt to guess what formulae would enable one to express the line intensities of the hydrogen spectrum, using more or less the same methods that had proved so fruitful in my work with Kramers in Copenhagen. This attempt led to a dead end-I found myself in an impenetrable morass of complicated mathematical equations, with no way out. But the work helped to convince me of one thing: that one ought to ignore the problem of electron orbits inside the atom, and treat the frequencies and amplitudes associated with the line intensities as perfectly good substitutes. In any case, these magnitudes could be observed directly, and as my friend Otto had pointed out when expounding on Einstein's theory during our bicycle tour round Lake Walchensee, physicists must consider none but observable magnitudes when trying to solve the atomic puzzle...
Tengo que comentar sobre ese amigo Otto, que lo nombra en un capítulo anterior.
.. My attempt to apply this scheme to the hydrogen atom had come to grief on the complications of this particular problem. Accordingly, I looked for a simpler mathematical system and found it in the pendulum, whose oscillations could serve as a model for the molecular vibrations treated by atomic physics. My work along these lines was advanced rather than retarded by an unfortunate personal setback.
Veremos en el próximo post el problema de salud que tuvo. Pero un comentario: no sólo se dedicó al péndulo, sino al oscilador anarmónico. No tomó el camino del oscilador armónico. Tengo que revisar las razones, expuestas en el libro de van der Waerden, Sources of Quantum Mechanics
Nos leemos!
Angel "Java" Lopez
http://www.ajlopez.com
http://twitter.com/ajlopez
|
|
Publicado el
7 de Agosto, 2014, 13:33
|
Publicado el
6 de Agosto, 2014, 15:42
|
Publicado el
5 de Agosto, 2014, 15:14
|
Tiempo de escribir las nuevas resoluciones, pero primero paso a declarar el resultado de las anteriores de Julio:
- Seguir mi serie sobre la ecuación de Schrödinger [completo] ver post
- Comenzar una serie sobre ecuaciones diferenciales [completo] ver post
- Seguir mi serie sobre Heisenberg [completo] ver post
- Seguir mi serie sobre Stephen Jay Gould [completo] ver post
- Seguir mi serie sobre Darwin [completo] ver post
- Seguir mi serie sobre Matemáticas y Física Cuántica [pendiente]
- Estudiar vectores y tensores [parcial]
- Estudiar ecuaciones diferenciales [completo]
También escribí sobre:
Fundamentos Matemáticos de la Mecánica Cuántica, por John Von Neumann (3)
Dirac por Israel Gelfand
Dirac y la teoría de Heisenberg
Varios de estos temas tienen relaciones entre sí, y es muy interesante darse cuenta de ellas. Por ejemplo, cómo las ecuaciones diferenciales nacen de la física, y terminan usándose desde mecánica clásica hasta física cuántica. Cómo los vectores y tensores se usan en representaciones de partículas elementales, junto con los grupos. Cómo la función de onda termina siendo convertida en una instancia de un vector en un espacio de Hilbert. Cómo el planteamiento de Heisenberg es equivalente al de Schrödinger. Cómo Schrödinger se aprovecha de los hamiltonianos, y de una analogía entre óptica geométrica y óptica de ondas, para su formulación no relativista. Cómo Heisenberg plantea que un neutrón y un protón son dos estados de lo mismo, como el spin, y pasa a isospin. Cómo el electromagnetismo es una teoría gauge. Cómo en los grupos hay grupos continuos, que luego hay grupos de Lie, que se caracterizan por álgebras de Lie, que terminan teniendo generadores, que se identifican con partículas virtuales (?),... etc... Todo tiene que ver con todo, en los temas de arriba y en los que siguen abajo.
Para este mes de Agosto pienso:
- Seguir mi serie sobre Ecuaciones Diferenciales
- Seguir mi serie sobre la ecuación de Schrödinger
- Seguir mi serie sobre Matemáticas y Física Cuántica
- Seguir mi serie sobre Electromagnetismo
- Seguir mi serie sobre Lagrangianos y Hamiltonianos
- Seguir mi serie sobre Partículas Elementas y Grupos
- Estudiar ecuaciones diferenciales
Es un listado ambicioso, veremos como va.
Nos leemos!
Angel "Java" Lopez
http://www.ajlopez.com
http://twitter.com/ajlopez
|
|
Publicado el
4 de Agosto, 2014, 6:51
|
Anterior Post
Siguiente Post
Sigamos leyendo y comentando la postura de Gould:
Las explicaciones históricas son distintas de muchas maneras de los resultados experimentales convencionales. El tema de la verificación mediante repetición no se suscita porque estamos intentando explicar la singularidad de detalles que no puede, ni por las leyes de probabilidad ni por la irreversibilidad de la flecha del tiempo, ocurrir de nuevo simultáneamente. No intentamos interpretar los complejos acontecimientos del relato reduciéndolos a simples consecuencias de la ley natural; desde luego, los acontecimientos históricos no violan ningún principio general de la materia y el movimiento, pero su existencia reside en un reino de detalle contingnente. (La ley de la gravedad nos dice cómo cae una manzana, pero no por qué aquella manzana cayó en aquel momento, ni por qué Newton se encontraba sentado allí por casualidad, preparado para la inspiración.) Y el tema de la predicción, un ingrediente básico del estereotipo, no entra en una narrativa histórica. Podemos explicar un acontecimiento después de que haya ocurrido, pero la contingencia impide su repetición, incluso si el punto de partida es idéntico. (Custer estaba sentenciado después que mil acontecimientos conspiraran para aislar a sus tropas, pero empecemos de nuevo en 1850 y puede que nunca viera Montana, y mucho menos a Toro Sentado y a Caballo Loco.)
Pero tampoco la física por qué tenemos la Luna alrededor de la Tierra, en vez de tener dos o ninguna. Hay tantas cosas que entran por la historia en la astronomía, como en la biología. No podemos explicar por qué tal estrella está en el cielo, pero eso no obsta a que podamos explicar su espectro y su posible historia. Tampoco siempre es necesario la predicción: a veces una teoría especifica una retrodicción, el hacer una "predicción" no hacia el futuro, sino en el pasado.
Ahora pasas Gould a describir una separación entre las ciencias, donde algunas quedan como "más científicas" que otras:
Estas diferencias sitúan las explicaciones históricas, o narrativas, bajo una luz desfavorable cuando se las juzga mediante los estereotipos restrictivos del "método científico". Por ello, las ciencias de complejidad histórica han sido degradadas en su nivel y por lo general ocupan una posición de baja estima entre los profesionales. En realidad, la ordenación de las ciencias en niveles se ha convertido en un tema tan familiar que la clasificación desde la física diamantina en la cúspide hasta temas tan resbalosos y subjetivos como la psicología y la sociología en la base se han convertido a su vez en un estereotipo. Estas distinciones han penetrado en nuestro lenguaje y en nuestras metáforas: las ciencias "duras" frente a las "blandas", las "rigurosamente experimentales" frente a las "meramente descriptivas". Hace varios años, la Universidad de Harvard, en un acto poco caraterístico de innovación educativa, abrió brecha en el terreno conceptual al organizar las ciencias según el estilo de procedimientos en lugar de la disciplina convencional dentro del currículum básico. No hicimos la doble división usual en físicas frente a biológicas, sino que reconocimos los dos estilos que acabo de comentar: el experimental predictivo y el histórico. Designamos cada categoría con una letra, en lugar de un nombre. ¿Adivinen qué división se convirtió en Ciencia A y cuál en Ciencia B? Mi curso sobre la historia de la Tierra y de la vida se llama Ciencia B-16
Sí, aprecio que hay una separación así. Pero ¿eso hace que una disciplina sea menos científica, realmente, que otra? No lo veo así. La biología ha avanzado en descubrir conceptos, descubrir referentes reales (como el ADN), proponer modelos y verificarlos, etc. No la veo como menos "científica". Recordemos que Gould habla del "estereotipo", pero no lo describió en detalle hasta ahora en este texto que estamos visitando.
Nos leemos!
Angel "Java" Lopez
http://www.ajlopez.com
http://twitter.com/ajlopez
|
|
Publicado el
3 de Agosto, 2014, 17:01
|
Siguiente Post
Ya es hora de iniciar esta serie, para estudiar ecuaciones diferenciales. Esas ecuaciones aparecen en cada momento en la física matemática, pero también tienen su encanto por sí mismas. En este blog, hicieron su entrada en posts como:
La Ecuación de Schrödinger
Mecánica Clásica
Resolviendo una Simple Ecuación Diferencial Usando Series de Potencias
En una ecuación diferencial relacionamos una función con sus variables y derivadas. En general, no conocemos esa función y tenemos que encontrarla resolviendo la ecuación. Es muy interesante ver que hay métodos particulares de resolución, algunos métodos generales, y también, muchas situaciones donde no conocemos cómo resolver la ecuación, tal vez sólo por métodos numéricos aproximados.
El desarrollo de las ecuaciones diferenciales y sus soluciones ha impulsado varios siglos de matemáticas y física desde los tiempos de Newton. Hoy las matemáticas tienen intereses más amplios, como el estudio de estructuras abstractas. Pero las ecuaciones diferenciales siguen jugando un papel importante. Sirva de introducción a esta serie una cita de lo que es ahora mi principal fuente del tema, el excelente Ecuaciones Diferenciales de Simmons. Leo en el prefacio a la primera edición:
El lugar de las ecuaciones diferenciales en las matemáticas. El análisis ha sido la rama dominante de las matemáticas durante 300 años, y las ecuaciones diferenciales están en el corazón del análisis. Constituyen el objetivo natural del cálculo elemental y la parcela matemática más importante para la comprensión de las ciencias físicas. Es fuente, además, en las cuestiones más profundas que suscita, de la mayoría de las ideas y teorías que conforman el análisis avanzado. Series de potencias, series de Fourier, función gamma y otras funciones especiales, ecuaciones integrales, teoremas de existencia, necesidad de justificación rigurosa de muchos procesos analíticos, todos estos temas aparecerán en nuestro camino en su contexto más natural. Y en una etapa posterior proporcionan la principal motivación que subyace al análisis complejo, a la teoría de series de Fourier y otros desarrollos ortogonales más generales, a la integración de Lebesgue, a los espacios métricos y de Hilbert, y a un sinfín de otras materias de gran belleza en la matemática moderna. Puedo alegar, a título de ejemplo, que una de las ideas principales del análisis complejo consiste en liberar a las series de potencias del ámbito restrictivo del sistema de los números reales, algo que entenderán mejor quienes hayan intentado utilizar series de potencias reales para resolver ecuaciones diferenciales. En botánica resulta obvio que nadie puede apreciar del todo los capullos de las plantas en floración sin un conocimiento razonable de las raíces, tallos y hojas que los nutren y soportan. El mismo principio es válido en matemáticas, pero se desprecia o se ignora con frecuencia.
Las modas son tan comunes en matemáticas como en cualquier otra actividad humana, y siempre es difícil separar lo imperecedero de lo efímero en las obras que nos son coetáneas. Estamos presenciando actualmente en nuestras enseñanzas de matemáticas una fuerte corriente de abstracción que ha eliminado del paisaje muchos rasgos particulares, sustituyéndolos por las suaves y redondeadas formas de las teorías generales. En dosis oderadas, tales teorías generalmente son útiles y satisfactorias, pero un efecto desafortunado de su predominio es que si un estudiante no aprende en su carrera algo acerca de temas tan interesantes como la ecuación de ondas, la función hipergeométrica de Gauss, la función gamma o los problemas básicos del cálculo de variaciones, entre otros, es muy improbable que lo aprenda después. El lugar idóneo para adquirir esas nociones básicas es un curso de nivel elemental en ecuaciones diferenciales. Algunos libros de uso frecuente en esta materia me recuerdan esos autocares de visita turística cuyos conductores están tan obsesionados con el cumplimiento a rajatabla del horario programado que no dan apenas oportunidad a sus pasajeros de disfrutar del recorrido.
Interesante postura. Otros puntos a destacar de este libro es el gran nivel de las notas históricas, y el desarrollo armónico del tema, donde el autor nos va paseando por todos los tipos de ecuaciones diferenciales, paso a paso, sin grandes saltos, y siempre teniendo cerca un ejemplo concreto de aplicación.
Ver también:
http://en.wikipedia.org/wiki/Differential_equation
Nos leemos!
Angel "Java" Lopez
http://www.ajlopez.com
http://twitter.com/ajlopez
|
|
Otros mensajes en Agosto del 2014
|
