Publicado el 31 de Agosto, 2014, 16:16
En las aplicaciones de física aparecen los llamados grupos de Lie que, al contrario de los que vimos hasta ahora, son continuos: sus elementos no tienen una cardinalidad finita, y hay infinitos elementos "cercanos" a otros. Para comenzar a tener una imagen de estos grupos, podemos pensar en las rotaciones por un ángulo arbitrario, en el plano, alrededor del origen
Por ejemplo, si el ángulo es de noventa grados, la matriz vale: Y multiplicando por el vector (1, 0), lo "rota" 90 grados: Sea el vector v" el vector resultante de aplicar esta rotación. Queremos que tenga la misma longitud que el vector original v. Es decir, la relación v"2 = v2 debe satisfacerse. La norma puede escribirse como la multiplicación: Donde vT es el vector transpuesto (si v es vector columna, entonces vT es vector fila). Ejemplo, para el vector (2, 3): Esto es, si recordamos la reglas de multiplicación de vectors y matrices. Pero sabiendo que el vector transformado Y que queremos que la norma se mantenga aún luego de la transformación, se debe cumplir: Vemos que se cumple porque para cualquier ángulo rho: Lo que es igual, de nuevo recordando la multiplicación de los elementos de dos matrices: Para todo ángulo rho. Entonces, queda la identidad Quedando Se dice que la matriz general R es ortogonal cuando Las rotaciones en el plano alrededor del origen forman un grupo, y un grupo de Lie continuo. Las matrices que vimos arriba, entonces, son UNA REPRESENTACION del grupo. El grupo se llama SO(2), de matrices ortogonales en dos dimensiones. La letra S viene de Special, que significa que las representaciones en matrices tienen determinante igual a 1 (uno). La letra O viene de Orthogonal, las operaciones implican la conservación de la norma. Veremos en el próximo post que SO(2) es subgrupo de otros grupos más generales, y de interés en la física. Todavía no ha aparecido la relación de todos estos grupos y representaciones con la física de partículas, pero paciencia, ya llegaremos. Nos leemos! Angel "Java" Lopez |