Angel "Java" Lopez en Blog

Octubre del 2014

Publicado el 30 de Octubre, 2014, 12:12

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En el anterior post, vimos la recepción favorable de la conferencia de Schrödinger. Por un lado, exponía su método, con un buen caso de aplicación, el átomo de hidrógeno, quedando explicado de una forma más elegante que con la mecánica cuántica matricial. Por otro lado, expuso su interpretación, a la que se opuso firmemente Heisenberg, sin conseguir mayor apoyo.

And so I went home rather sadly. It must have been that same evening that I wrote to Niels Bohr about the unhappy outcome of the discussion. Perhaps it was as a result of this letter that he invited Schrodinger to spend part of September in Copenhagen. Schrodinger agreed, and I, too, sped back to Denmark.

Conocía del viaje de Schrödinger. No sabía que Heisenberg también estuvo en esos momentos

Bohr's discussions with Schrodinger began at the railway station and were continued daily from early morning until late at night. Schrodinger stayed in Bohr's house so that nothing would interrupt the conversations. And although Bohr was normally most considerate and friendly in his dealings with people, he now struck me as an almost remorseless fanatic, one who was not prepared to make the least concession or grant that he could ever be mistaken. It is hardly possible to convey just how passionate the discussions were, just how deeply rooted the convictions of each, a fact that marked their every utterance. All I can hope to do here is to produce a very pale copy of conversations in which two men were fighting for their particular interpretation of the new mathematical scheme with all the powers at their command.

Estos son los recuerdos de Heisenberg:

Schrodinger: "Surely you realize that the whole idea of quantum jumps is bound to end in nonsense. You claim first of all that if an atom is in a stationary state, the electron revolves periodically but does not emit light, when, according to Maxwell's theory, it must. Next, the electron is said to jump from one orbit to the next and to emit radiation. Is this jump supposed to be gradual or sudden? If it is gradual, the orbital frequency and energy of the electron must change gradually as well. But in that case, how do you explain the persistence of fine spectral lines? On the other hand, if the jump is sudden, Einstein's idea of light quanta will admittedly lead us to the right wave number, but then we must ask ourselves how precisely the electron behaves during the jump. Why does it not emit a continuous spectrum, as electromagnetic theory demands? And what laws govern its motion during the jump? In other words, the whole idea of quantum jumps is sheer fantasy."

El tema en discusión son los saltos cuánticos. Schrödinger no los admitía. Es interesante esta transcripción de Heisenberg, porque va a más detalle que otros resúmenes de divulgación.

Bohr: "What you say is absolutely correct. But it does not prove that there are no quantum jumps. It only proves that we cannot imagine them, that the representational concepts with which we describe events in daily life and experiments in classical physics are inadequate when it comes to describing quantum jumps. Nor should we be surprised to find it so, seeing that the processes involved are not the objects of direct experience."

Schrodinger: "I don't wish to enter into long arguments about the formation of concepts; I prefer to leave that to the philosophers. I wish only to know what happens inside an atom. I don't really mind what language you choose to discuss it. If there are electrons in the atom, and if these are particles-as all of us believe-then they must surely move in some way. Right now I am not concerned with a precise description of this motion, but it ought to be possible to determine in principle how they behave in the stationary state or during the transition from one state to the next. But from the mathematical form of wave or quantum mechanics alone it is clear that we cannot expect reasonable answers to these questions. The moment, however, that we change the picture and say that there are no discrete electrons, only electron waves or waves of matter, then everything looks quite different. We no longer wonder about the fine lines. The emission of light is as easily explained as the transmission of radio waves through the aerial of the transmitter, and what seemed to be insoluble contradictions have suddenly disappeared. "

Bohr: "I beg to disagree. The contradictions do not disappear; they are simply pushed to one side. You speak of the emission of light by the atom or more generally of the interaction between the atom and the surrounding radiation field, and you think that all the problems are solved once we assume that there are mate- rial waves but no quantum jumps. But just take the case of thermodynamic equilibrium between the atom and the radiation field-remember, for instance, the Einsteinian derivation of Planck's radiation law. This derivation demands that the energy of the atom should assume discrete values and change discontinuously from time to time; discrete values for the frequencies cannot help us here. You can't seriously be trying to cast doubt on the whole basis of quantum theoryl"

Schrodinger: "I don't for a moment claim that all these relationships have been fully explained. But then you, too, have so far failed to discover a satisfactory physical interpretation of quantum mechanics. There is no reason why the application of thermodynamics to the theory of material waves should not yield a satisfactory explanation of Planck's formula as well-an explanation that will admittedly look somewhat different from all previous ones."

Bohr: "No, there is no hope of that at all. We have known what Planck's formula means for the past twenty-five years. And, quite apart from that, we can see the inconstancies, the sudden jumps in atomic phenomena quite directly, for instance when we watch sudden flashes of light on a scintillation screen or the sudden rush of an electron through a cloud chamber. You cannot simply ignore these observations and behave as if they did not exist at al1."

Schrodinger: "If all this damned quantum jumping were really here to stay, I should be sorry I ever got involved with quantum theory."

Bohr: "But the rest of us are extremely grateful that you did; your wave mechanics has contributed so much to mathematical clarity and simplicity that it represents a gigantic advance over all previous forms of quantum mechanics."

Y acá algo que también conocía, pero parece que es Heisenberg la principal fuente que tenemos: Schrödinger cae enfermo, y Bohr sigue atosigándolo:

And so the discussions continued day and night. After a few days Schrodinger fell ill, perhaps as a result of his enormous effort; in any case, he was forced to keep to his bed wi th a feverish cold. While Mrs. Bohr nursed him and brought in tea and cake, Niels Bohr kept sitting on the edge of the bed talking at Schrodinger: "But you must surely admit that . . ." No real understanding could be expected since, at the time, neither side was able to offer a complete and coherent interpretation of quantum mechanics. For all that, we in Copenhagen felt convinced toward the end of Schrodinger's visit that we were on the right track, though we fully realized how difficult it would be to convince even leading physicists that they must abandon all attempts to construct perceptual models of atomic processes.

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Angel "Java" Lopez

Por ajlopez, en: Ciencia

Publicado el 28 de Octubre, 2014, 17:17

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Angel "Java" Lopez

Por ajlopez, en: Emprender

Publicado el 27 de Octubre, 2014, 16:50

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Angel "Java" Lopez

Publicado el 26 de Octubre, 2014, 17:19

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Sea ahora que tengamos un estado físico E1, representado por la función de onda:

Y que tenemos un estado físico E2, representado por otra función de onda:

Entonces, resulta algo notable: la combinación lineal de ambas funciones de ondas, usando coeficientes complejos, ES TAMBIEN UNA FUNCION DE ONDA que representa UN ESTADO FISICO:

Esto no tendría por qué haber sido así: pero se descubrió experimentalmente. Los estados físicos se pueden combinar, y su combinación expresa matemáticamente con la combinación lineal de sus funciones de onda.

En general, las funciones de onda se usan normalizadas. Así, las funciones de onda de las que partimos, deberían estar normalizadas. Pero dependiendo de los coeficientes ci, la nueva función de onda puede que esté o no normalizada. Recordemos del anterior post, la probabilidad de encontrar al sistema en cuestión (un electrón, un átomo de helio, etc.) en un estado representado por la función de onda en el volumen Q de coordenadas era:

Se dice que la función de onda está normalizada, si esa probabilidad, extendida a todo el espacio de coordenadas, da probabilidad 1:

Calculemos esta última integral para nuestra nueva función de ondas:

No sabemos cuánto valen las integrales de estos términos, pero si toda esta evaluación diera, digamos 2 (dos) como valor resultante, entonces bastará multiplicar cada coeficiente ci por la raíz cuadrada de dos y obtendríamos la nueva función de onda, pero normalizada.

Es la superposición de estados la que permite que dos funciones de onda "interfieran" entre sí. Y notablemente, esta interferencia no se realiza como suma punto a punto de probabilidades, NUMEROS REALES, sino que recordemos que cada punto DA UNA AMPLITUD, un número COMPLEJO. Así, en un punto q la primer función de onda da un número complejo, y la segunda función de onda da OTRO número complejo. Dependiendo de su fase, podrán "interferir" constructiva o destructivamente.

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Angel "Java" Lopez

Por ajlopez, en: Ciencia

Publicado el 25 de Octubre, 2014, 18:06

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Intentemos otra función de onda. En nuestro anterior intento, fracasamos porque resultó una igualdad con senos y cosenos mezclados, difícil de satisfacer para todos los valores. Eso sucedió porque la función de onda propuesta de la que partimos, sólo tenía seno. Al utilizar sus derivadas parciales, aparecieron más senos y cosenos pero no en una forma manejable.

Sea ahora:

Estamos usando k como número de onda, y la frecuencia angular omega. Ponemos un coeficiente gamma en el término del seno, para tener más libertad de elección en lo que viene. Podríamos haber puesto un coeficiente en el término del coseno, también, teniendo entonces dos coeficientes. Pero por la linealidad que estamos persiguiendo, es lo mismo.

Como antes para la anterior función de onda, calculemos sus derivadas parciales, en x y en t:

Recordemos que ya habíamos partido de:

Habiéndola transformado, aplicando las relaciones de de Broglie y de Einstein, y cambiando longitud de onda por número de onda, y frecuencia por frecuencia angular, quedando:

Entonces, hay un término con omega: por las derivadas de arriba, debería corresponder con la primera derivada temporal. Hay un término con k al cuadrado: ahí entonces debería estar la derivada segunda de x. Como ya vimos, esto nos da:

Expandamos la nueva función de onda y sus derivadas

Esto nos da varios cosenos y senos. Para que la ecuación se cumpla, basta que se cumpla para los factores que tienen seno, por un lado, y para los factores que tienen coseno. Es decir, si reagrupamos por coseno y seno como factores:

Todo se va a cumplir si los coeficientes de seno y coseno SE ANULAN. Queda


Con lo que gamma cumple:

Y queda que es la raíz de menos uno (con una indeterminación de signo que no importa ahora):

Sustituyendo esto en una de las ecuaciones de arriba:

Comparando con


Al fin tenemos todo para escribir "nuestra" ecuación de onda:

Bastante por hoy. En el próximo post destacaremos que esto NO es una deducción matemática, sino que es un argumento de plausibilidad. La ecuación de arriba NO SE DEDUCE (ni en los tiempos de Schrodinger ni ahora): hay que postularla.

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Angel "Java" Lopez

Por ajlopez, en: Ciencia

Publicado el 24 de Octubre, 2014, 15:57

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Angel "Java" Lopez

Publicado el 22 de Octubre, 2014, 15:51

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The Invisible Bicycle Helmet | Fredrik Gertten

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What Exactly Is GitHub Anyway?
Andreessen Horowitz announced a whopping $100 million investment in GitHub this week. You can read commentary and speculation all over the web about what GitHub will do with the money, whether this was a good investment for Andreessen Horowitz and whether taking such a large investment is a good thing for GitHub.

How To Create A Minimum Viable Product
There"s been a lot of talk on the concept of minimum viable product lately, but not much has been written on how to actually implement one. Having gone through the process of developing one of the earliest social software mashups (GROU.PS) in PHP six years ago, and LoveBucks, a node.js Javascript app that is the Facebook "Like" Button for online content monetization (both alone), I want to describe to you a little bit what has really changed in web application development in recent years and the beauty of minimum viable product.

Tales from the Trenches: GitHub

GitHub finally raises funding: $100M from Andreessen Horowitz

Don"t waste your time in crappy startup jobs.

WikiSpeed The Car

Why Startups Condense in America

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Angel "Java" Lopez

Por ajlopez, en: Emprender

Publicado el 19 de Octubre, 2014, 18:06

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Hace tiempo que no comento a Monod, ver:

La Biología y las ciencias, por Monod
El análisis en ciencia según Monod
Puntos de Materialismo Dialéctico, según Monod
Monod, Engels, dialéctica materialista y ciencia
Más Monod, Engels, dialéctica materialista y ciencia
La proyección animista, por Monod (Parte 1)
La proyección animista, por Monod (Parte 2)

La semana pasada, me encontré leyendo esto que quiero compartir, el comienzo de su capítulo 6 "Invariancia y Perturbaciones", de su clásico "Azar y Necesidad":

Desde su nacimiento, en las islas Jónicas, hace cerca de tres mil años, el pensamiento occidental se ha repartido entre dos actitudes en apariencia opuestas. Según una de esas filosofías, la realidad auténtica y última del universo no puede residir más que en formas perfectamente inmutables, invariantes por esencia. Según la otra, al contrario, es en el movimiento y la evolución, donde reside la única realidad del universo.

Alude a Platón (sin nombrar a Parménides) y a Heráclito. Y ahora hace un comentario importante, sobre el origen, el sustento humano de ambas posiciones:

De Platón a Whitehead, y de Heráclito a Hegel y Marx, es evidente que estas epistemologías metafísicas han estado siempre íntimamente asociadas a las ideas morales y políticas de sus autores.

Dice, no son posturas neutras.

Estos edificios ideológicos, presentados como a priori, eran en realidad construcciones a posteriori destinadas a justificar una teoría ético-política preconcebida.

Cita en una nota, a otro clásico, de Popper, The Open Society and its Enemies, donde está más en detalle expresada esta postura, sobre el origen moral de estas concepciones. Pero en tiempos modernos, dice:

El único a priori, para la ciencia, es el postulado de objetividad que le ahorra, o más bien le prohíbe, tomar parte en este debate. La ciencia estudia la evolución, sea la del universo o la de los sistemas que contiene, como el de la biósfera, comprendido el hombre.

Es interesante que nombre "la evolución del universo" como parte de los asuntos de la ciencia, que a veces se la ve como estudiando sólo lo que no cambia. Ver mi serie sobre Stephen Jay Gould, Ciencia e Historia.

Sabemos que todo fenómeno, todo acontecimiento, todo conocimiento, implica interacciones, por sí mismas generadores de modificaciones en los componentes del sistema. Esta noción, sin embargo, no es en ningún modo incompatible con la idea que existe de las entidades inmutables en la estructura del universo. Más bien al contrario: la estrategia fundamental de la ciencia en el análisis de los fenómenos es el descubrimiento de los invariantes.

Me temo que hay pocos invariantes, veo que todos provienen de las ciencias físicas. Lo demás es cambio y evolución.

Toda ley física, como además todo desarrollo matemático...

Yo pondría a las matemáticas en una zona distinta, de ciencias formales. Pero claro, en matemáticas es fundamental el concepto de invariante.

... especifica una relación de invariancia: las proposiciones más fundamentales de la ciencia son postulados universales de conservación. Es fácil ver, en todo ejemplo que se quiera escoger, que es de hecho imposible analizar un fenómeno cualquiera en otros términos que los de los invariantes conservados por este fenómeno. El ejemplo más claro es quizá la formulación de las leyes de la cinética, que exigió la invención de las ecuaciones diferenciales, es decir de un medio para definir el cambio en términos de lo que permanece sin cambiar.

No lo menciona, pero aparte de las ecuaciones diferenciales, surgió el concepto de cantidades de movimiento invariantes.

Es importante lo que escribe: nos da una base para ver la importancia de lo invariante y el cambio en la ciencia.

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Angel "Java" Lopez

Por ajlopez, en: Filosofía

Publicado el 18 de Octubre, 2014, 17:05

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Esta vez, vuelvo a leer "el Penrose" que ya había citado. Siguiendo el capítulo 20, leo:

... [investiguemos] la imagen lagrangiana... Coordenadas para el T(C) de Lagrange servirían para determinar las posiciones de todos los cuerpos newtonianos (incluidos los ángulos apropiados para especificar las orientaciones espaciales de los cuerpos rígidos, etc.) y también sus velocidades (incluidas las correspondientes velocidades angulares de los cuerpos rígidos, etc.). Las coordenadas de posición q1, ... qn normalmente denominadas "coordenadas generalizadas", etiquetan los diferentes puntos q del espacio de configuración C (quizás dadas solo "al modo de atlas"...) Cualquier sistema de coordenadas (adecuado) servirá. No hace falta que sean "cartesianas" ni de ningún otro tipo estándar. Esta es la belleza del enfoque lagrangiano (y también del hamiltoniano). La elección de coordenadas está gobernada simplemente por la conveniencia... En correspondencia con el conjunto escogido de coordenadas generalizadas están las "velocidades generalizadas" ...

Es bueno recordar la facilidad que nos da el planteamiento lagrangiano para acomodarnos a las coordenadas generalizadas que queramos. Ya mostraré en mi serie de posts matemáticos sobre lagrangianos y hamiltonianos un ejemplo concreto. Pero lo que hay que destacar ahora es que: cambiando las coordenadas, la expresión de la lagrangiana cambia, sus valores no, Y AL APLICARLE EL PROCEDIMIENTO de las ecuaciones de Euler, SE OBTIENEN ECUACIONES DE MOVIMIENTO equivalentes, es decir, no perdemos descripción física. Aún cambiando de coordenadas, la lagrangiana sigue describiendo el mismo sistema. Esto es así (de nuevo, lo veremos más en concreto en mi serie de posts más matemáticos) porque las ecuaciones de Euler expresan una condición GEOMETRICA, que no se pierde al cambiar las coordenadas, si la nueva lagrangiana tiene los mismos valores para Q1,...., Qn y sus velocidades, que los que tenía la vieja para el correspondiente q1,...qn y sus velocidades. Es similar a tener una función que nos dé la distancia entre dos puntos en el plano, y la transformemos a otras coordenadas (variables independientes), pero conservando sus valores, es decir, que nos dé el mismo valor para la distancia entre dos puntos cualesquiera, expresados en las nuevas coordenadas. Que f(x,y) nos dé lo mismo que g(X,Y), siendo f la vieja función con viejas coordenadas, y g la nueva función con nuevas coordenadas. En el caso de la lagrangiana es algo más complicado, porque lo que importa es que se conserve su valor, pero no es el valor de la lagrangiana lo que usamos DIRECTAMENTE, sino que "la trituramos" con las ecuaciones de Euler, y voilá, obtenemos ecuaciones del movimiento, en nuevas coordenadas, pero que describen el MISMO sistema físico.

Lo de "atlas" se refiere a variedades (manifolds) que pueden cubrirse por varios atlas de coordenadas, cada uno ocupa una región de la variedad.

Nos leemos!

Angel "Java" Lopez

Por ajlopez, en: Ciencia

Publicado el 16 de Octubre, 2014, 15:34

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Enumeremos hoy algunos tipos de ecuaciones diferenciales. Tenemos primero, ecuaciones como:

Donde todas las derivadas son totales, no hay derivadas parciales. La función que se quiere despejar es una función que depende, finalmente, de una sola variable (podría depender indirectamente de varias variables, pero éstas ser finalmente funciones de la única variable independiente).

Es común escribir la función a despejar sin poner su dependencia de variables, es decir, usar "y" en lugar de "y(t)", en el ejemplo de arriba. De esta ecuación se dice que es de primer orden, porque el orden más alto de las derivadas que presenta es uno.

En cambio:

Es de segundo orden. Otras veces, la función a buscar interviene con otras variables:

Estas ecuaciones diferenciales se llaman ecuaciones ordinarias, porque no contiene derivadas parciales.

Podemos tener ecuaciones con MAS DE UNA derivada (en orden):

"casi" como si fuera un polinomio con derivadas de distinto orden en vez de variable elevada a distintas potencias. Llegará el caso de explotar esta analogía.

Hay ecuaciones diferenciales ordinarias apenas más complejas, que arrastran una larga historia, como la ecuación de Legendre:

Donde p es una constante. Y la ecuación de Bessel:

Donde de nuevo p es una constante. Vemos en estos dos últimos ejemplos la falta de un término independiente (sin y ni x ni derivadas), y la mezcla en un mismo término de derivadas y variables.

Pero también hay ecuaciones donde la función a despejar depende de más de una variable, y entonces, las derivadas que aparecen son parciales. Ejemplos clásicos:

Donde en todos los casos la función incógnita es w, y depende de x, y, z y t, que podemos considerar coordenadas espaciales y el tiempo. Las tres son muy parecidas, pero describen distintos fenómenos físicos. Se trata, respectivamente, de las ecuaciones de Laplace, del calor y de ondas, con gran historia en la física matemática. Este tipo de ecuaciones en derivadas parciales aparecen en la mecánica de fluidos continuos, en problemas relacionados con campos eléctricos, dinámica de fluidos, difusión y movimientos ondulatorios.

Veremos que la teoría de las ecuaciones diferenciales parciales es bien diferente de las ordinarias, y casi siempre más difícil. Así al que principio de esta serie, investigaremos algunos casos de ecuaciones ordinarias, para ir entrenándonos en la resolución de ecuaciones diferenciales.

Principal fuente consultada: Ecuaciones Diferenciales, de George F. Simmons, McGraw Hill.

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Angel "Java" Lopez

Publicado el 15 de Octubre, 2014, 15:52

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Angel "Java" Lopez

Publicado el 14 de Octubre, 2014, 14:05

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Angel "Java" Lopez

Por ajlopez, en: Emprender

Publicado el 13 de Octubre, 2014, 14:47

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Sigo leyendo a "An Elementary Primer for Gauge Theory" de K.Moriyasu:

One essential requisite for the study of gauge theory is at least a nodding acquaintance with some of the terminology of group theory. The heart of any gauge theory is the gauge symmetry group and the crucial role that it plays in determining the dynamics of the theory. Fortunately, much of the necessary group theory is already familiar to physics students from the treatment of angular momentum operators in quantum mechanics. The essential difference in gauge theory is that the symmetry group is not associated with any physical coordinate transformation in space-time. Gauge theory is based on an "internal" symmetry. Therefore, one cannot speak of angular momentum operators, but must replace them with the more abstract concept of group generators. This is more than a mere change of labels because the generators have mathematical properties which were previously ignored in quantum mechanics but are very useful in gauge theory. In particular, we will see that the proper understanding of gauge invariance leads naturally to a geometrical description of gauge theory that is both highly intuitive and strongly resembles the familiar geometrical picture of general relativity. By exploiting this geometrical feature of gauge theory, we can often find much simpler interpretations of complicated physical phenomena such as gauge symmetry breaking, which is one of the most important ingredients of the Weinberg-Salam theory.

Es importante destacar la gran diferencia que implica la aparición de simetrías "internas". Es algo que no siempre se pone de manifiesto en los artículos de divulgación: la aparición de "otras dimensiones" donde se juega las simetrías involucradas. Notablemente, reaparecen de otra forma la combinación de transformaciones PERO NO CONMUTATIVAS, como bien menciona al referirse a la similitud con el momento angular. La aparición de teorías gauges no conmutativas es relativamente reciente, podemos remontarnos a Yang-Mills y cía. Y sí, la imagen geométrica ayuda a captar los conceptos que aparecen. Pero no hay nada como una clara formulación matemática.

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Angel "Java" Lopez

Por ajlopez, en: Ciencia

Publicado el 12 de Octubre, 2014, 14:49

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Llega el momento del encuentro entre Heisenberg y Schrodinger:

Toward the end of the 1926 summer term, Sommerfeld invited Schrodinger to address the Munich seminar. I had been working in Copenhagen once again and had familiarized myself with Schrodinger's methods by applying them to the study of the helium atom...

Ese trabajo es un "clásico" de Heisenberg.

...I had finished the work while taking a brief holiday on Lake Mjosa in Norway, had stuffed the manuscript into my rucksack and had set out on unmade paths from Gudbrandsdal, across several mountain chains, to Sogne Fjord. After a short stay in Copenhagen, I finally went on to Munich, where I intended to spend the rest of the vacation with my parents -and so I could be present at Schrodinger's lecture, and discuss his theory with him in person. The audience included the director of the Institute for Experimental Physics in the University of Munich, Wilhelm Wien, who was extremely skeptical of Sommerfeld's "atomysticism."..

Tengo entendido que aún más escéptico era Wien de los métodos de Heisenberg.

... Schrodinger first of all explained the mathematical principles of wave mechanics by using the hydrogen atom as an illustration. All of us were delighted to see his elegant and simple solution by conventional methods of a problem that Wolfgang Pauli had been able to solve only with great difficulty using quantum mechanics...

Schrodinger en sus "papers" principales se había dedicado al tema del espectro de hidrógeno. Era un misterio que los átomos tuvieran un espectro definido. La física clásica apuntaba a que el espectro debía ser continuo o al menos arbitrario. La perplejidad de los físicos sería comparable a la de los astrónomos, si éstos encontraran que todos los exoplanetas tuvieran órbitas que caigan solamente en un conjunto de valores predeterminado de eje mayor.

... Unfortunately, Schrodinger went on to discuss his own intepretation of wave mechanics, and his arguments left me quite unconvinced. During the subsequent discussion, I therefore raised a number of objections, and, in particular, pointed out that Schrodinger's conception would not even help explain Planck's radiation law...

Heisenberg había esperado la oportunidad para discutir estos temas.

.. For this I was taken to task by Wilhelm Wien, who told me rather sharply that while he understood my regrets that quantum mechanics was finished, and with it all such nonsense as quantum jumps, etc., the difficulties I had mentioned would undoubtedly be solved by Schrodinger in the very near future.

En otro documento, creo que Heisenberg menciona a Wein (sin nombrarlo) como diciendo: "la teoría de Schrodinger nos va a librar de sus matrices". La aproximación de Schrodinger agradaba a muchos físicos, porque empleaba conceptos de la física clásica, como hamiltonianos y función de onda, y sólo en determinado punto (el cálculo de autovalores) hacía aparición la discontinuidad cuántica.

...Schrodinger himself was not quite so certain in his own reply, but he, too, remained convinced that it was only a question of time before my objections would be removed. My arguments had clearly failed to impress anyone-even Sommerfeld, who felt most kindly toward me, succumbed to the persuasive force of Schrodinger's mathematics.

De hecho, hoy mismo, el método de Schrodinger es más conocido en los textos, que la aproximación matricial de Heisenberg.

Nos leemos!

Angel "Java" Lopez

Por ajlopez, en: Ciencia

Publicado el 10 de Octubre, 2014, 14:40

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Más temas para revisar, como relaciones entre números primos, formas, tensores, lagrangianos, etc...

Mathematician Claims Proof of Connection between Prime Numbers - Yahoo! News

Bocher biography

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Hilbert Syzygy Theorem - Induction step - MathOverflow

Riemann–Stieltjes integral - Wikipedia, the free encyclopedia

Chatelet biography

The Alan Turing Legacy | Instituto de Ciencias Matemáticas

Standard Model Lagrangian

Standard Model Lagrangian; Gutierrez, Thomas D. Gutierrez, Tom Gutierrez, T. Gutierrez, T.D. Gutierrez, T. Dominic Gutierrez, Thomas Dominic Gutierrez, Tom Dominic Gutierrez, Thomas Gutierrez

Lagrangian Field Theories


Connection (mathematics) - Wikipedia, the free encyclopedia

Connection (principal bundle) - Wikipedia, the free encyclopedia

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How To Use the Covariant Derivative Part 1 - YouTube

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Vectors, covectors, duality, tensors, algebras... - Numericana

Exterior Calculus

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Nos leemos!

Angel "Java" Lopez

Publicado el 3 de Octubre, 2014, 7:30

Nuevamente, tiempo de escribir las resoluciones del nuevo mes, pero antes repaso de las de Septiembre:

- Seguir mi serie sobre Ecuaciones Diferenciales [pendiente]
- Seguir mi serie sobre la ecuación de Schrödinger [completo] ver post
- Seguir mi serie sobre Heisenberg [completover post
- Seguir mi serie sobre Matemáticas y Física Cuántica [pendiente]
- Seguir mi serie Leyendo a Darwin [completo] ver post
- Continuar mis notas sobre Teorías Gauge [completo] ver post ver post
- Estudiar ecuaciones diferenciales [completo]

De las tareas con entregables visibles, hubo algunos posts adicionales interesantes

Teoría Cuántica de Campos y Partículas (3)
Una Carta de Einstein
John von Neumann y Operadores en Cuántica
Más Richard Feynman, por Freeman Dyson
Klein, Sommerfeld y Schrödinger
El Laboratorio Cavendish, por Steven Weinberg (2)
El Laboratorio Cavendish, por Steven Weinberg (1)

y también colecciones de enlaces a revisar:

Teorías Gauge: Enlaces y Recursos (2)
Matemáticas: Enlaces, Novedades y Recursos (16)
Matemáticas: Enlaces, Novedades y Recursos (15)
Teoría de Grupos, Enlaces y Recursos (10)

Las resoluciones para el nuevo mes

- Seguir mi serie sobre Ecuaciones Diferenciales
- Seguir mi serie sobre la ecuación de Schrödinger
- Seguir mi serie sobre Heisenberg
- Seguir mi serie sobre Matemáticas y Física Cuántica
- Seguir mi serie sobre Teoría de Grupos y Partículas Elementales
- Continuar mis notas sobre Teorías Gauge
- Continuar mi serie sobre Lagrangianos y Hamiltonianos
- Continuar mis notas sobre Lagrangianos y Hamiltonianos
- Estudiar ecuaciones diferenciales
- Estudiar matemáticas de física clásica y cuántica

Nos leemos!

Angel "Java" Lopez

Publicado el 1 de Octubre, 2014, 13:58

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Tengo que estudiar el teorema de Wigner, por otro lado aclarar major el tema de las n-formas. Parece interesante la historia de los axiomas de separación en topología.

Basis vectors and covectors

Cartan Einstein Unification the Exterior Calculus.pdf

PH212 - Physical Mathematics II - Spring 2011

Skew coordinates - Wikipedia, the free encyclopedia

One-form - Wikipedia, the free encyclopedia

Wigner's classification - Wikipedia, the free encyclopedia

Wigner's theorem - Wikipedia, the free encyclopedia

Representations of the Symmetry Group of Spacetime

University of Toronto Mathematics - Geometry and Topology core course

History of the separation axioms - Wikipedia, the free encyclopedia

Separation axiom - Wikipedia, the free encyclopedia

Johann Heinrich Lambert - Wikipedia, the free encyclopedia

Hamiltonian and potentials in derivative pricing models

Understanding the Bias-Variance Tradeoff

La matem´atica y sus elementos: de Euclides a Bourbaki

Henri Poincaré: A Scientific Biography — The Endeavour

Generalizations of open books « Low Dimensional Topology

[1006.2814] A counterexample to the Hirsch conjecture

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Angel "Java" Lopez