Publicado el 30 de Octubre, 2014, 12:12
En el anterior post, vimos la recepción favorable de la conferencia de Schrödinger. Por un lado, exponía su método, con un buen caso de aplicación, el átomo de hidrógeno, quedando explicado de una forma más elegante que con la mecánica cuántica matricial. Por otro lado, expuso su interpretación, a la que se opuso firmemente Heisenberg, sin conseguir mayor apoyo.
Conocía del viaje de Schrödinger. No sabía que Heisenberg también estuvo en esos momentos
Estos son los recuerdos de Heisenberg:
El tema en discusión son los saltos cuánticos. Schrödinger no los admitía. Es interesante esta transcripción de Heisenberg, porque va a más detalle que otros resúmenes de divulgación.
Y acá algo que también conocía, pero parece que es Heisenberg la principal fuente que tenemos: Schrödinger cae enfermo, y Bohr sigue atosigándolo:
Nos leemos1 Angel "Java" Lopez |
Publicado el 28 de Octubre, 2014, 17:17
Publicado el 27 de Octubre, 2014, 16:50
Publicado el 26 de Octubre, 2014, 17:19
Sea ahora que tengamos un estado físico E1, representado por la función de onda: Y que tenemos un estado físico E2, representado por otra función de onda: Entonces, resulta algo notable: la combinación lineal de ambas funciones de ondas, usando coeficientes complejos, ES TAMBIEN UNA FUNCION DE ONDA que representa UN ESTADO FISICO: Esto no tendría por qué haber sido así: pero se descubrió experimentalmente. Los estados físicos se pueden combinar, y su combinación expresa matemáticamente con la combinación lineal de sus funciones de onda. En general, las funciones de onda se usan normalizadas. Así, las funciones de onda de las que partimos, deberían estar normalizadas. Pero dependiendo de los coeficientes ci, la nueva función de onda puede que esté o no normalizada. Recordemos del anterior post, la probabilidad de encontrar al sistema en cuestión (un electrón, un átomo de helio, etc.) en un estado representado por la función de onda en el volumen Q de coordenadas era: Se dice que la función de onda está normalizada, si esa probabilidad, extendida a todo el espacio de coordenadas, da probabilidad 1: Calculemos esta última integral para nuestra nueva función de ondas: No sabemos cuánto valen las integrales de estos términos, pero si toda esta evaluación diera, digamos 2 (dos) como valor resultante, entonces bastará multiplicar cada coeficiente ci por la raíz cuadrada de dos y obtendríamos la nueva función de onda, pero normalizada. Es la superposición de estados la que permite que dos funciones de onda "interfieran" entre sí. Y notablemente, esta interferencia no se realiza como suma punto a punto de probabilidades, NUMEROS REALES, sino que recordemos que cada punto DA UNA AMPLITUD, un número COMPLEJO. Así, en un punto q la primer función de onda da un número complejo, y la segunda función de onda da OTRO número complejo. Dependiendo de su fase, podrán "interferir" constructiva o destructivamente. Ver también http://en.wikipedia.org/wiki/Quantum_superposition Nos leemos! Angel "Java" Lopez |
Publicado el 25 de Octubre, 2014, 18:06
Intentemos otra función de onda. En nuestro anterior intento, fracasamos porque resultó una igualdad con senos y cosenos mezclados, difícil de satisfacer para todos los valores. Eso sucedió porque la función de onda propuesta de la que partimos, sólo tenía seno. Al utilizar sus derivadas parciales, aparecieron más senos y cosenos pero no en una forma manejable. Sea ahora: Estamos usando k como número de onda, y la frecuencia angular omega. Ponemos un coeficiente gamma en el término del seno, para tener más libertad de elección en lo que viene. Podríamos haber puesto un coeficiente en el término del coseno, también, teniendo entonces dos coeficientes. Pero por la linealidad que estamos persiguiendo, es lo mismo. Como antes para la anterior función de onda, calculemos sus derivadas parciales, en x y en t: Recordemos que ya habíamos partido de: Habiéndola transformado, aplicando las relaciones de de Broglie y de Einstein, y cambiando longitud de onda por número de onda, y frecuencia por frecuencia angular, quedando: Entonces, hay un término con omega: por las derivadas de arriba, debería corresponder con la primera derivada temporal. Hay un término con k al cuadrado: ahí entonces debería estar la derivada segunda de x. Como ya vimos, esto nos da: Expandamos la nueva función de onda y sus derivadas Esto nos da varios cosenos y senos. Para que la ecuación se cumpla, basta que se cumpla para los factores que tienen seno, por un lado, y para los factores que tienen coseno. Es decir, si reagrupamos por coseno y seno como factores: Todo se va a cumplir si los coeficientes de seno y coseno SE ANULAN. Queda Sigue Con lo que gamma cumple: Y queda que es la raíz de menos uno (con una indeterminación de signo que no importa ahora): Sustituyendo esto en una de las ecuaciones de arriba: Comparando con queda Al fin tenemos todo para escribir "nuestra" ecuación de onda: Bastante por hoy. En el próximo post destacaremos que esto NO es una deducción matemática, sino que es un argumento de plausibilidad. La ecuación de arriba NO SE DEDUCE (ni en los tiempos de Schrodinger ni ahora): hay que postularla. Nos leemos! Angel "Java" Lopez |
Publicado el 24 de Octubre, 2014, 15:57
Publicado el 22 de Octubre, 2014, 15:51
The Invisible Bicycle Helmet | Fredrik Gertten PulsoConf September 28-30, Bogota Why Working More Than 40 Hours a Week is Useless Games Distribution Incubator HitFox Hatches Two New Startups: AppLift And App Discovery Seattle Startup: PlayMySurvey Makes Napalm Smell Better In The Morning INTERVIEW Una buena idea (verde) Cómo traer cosas del exterior sin viajar y sin apelar al correo Kansas Startup: Lead Horse Technology Launches MedLoom Patient Safety Tool Interview The Fabs Shoes - Como funciona Richard Branson's 5 Rules for Good Business The Node Firm ¿Qué clase de pez es tu empresa? ARMA EQUIPO para TRABAJAR MEJOR Dell Launching $60M Fund To Invest In Storage Startups Groupon, Inc. (GRPN) -NasdaqGS Vinod Khosla: Maintain the Silicon Valley Vision What Exactly Is GitHub Anyway? How To Create A Minimum Viable Product Tales from the Trenches: GitHub GitHub finally raises funding: $100M from Andreessen Horowitz Don"t waste your time in crappy startup jobs. WikiSpeed The Car Why Startups Condense in America Mis Enlaces Nos leemos! Angel "Java" Lopez |
Publicado el 19 de Octubre, 2014, 18:06
Hace tiempo que no comento a Monod, ver: La Biología y las ciencias, por Monod La semana pasada, me encontré leyendo esto que quiero compartir, el comienzo de su capítulo 6 "Invariancia y Perturbaciones", de su clásico "Azar y Necesidad":
Alude a Platón (sin nombrar a Parménides) y a Heráclito. Y ahora hace un comentario importante, sobre el origen, el sustento humano de ambas posiciones:
Dice, no son posturas neutras.
Cita en una nota, a otro clásico, de Popper, The Open Society and its Enemies, donde está más en detalle expresada esta postura, sobre el origen moral de estas concepciones. Pero en tiempos modernos, dice:
Es interesante que nombre "la evolución del universo" como parte de los asuntos de la ciencia, que a veces se la ve como estudiando sólo lo que no cambia. Ver mi serie sobre Stephen Jay Gould, Ciencia e Historia.
Me temo que hay pocos invariantes, veo que todos provienen de las ciencias físicas. Lo demás es cambio y evolución.
Yo pondría a las matemáticas en una zona distinta, de ciencias formales. Pero claro, en matemáticas es fundamental el concepto de invariante.
No lo menciona, pero aparte de las ecuaciones diferenciales, surgió el concepto de cantidades de movimiento invariantes. Es importante lo que escribe: nos da una base para ver la importancia de lo invariante y el cambio en la ciencia. Nos leemos! Angel "Java" Lopez |
Publicado el 18 de Octubre, 2014, 17:05
Esta vez, vuelvo a leer "el Penrose" que ya había citado. Siguiendo el capítulo 20, leo:
Es bueno recordar la facilidad que nos da el planteamiento lagrangiano para acomodarnos a las coordenadas generalizadas que queramos. Ya mostraré en mi serie de posts matemáticos sobre lagrangianos y hamiltonianos un ejemplo concreto. Pero lo que hay que destacar ahora es que: cambiando las coordenadas, la expresión de la lagrangiana cambia, sus valores no, Y AL APLICARLE EL PROCEDIMIENTO de las ecuaciones de Euler, SE OBTIENEN ECUACIONES DE MOVIMIENTO equivalentes, es decir, no perdemos descripción física. Aún cambiando de coordenadas, la lagrangiana sigue describiendo el mismo sistema. Esto es así (de nuevo, lo veremos más en concreto en mi serie de posts más matemáticos) porque las ecuaciones de Euler expresan una condición GEOMETRICA, que no se pierde al cambiar las coordenadas, si la nueva lagrangiana tiene los mismos valores para Q1,...., Qn y sus velocidades, que los que tenía la vieja para el correspondiente q1,...qn y sus velocidades. Es similar a tener una función que nos dé la distancia entre dos puntos en el plano, y la transformemos a otras coordenadas (variables independientes), pero conservando sus valores, es decir, que nos dé el mismo valor para la distancia entre dos puntos cualesquiera, expresados en las nuevas coordenadas. Que f(x,y) nos dé lo mismo que g(X,Y), siendo f la vieja función con viejas coordenadas, y g la nueva función con nuevas coordenadas. En el caso de la lagrangiana es algo más complicado, porque lo que importa es que se conserve su valor, pero no es el valor de la lagrangiana lo que usamos DIRECTAMENTE, sino que "la trituramos" con las ecuaciones de Euler, y voilá, obtenemos ecuaciones del movimiento, en nuevas coordenadas, pero que describen el MISMO sistema físico. Lo de "atlas" se refiere a variedades (manifolds) que pueden cubrirse por varios atlas de coordenadas, cada uno ocupa una región de la variedad. Nos leemos! Angel "Java" Lopez |
Publicado el 16 de Octubre, 2014, 15:34
Enumeremos hoy algunos tipos de ecuaciones diferenciales. Tenemos primero, ecuaciones como: Donde todas las derivadas son totales, no hay derivadas parciales. La función que se quiere despejar es una función que depende, finalmente, de una sola variable (podría depender indirectamente de varias variables, pero éstas ser finalmente funciones de la única variable independiente). Es común escribir la función a despejar sin poner su dependencia de variables, es decir, usar "y" en lugar de "y(t)", en el ejemplo de arriba. De esta ecuación se dice que es de primer orden, porque el orden más alto de las derivadas que presenta es uno. En cambio: Es de segundo orden. Otras veces, la función a buscar interviene con otras variables: Estas ecuaciones diferenciales se llaman ecuaciones ordinarias, porque no contiene derivadas parciales. Podemos tener ecuaciones con MAS DE UNA derivada (en orden): "casi" como si fuera un polinomio con derivadas de distinto orden en vez de variable elevada a distintas potencias. Llegará el caso de explotar esta analogía. Hay ecuaciones diferenciales ordinarias apenas más complejas, que arrastran una larga historia, como la ecuación de Legendre: Donde p es una constante. Y la ecuación de Bessel: Donde de nuevo p es una constante. Vemos en estos dos últimos ejemplos la falta de un término independiente (sin y ni x ni derivadas), y la mezcla en un mismo término de derivadas y variables. Pero también hay ecuaciones donde la función a despejar depende de más de una variable, y entonces, las derivadas que aparecen son parciales. Ejemplos clásicos: Donde en todos los casos la función incógnita es w, y depende de x, y, z y t, que podemos considerar coordenadas espaciales y el tiempo. Las tres son muy parecidas, pero describen distintos fenómenos físicos. Se trata, respectivamente, de las ecuaciones de Laplace, del calor y de ondas, con gran historia en la física matemática. Este tipo de ecuaciones en derivadas parciales aparecen en la mecánica de fluidos continuos, en problemas relacionados con campos eléctricos, dinámica de fluidos, difusión y movimientos ondulatorios. Veremos que la teoría de las ecuaciones diferenciales parciales es bien diferente de las ordinarias, y casi siempre más difícil. Así al que principio de esta serie, investigaremos algunos casos de ecuaciones ordinarias, para ir entrenándonos en la resolución de ecuaciones diferenciales. Principal fuente consultada: Ecuaciones Diferenciales, de George F. Simmons, McGraw Hill. Nos leemos! Angel "Java" Lopez |
Publicado el 15 de Octubre, 2014, 15:52
Publicado el 14 de Octubre, 2014, 14:05
Publicado el 13 de Octubre, 2014, 14:47
Sigo leyendo a "An Elementary Primer for Gauge Theory" de K.Moriyasu:
Es importante destacar la gran diferencia que implica la aparición de simetrías "internas". Es algo que no siempre se pone de manifiesto en los artículos de divulgación: la aparición de "otras dimensiones" donde se juega las simetrías involucradas. Notablemente, reaparecen de otra forma la combinación de transformaciones PERO NO CONMUTATIVAS, como bien menciona al referirse a la similitud con el momento angular. La aparición de teorías gauges no conmutativas es relativamente reciente, podemos remontarnos a Yang-Mills y cía. Y sí, la imagen geométrica ayuda a captar los conceptos que aparecen. Pero no hay nada como una clara formulación matemática. Nos leemos! Angel "Java" Lopez |
Publicado el 12 de Octubre, 2014, 14:49
Llega el momento del encuentro entre Heisenberg y Schrodinger:
Ese trabajo es un "clásico" de Heisenberg.
Tengo entendido que aún más escéptico era Wien de los métodos de Heisenberg.
Schrodinger en sus "papers" principales se había dedicado al tema del espectro de hidrógeno. Era un misterio que los átomos tuvieran un espectro definido. La física clásica apuntaba a que el espectro debía ser continuo o al menos arbitrario. La perplejidad de los físicos sería comparable a la de los astrónomos, si éstos encontraran que todos los exoplanetas tuvieran órbitas que caigan solamente en un conjunto de valores predeterminado de eje mayor.
Heisenberg había esperado la oportunidad para discutir estos temas.
En otro documento, creo que Heisenberg menciona a Wein (sin nombrarlo) como diciendo: "la teoría de Schrodinger nos va a librar de sus matrices". La aproximación de Schrodinger agradaba a muchos físicos, porque empleaba conceptos de la física clásica, como hamiltonianos y función de onda, y sólo en determinado punto (el cálculo de autovalores) hacía aparición la discontinuidad cuántica.
De hecho, hoy mismo, el método de Schrodinger es más conocido en los textos, que la aproximación matricial de Heisenberg. Nos leemos! Angel "Java" Lopez |
Publicado el 10 de Octubre, 2014, 14:40
Publicado el 3 de Octubre, 2014, 7:30
Nuevamente, tiempo de escribir las resoluciones del nuevo mes, pero antes repaso de las de Septiembre: - Seguir mi serie sobre Ecuaciones Diferenciales [pendiente] De las tareas con entregables visibles, hubo algunos posts adicionales interesantes Teoría Cuántica de Campos y Partículas (3) y también colecciones de enlaces a revisar: Teorías Gauge: Enlaces y Recursos (2) Las resoluciones para el nuevo mes - Seguir mi serie sobre Ecuaciones Diferenciales Nos leemos! Angel "Java" Lopez |
Publicado el 1 de Octubre, 2014, 13:58
Tengo que estudiar el teorema de Wigner, por otro lado aclarar major el tema de las n-formas. Parece interesante la historia de los axiomas de separación en topología. Basis vectors and covectors Cartan Einstein Unification cartan-einstein-unification.com/pdf/On the Exterior Calculus.pdf PH212 - Physical Mathematics II - Spring 2011 Skew coordinates - Wikipedia, the free encyclopedia One-form - Wikipedia, the free encyclopedia Wigner's classification - Wikipedia, the free encyclopedia Wigner's theorem - Wikipedia, the free encyclopedia Representations of the Symmetry Group of Spacetime University of Toronto Mathematics - Geometry and Topology core course History of the separation axioms - Wikipedia, the free encyclopedia Separation axiom - Wikipedia, the free encyclopedia Johann Heinrich Lambert - Wikipedia, the free encyclopedia Hamiltonian and potentials in derivative pricing models seagull.ukzn.ac.za/~richm/courses/mech-hons/notes.pdf Understanding the Bias-Variance Tradeoff La matem´atica y sus elementos: de Euclides a Bourbaki Henri Poincaré: A Scientific Biography — The Endeavour Generalizations of open books « Low Dimensional Topology [1006.2814] A counterexample to the Hirsch conjecture Mis Enlaces Nos leemos! Angel "Java" Lopez |