Angel "Java" Lopez en Blog

Publicado el 16 de Octubre, 2014, 15:34

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Enumeremos hoy algunos tipos de ecuaciones diferenciales. Tenemos primero, ecuaciones como:

Donde todas las derivadas son totales, no hay derivadas parciales. La función que se quiere despejar es una función que depende, finalmente, de una sola variable (podría depender indirectamente de varias variables, pero éstas ser finalmente funciones de la única variable independiente).

Es común escribir la función a despejar sin poner su dependencia de variables, es decir, usar "y" en lugar de "y(t)", en el ejemplo de arriba. De esta ecuación se dice que es de primer orden, porque el orden más alto de las derivadas que presenta es uno.

En cambio:

Es de segundo orden. Otras veces, la función a buscar interviene con otras variables:

Estas ecuaciones diferenciales se llaman ecuaciones ordinarias, porque no contiene derivadas parciales.

Podemos tener ecuaciones con MAS DE UNA derivada (en orden):

"casi" como si fuera un polinomio con derivadas de distinto orden en vez de variable elevada a distintas potencias. Llegará el caso de explotar esta analogía.

Hay ecuaciones diferenciales ordinarias apenas más complejas, que arrastran una larga historia, como la ecuación de Legendre:

Donde p es una constante. Y la ecuación de Bessel:

Donde de nuevo p es una constante. Vemos en estos dos últimos ejemplos la falta de un término independiente (sin y ni x ni derivadas), y la mezcla en un mismo término de derivadas y variables.

Pero también hay ecuaciones donde la función a despejar depende de más de una variable, y entonces, las derivadas que aparecen son parciales. Ejemplos clásicos:



Donde en todos los casos la función incógnita es w, y depende de x, y, z y t, que podemos considerar coordenadas espaciales y el tiempo. Las tres son muy parecidas, pero describen distintos fenómenos físicos. Se trata, respectivamente, de las ecuaciones de Laplace, del calor y de ondas, con gran historia en la física matemática. Este tipo de ecuaciones en derivadas parciales aparecen en la mecánica de fluidos continuos, en problemas relacionados con campos eléctricos, dinámica de fluidos, difusión y movimientos ondulatorios.

Veremos que la teoría de las ecuaciones diferenciales parciales es bien diferente de las ordinarias, y casi siempre más difícil. Así al que principio de esta serie, investigaremos algunos casos de ecuaciones ordinarias, para ir entrenándonos en la resolución de ecuaciones diferenciales.

Principal fuente consultada: Ecuaciones Diferenciales, de George F. Simmons, McGraw Hill.

Nos leemos!

Angel "Java" Lopez
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