Angel "Java" Lopez en Blog

Publicado el 25 de Octubre, 2014, 18:06

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Intentemos otra función de onda. En nuestro anterior intento, fracasamos porque resultó una igualdad con senos y cosenos mezclados, difícil de satisfacer para todos los valores. Eso sucedió porque la función de onda propuesta de la que partimos, sólo tenía seno. Al utilizar sus derivadas parciales, aparecieron más senos y cosenos pero no en una forma manejable.

Sea ahora:

Estamos usando k como número de onda, y la frecuencia angular omega. Ponemos un coeficiente gamma en el término del seno, para tener más libertad de elección en lo que viene. Podríamos haber puesto un coeficiente en el término del coseno, también, teniendo entonces dos coeficientes. Pero por la linealidad que estamos persiguiendo, es lo mismo.

Como antes para la anterior función de onda, calculemos sus derivadas parciales, en x y en t:



Recordemos que ya habíamos partido de:

Habiéndola transformado, aplicando las relaciones de de Broglie y de Einstein, y cambiando longitud de onda por número de onda, y frecuencia por frecuencia angular, quedando:

Entonces, hay un término con omega: por las derivadas de arriba, debería corresponder con la primera derivada temporal. Hay un término con k al cuadrado: ahí entonces debería estar la derivada segunda de x. Como ya vimos, esto nos da:

Expandamos la nueva función de onda y sus derivadas



Esto nos da varios cosenos y senos. Para que la ecuación se cumpla, basta que se cumpla para los factores que tienen seno, por un lado, y para los factores que tienen coseno. Es decir, si reagrupamos por coseno y seno como factores:


Todo se va a cumplir si los coeficientes de seno y coseno SE ANULAN. Queda


Sigue

Con lo que gamma cumple:

Y queda que es la raíz de menos uno (con una indeterminación de signo que no importa ahora):

Sustituyendo esto en una de las ecuaciones de arriba:

Comparando con

queda


Al fin tenemos todo para escribir "nuestra" ecuación de onda:

Bastante por hoy. En el próximo post destacaremos que esto NO es una deducción matemática, sino que es un argumento de plausibilidad. La ecuación de arriba NO SE DEDUCE (ni en los tiempos de Schrodinger ni ahora): hay que postularla.

Nos leemos!

Angel "Java" Lopez
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Por ajlopez, en: Ciencia