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Noviembre del 2014
Publicado el
26 de Noviembre, 2014, 7:21
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Sigo leyendo "el Penrose", sección 20.1, cuarta página. Sobre el lagrangiano L:
La interpretación física normal del valor real de la función L sería la diferencia L = K - V entre la energía cinética K del sistema y la energía potencial debida a las fuerzas externas, expresadas en dichas coordenadas .. Las ecuaciones de movimiento del sistema -que codifican todo su comportamiento newtoniano- vienen dadas por lo que se denominan las ecuaciones de Euler-Lagrange, que son sorprendentes por su extraordinario alcance y esencial simplicidad:
Recordemos que cada [derivada temporal de xi] debe tratarse como una variable inadependiente, de modo que la expresión [derivar parcialmente L por la derivada temporal de xr] tiene sentido!
Sí, ese un punto notable: todo funciona si tomamos a esas derivadas temporales como variables independientes. Todos los detalles matemáticos, su relación con el cálculo de variaciones, y también la obtención de estas ecuaciones siguiendo otro camino, a partir de ideas de D'Alembert, quedará en mi serie de posts Lagrangianos y Hamiltonianos.
Estas ecuaciones expresan un hecho notable, a veces conocido como principio de Hamilton o principio de acción estacionaria. Su significado se hace quizá más claro si pensamos en términos del movimiento del punto Q, en C, donde recordamos que C representa el espacio de configuraciones espaciales posibles de todo el sistema (i.e., todas las posiciones de todas sus partes). El punto Q, cuya posición en cualquier instante está etiquetada por las xi, se mueve a lo largo de cierta curva en C a una cierta velocidad que, junto con la dirección tangente a la curva, está determinada por los valores de las [derivadas temporas xr, tomadas como variables independientes]. Las ecuaciones de Euler-Lagrange nos dicen básicamente que el movimiento de Q en C es tal que minimiza la acción, siendo esta "acción", la integral de L a lo largo de la curva, tomada entre dos puntos extremos fijos, a, b, en el espacio de configuración C...
Tengo entendido que Lagrange llegó a esas ecuaciones partiendo de otras ideas, de D'Alembert. Euler al parecer las conocía como Hamilton, como propiedades obtenidas del cálculo de variaciones de esa integral de L. Pero no he encontrado confirmación. Por ejemplo, no sé entonces por qué se llama principio de Hamilton y no de Euler. El que se trate de encontrar un extremal de una integral de camino es lo que le da el sabor geométrico especial a todo este formulismo, permitiendo el cambio de coordenadas, llegando a ecuaciones de movimiento equivalentes.
Nos leemos!
Angel "Java" Lopez
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21 de Noviembre, 2014, 13:41
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Ya Stephen Jay Gould ha dejado planteado lo que ve de trato diferencial entre ciencias "duras" y ciencias "históricas" (que tienen que explicar no solo el presente sino también el pasado, como la geología).
Quizá el aspecto más triste de esta clasificación lineal radica en la aceptación de la inferioridad por parte de los que habitan en los niveles más bajos, y en su esfuerzo persistente por remedar métodos inapropiados que pueden funcionar en un nivel superior de la escala. En un momento en el que el propio orden debiera desafiarse vigorosamente y la pluralidad con igualdad defendida con orgullo, demasiados científicos históricos actúan como el preso de confianza quien, siempre consciente de sus tenues ventajas, sobrepasa al mismo guardián en su celo para conservar el statu quo de poder y subordinación.
Ahora pone un ejemplo:
Así, los científicos históricos suelen importar una caricatura muy simplificada de la ciencia "dura", o simplemente se someten a las declaraciones de profesiones de posición superior. Muchos geólogos aceptaron las últimas fechas (y las más restrictivas) de lord Kelvin para una Tierra joven, aunque los datos procedentes de fósiles y estratos hablaban claramente a favor de más tiempo. (La fecha de Kelvin tenía el prestigio de las fórmulas matemáticas y el peso de la física, aunque el descubrimiento de la radiactividad pronto invalidó la premisa de Kelvin de que el calor que ahora surge del interior de la Tierra registra el enfriamento de nuestro planeta a partir de un estado inicial fundido no muy antiguo.)
No estoy tan seguro que se haya aceptado la propuesta de lord Kelvin por "el prestigio de las fórmulas matemáticas". Seguramente habrá influido, pero también habrá habido resistencia o adopción de sus ideas por otras razones. En todo caso, Kelvin las exponía basado en lo que se sabía entonces del calor del Sol y de la Tierra y su presunto origen. Pero aún lord Kelvin dejó abierta la posibilidad de que en el futuro se descubrieran nuevas explicaciones. Ver Lord Kelvin y Rutherford, y cómo Kelvin termina aceptando de buen grado que puede haber otros modelos. Eso es parte del avance de la ciencia.
Y justamente eso es lo que veo: tanto en ciencias "duras" como en "históricas", lo que cuenta es plantear modelos explicativos de los hechos, pasados o presentes.
En próximos posts, veremos algunos ejemplos más sobre la "aceptación" de lo "duro" sobre lo "histórico", según Gould.
Nos leemos!
Angel "Java" Lopez
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20 de Noviembre, 2014, 16:25
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En estos días, he tenido un "impasse" en mi labor diaria, así que he tenido tiempo (apenas un poco) para leer más en detalle algunos temas. Uno de esos temas que siempre estaba cerca para ser considerado, volvió a aparecer en mis lecturas, y desde más de una fuente.
El desarrollo de la primera mecánica cuántica culmina en 1925/26, en el siglo pasado, con la aparición de las formulaciones de Heisenberg y Schrödinger. Dos "approaches" que, a primera vista, eran totalmente distintos. El tema función de onda, y ecuación de Schrödinger los estoy tratando en la seria La Ecuación de Schrödinger, y al comienzo de la serie Matemáticas y Física Cuántica (esta última basado en varias fuentes, pero principalmente por ahora en Landau/Lifshitz). Un tratamiento parecido, pero más físico y conceptual, siguiendo en lo que puedo a Feynman, a partir de un ejemplo inicial de Steven Weinberg, se encuentra en la serie Física Cuántica. Si alguien le interesa el desarrollo histórico de las ideas de Schrodinger, leer Fundamentos de Mecánica Cuánica de Borowitz. Varias de estas fuentes están mencionadas en Estudiando Física Cuántica.
Pero sobre el camino de Heisenberg, apenas si he escrito algo en concreto, mas bien lo que he escrito se ha orientado a dilucidar el ambiente y la historia de ese desarrollo. Ver la serie Heisenberg desarrollando la mecánica cuántica, y posts como Dirac revisando el trabajo de Heisenberg y Dirac y la teoría de Heisenberg.
Ha llegado el momento de iniciar esta serie, donde trataremos de entender cuál fue el aporte de Heisenberg, sus preludios, sus motivaciones y algo de su evolución. No es un tema muy popular: hoy en los libros de textos y de divulgación se prefiere exponer Schrödinger, o sino, la formulación de Dirac. Pero el que exploremos y tratemos de entender el trabajo original de Heisenberg nos va a dar un mayor conocimiento de la historia del desarrollo físico en el primer cuarto de siglo pasado.
Mi primer contacto con esa historia y desarrollo, lo tuve el siglo pasado cuando adquiría el excelente libro Source of Quantum Mechanics, editado por van der Waerden (ya mencionado en Estudiando Física Cuántica), con sus comentarios, y la republicación de los "papers" fundamentales de este camino, incluyendo el "famoso" de Heisenberg de 1925. Pero aún con la ayuda de esos comentarios, el entender la serie de "papers", no arroja siempre luz sobre EL "paper" de Heisenberg, por lo menos para un aficionado. Por un lado, varios de esos "papers" tienen notaciones distintas de las actuales, y hacen referencias a resultados clásicos (especialmente en electromagnetismo) no siempre claros para estos años actuales.
Para que vean que no es fácil entender EL "paper" de Heisenberg, cito a Steven Weinberg (fuente On Matrix Mechanics):
I have tried several times to read the paper that Heisenberg wrote on returning from Helgoland, and, although I think I understand quantum mechanics, I have never understood Heisenberg"s motivations for the mathematical steps in his paper.
Es que en ese "paper", Heisenberg hace magia, y hace saltos en la deducción, basada en analogías que sólo se le pudieron ocurrir a él.
Como comentaba al comienzo, varias circunstancias hicieron que apareciera este tema como prominente en esos días. No quisiera olvidar de mencionar hoy al excelente libro sobre Heisenberg, que publicó el diario La Nación, acá en Argentina, firmado por Jesús Navarro Faus. Y por otra coincidencia, me reencontré con un librito delicioso, de Fondo de Cultura Económica, Los creadores de la nueva física, de Barbara Lovett Cline. No creo que hoy pueda nombrar todas las fuentes que estuve consultando, pero no quería olvidarme de éstas al principio.
Pero el que realmente me ayudó a empezar, sólo a empezar, a ver la luz, fue el (muchas veces citado en otras fuentes, como el artículo "clásico" de revisión de las ideas de Heisenberg):
Understanding Heisenberg"s "magical" paper of July 1925: a new look at the calculational details (pdf) ver también http://arxiv.org/abs/quant-ph/0404009
Y luego, un muy buen desarrollo, en todo un libro, de mecánica cuántica matricial, en el libro Heisenberg's Quantum Mechanics, de Mohsen Razavy. Ver http://www.amazon.com/Heisenbergs-Quantum-Mechanics-Mohsen-Razavy/dp/9814304115
Tengo otras fuentes para mencionar, y otras todavía para investigar. Seguiré en el próximo post mencionándolas, o ya entrando en el tema del desarrollo de Heisenberg. Un libro que descubrí hace poco, y tengo que leer en detalle, es el Matrix Mechanics, de Herberg Green, con un comentario inicial de Max Born. Ver http://www.amazon.com/Matrix-Mechanics-Herbert-S-Green/dp/B0006BMIP8. Ahí encuentro que una de las fórmulas conocidas de la formulación de Heisenberg, que implica un conmutador, sale así porque para H el operador era dependiente del tiempo. Si hubiera tenido vectores de estado, con operador independiente del tiempo, los mismos pasos, HUBIERAN LLEVADO A LA ECUACION DE SCHRODINGER!
Nos leemos!
Angel "Java" Lopez
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Publicado el
19 de Noviembre, 2014, 13:44
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Publicado el
17 de Noviembre, 2014, 13:57
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Publicado el
16 de Noviembre, 2014, 15:24
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Sigo leyendo a Monod:
Se puede ciertamente preguntar si todas las invariancias, conservaciones y simetrías que constituyen la trama del discurso científico no son ficciones que substituyen a la realidad para dar una imagen operacional, vacía por una parte de substancia, pero que se vuelve accesible a una lógico fundada sobre un principio de identidad puramente abstracto, quizá "convencional". Convención de la que, sin embargo, la razón humana parece incapaz de abstenerse.
Entiendo que Monod acá pregunta si "identidad" no será un concepto muy humano, que no tiene un correlato claro en la realidad. Ahora apela a la cuántica, pero no veo que sea afortunado el ejemplo:
Menciono aquí este problema clásico para hacer notar que su estatuto ha sido profundamente modificado por la revolución cuántica. El principio de identidad no figura como postulado físico en la ciencia clásica. No es empleado más que como operación lógica, sin que sea necesario suponer que corresponde a una realidad substancial. La diferencia es absoluta por lo que respecta a la física moderna, de la que uno de los postulados fundamentales es la identidad absoluta de dos átomos que se encuentren en el mismo estado cuántico...
Nunca vi que alguien mencionar "dos átomos" en el mismo estado. Acá Monod se debe estar refiriendo a los bosones, como los fotones, como diferentes de los fermiones, como los electrones. Estos últimos no pueden estar DOS EN EL MISMO ESTADO, cosa que sí pueden los bosones. Pero aún en estos casos, la energía se conserva: dos fotones NO SON un fotón.
... De ello proviene, igualmente, el valor de representación absoluta, no perfectible, otorgado a las simetrías atómicas y moleculares en teoría cuántica. Parece, pues, que hoy no se pueda restringir el principio de identidad al estatuo de simple regla para la conducta del espíritu: es preciso admitir que al menos a escala cuántica expresa una realidad substancial.
Sea cual sea, existe y existirá en la ciencia un elemento platónico que no podría extirpar sin arruinarla. En la diversidad infinita de los fenómenos singulares, la ciencia no puede buscar más que las invariantes.
Yo lo veo de otra forma: la ciencia pueda buscar otras cosas. Pero en las ciencias naturales básicas, se ha visto que el concepto de invariante ha sido fructífero, y hay algo ahí en la realidad que corresponde y responde a nuestras esperanzas invariantes.
Nos leemos!
Angel "Java" Lopez
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Publicado el
15 de Noviembre, 2014, 16:41
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Hemos al fin llegado a la ecuación:
Destaquemos algunos puntos.
Primero, llegamos a la ecuación de arriba SUPONIENDO que V(x, t) (la energía potencial, como función de las coordenadas y el tiempo) ERA CONSTANTE. Partimos de una partícula libre, que se traslada en un potencial constante, invariable aún en el tiempo.
Luego, POSTULAMOS que esa ecuación es la correcta, aún para V(x, t). Este último punto, no podemos deducirlo, ni nosotros, ni Schrödinger, ni nadie. Recordemos el post Las ecuaciones de Schrödinger, por Richard Feynman. Escribía Feynman:
Cuando Schrödinger la escribió [la ecuación] por primera vez, dio una especia de deducción basada en algunos argumentos heurísticos y en algunas conjeturas intuitivas brillantes. Algunos de los argumentos que usó hasta eran falsos, pero no importa; lo único importante es que la ecuación fundamental da una descripción correcta de la naturaleza.
Vamos a tener que familiarizarnos con la ecuación y sus variantes, y aplicarla a resolver algunos problemas. Pero antes, otro punto: vemos la aparición de números complejos. Si repasamos nuestra "deducción", la aparición de i (la raíz cuadrada de menos uno) se debe a que mezclamos la derivada temporal PRIMERA con la SEGUNDA de las coordenadas. Hay una asimetría en el tratamiento del tiempo y de la posición en esta ecuación. Desde ya, podemos intuir que no será adecuada para tratamientos relativistas, donde tiempo y posición son tratados en pie de igualdad.
De hecho, Schrödinger intentó primero obtener una solución relativista, pero cuando fracasó pudo relajarse y encontrar su ecuación famosa. Todo este planteamiento es no relativista porque uno de los supuestos de los que partimos fue de la ecuación no relativista de la energía:
Tiempo después del desarrollo de Schrödinger, Dirac consiguió una ecuación relativista basada en la expresión relativista de la energía total:
La presencia de una raíz cuadrada complica la solución, que no era evidente. Pero cuando Dirac la resolvió, apareció que la ecuación describía tanto al electrón como a otra partícula, de carga positiva. La presencia de la raíz cuadrada como que imponía la existencia de dos soluciones. Con el tiempo se vió que la partícula adicional era el positrón. La relatividad hizo posible la explicación de la antimateria, y de la creación y destrucción de pares. Pero es otra historia, que espero podamos visitar en otra serie de posts.
No era la primera vez que los números complejos aparecían en física, pero no era común su empleo. La ecuación de onda tiene entonces soluciones que pueden dar números complejos. Pero no hay experimento que mida un número complejo. Entonces ¿a qué se refiere esa función de onda? Ni siquiera Schrödinger acertó en su primera interpretación. Ya veremos a qué estan ligados esos valores complejos, como se los asocia a valores reales físicos.
Ver también:
Schrödinger equation
On the origins of the Schrödinger equation
The Schrödinger Equation in One Dimension
About the complex nature of the wave function?
Why complex numbers are fundamental in physics
Nos leemos!
Angel "Java" Lopez
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Publicado el
14 de Noviembre, 2014, 14:39
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Publicado el
13 de Noviembre, 2014, 12:10
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Estaba investigando sobre modelos económicos, y me encuentro con esto sobre la historia de la programación lineal:
Linear programming (LP) emerged in the United States in the early postwar years. One may to a considerable degree see the development of LP as a direct result of the mobilization of research efforts during the war. George B. Dantzig, who was employed by the US Armed Forces, played a key role in developing the new tool by his discovery in 1947 of the Simplex method for solving LP problems. Linear programming was thus a military product, which soon appeared to have very widespread civilian applications. The US Armed Forces continued its support of Dantzig"s LP work, as the most widespread textbook in LP in the 1960s, namely Dantzig (1963), was sponsored by the US Air Force.
Hace más de tres décadas tuve mi primer encuentro con la programación lineal y los métodos de Dantzig. También había una abundante producción soviética sobre el tema, y nuevas ideas para salir del Simplex.
Dantzig had discovered the Simplex method but admitted many years later that he had not really realized how important this discovery was. Few people had a proper overview of linear models to place the new discovery in context, but one of the few was John von Neumann, at the time an authority on a wide range of problems form nuclear physics to the development of computers. Dantzig decided to consult him about his work on solution techniques for the LP problem.
Este es el relato del propio Dantzig:
"I decided to consult with the "great" Johnny von Neumann to see what he could suggest in the way of solution techniques. He was considered by many as the leading mathematician in the world. On October 3, 1947 I visited him for the first time at the Institute for Advanced Study at Princeton. I remember trying to describe to von Neumann, as I would to an ordinary mortal, the Air Force problem. I began with the formulation of the linear programming model in terms of activities and items, etc.Von Neumann did something, which I believe was uncharacteristic of him. "Get to the point," he said impatiently. Having at times a somewhat low kindling point, I said to myself "O.K., if he wants a quicky, then that"s what he"ll get." In under one minute I slapped the geometric and the algebraic version of the problem on the blackboard. Von Neumann stood up and said "Oh that!" Then for the next hour and a half, he proceeded to give me a lecture on the mathematical theory of linear programs." (Dantzig, 1984).
von Neumann, de amplia cultura matemática, ya conocía el tema. En ese encuentro Dantzig oyó por primera vez sobre la dualidad y el lema de Farkas.
Lo encuentro citado en Dipak Basu, Dipak Basu Economic Models Methods, Theory and Applications.
Otros posts de este blog donde se menciona a von Neumann:
Fundamentos Matemáticos de la Mecánica Cuántica, por John von Neumann
John von Neumann y Operadores en Cuántica
Abstracción y Matemáticas, según von Neumann
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Angel "Java" Lopez
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Publicado el
12 de Noviembre, 2014, 14:46
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9 de Noviembre, 2014, 13:26
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Estuve leyendo estos días más sobre la historia de vida de Heisenberg. Uno de los libros que leyó antes de entrar a la universidad, fue un clásico de Hermann Weyl, Espacio, Tiempo y Materia. Hoy fui a leer las primeras secciones, y me encuentro con Weyl comentando sobre una teoría gauge suya, que no tuvo éxito. Escribe en el prefacio a la primera edición americana:
This translation is made from the fourth edition of raum zkit matkrik which was published in 1921. Relativity theory as expounded in this book deals with the space-time aspect of classical physics. Thus, the book's contents are comparatively little affected by the stormy development of quantum physics during the last three decades. This fact, aside from the public's demand, may justify its re-issue after so long a time. Of course, had the author to re-write the book today, he would take into account certain events that have modified the situation in the intervening years.
Weyl menciona como primer punto el tema que nos interesa: su primer teoría gauge:
The principle of general relativity had resulted above all in a new theory of the gravitational field. While it was not difficult to adapt also Maxwell's equations of the electromagnetic field to this principle, it proved insufficient to reach the goal at which classical field physics is aiming: a unified field theory deriving all forces of nature from one common structure of the world and one uniquely determined law of action. In the last two of its 36 sections, my book describes an attempt to attain this goal by a new principle which I called gauge invariance (Eichinvarianz). This attempt has failed. There holds, as we know now, a principle of gauge invariance in nature; but it does not connect the electromagnetic potentials phi i, as I had assumed, with Einstein's gravitational potentials gik , but ties them to the four components of the wave field psi by which Schrodinger and Dirac taught us to represent the electron. For this and the following points, compare my book, gruppentheorie und quantenmechanik, Leipzig 1928, 2nd ed. 1931, the article, "Elektron und Gravitation" in Zeilschr. f. Physik 56, 1929, p. 330, and my Rouse Ball lecture "Geometry and Physics" in Naturwissenschaflen 19, 1931, pp. 49-58. Of course, one could not have guessed this before the "electronic field" Psi was discovered by quantum mechanics! Since then, however, a unitary field theory, so it seems to me, should encompass at least these three fields: electromagnetic, gravitational and electronic. Ultimately the wave fields of other elementary particles will have to be included too—unless quantum physics succeeds in interpreting them all as different quantum states of one particle.
El psi que menciona es la función de onda de Schrödinger. La primera noticia de este intento gauge de Weyl la encontré en el Penrose. Esto de arriba lo escribe Weyl ya en 1950, sobre la versión de su libro de 1921, y es interesante ver cómo esa idea que no funcionó, luego tuvo su aplicación y resurgimiento en la teoría cuántica, en la función de onda que se introdujo pudo aplicar un cambio de fase complejo.
Leo en artículo de la Wikipedia sobre Weyl:
Weyl, as a major figure in the Göttingen school, was fully apprised of Einstein's work from its early days. He tracked the development ofrelativity physics in his Raum, Zeit, Materie (Space, Time, Matter) from 1918, reaching a 4th edition in 1922. In 1918, he introduced the notion of gauge, and gave the first example of what is now known as a gauge theory. Weyl's gauge theory was an unsuccessful attempt to model the electromagnetic field and the gravitational field as geometrical properties of spacetime. The Weyl tensor in Riemannian geometry is of major importance in understanding the nature of conformal geometry. In 1929, Weyl introduced the concept of the vierbeininto general relativity.[9]
Más sobre las ideas de Weyl en la sección 3 de On the Origins of Gauge Theory.
Ya mencioné a Hermann Weyl en:
Hermann Weyl, Teoría de Grupos y Teoría Cuántica
Hermann Weyl, fisica y matemáticas
Notas sobre Invariantes (1)
Paul Adrien Maurice Dirac por Abraham Pais (8)
Física Cuántica (Parte 3) Vectores de Estado y Realidad Física
Números Complejos en Mecánica Cuántica (1)
Grupos y Física, por Dirac
Estudiando Física Cuántica (1)
Nos leemos!
Angel "Java" Lopez
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7 de Noviembre, 2014, 12:49
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Publicado el
3 de Noviembre, 2014, 6:44
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Como pasa el año, ya llega el tiempo de planear tareas para Noviembre. Antes, repaso de los resultados de Octubre:
- Seguir mi serie sobre Ecuaciones Diferenciales [completo] ver post
- Seguir mi serie sobre la ecuación de Schrödinger [completo] ver post
- Seguir mi serie sobre Heisenberg [completo] ver post ver post
- Seguir mi serie sobre Matemáticas y Física Cuántica [completo] ver post
- Seguir mi serie sobre Teoría de Grupos y Partículas Elementales [completo] ver post
- Continuar mis notas sobre Teorías Gauge [completo] ver post
- Continuar mi serie sobre Lagrangianos y Hamiltonianos [pendiente]
- Continuar mis notas sobre Lagrangianos y Hamiltonianos [completo] ver post
- Estudiar ecuaciones diferenciales [completo]
- Estudiar matemáticas de física clásica y cuántica [completo]
Además, publiqué:
Leyendo a Monod (1) Lo invariante y el cambio
Tareas para este nuevo mes:
- Seguir mi serie sobre Ecuaciones Diferenciales
- Seguir mi serie sobre la ecuación de Schrödinger
- Seguir mi serie sobre Matemáticas y Física Cuántica
- Seguir mi serie sobre Teoría de Grupos y Partículas Elementales
- Seguir mi serie Leyendo a Monod
- Seguir mi serie Leyendo a Stephen Jay Gould
- Continuar mis notas sobre Teorías Gauge
- Continuar mi serie sobre Lagrangianos y Hamiltonianos
- Continuar mis notas sobre Lagrangianos y Hamiltonianos
- Estudiar ecuaciones diferenciales
- Estudiar matemáticas de física clásica y cuántica
Además de otros estudios, lecturas y tareas. Pero las de arriba son las principales con salida visible y para compartir.
Nos leemos!
Angel "Java" Lopez
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2 de Noviembre, 2014, 7:28
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En el post anterior exploramos un grupo continuo, el de las rotaciones en R2. Por un lado, podemos tener el grupo abstracto, de rotaciones, y por otro, nos manejamos mejor si vemos cada elemento del grupo COMO UNA TRANSFORMACION LINEAL en un espacio vectorial real de dos dimensiones, que mantiene la orientación y la norma de los vectores. Siempre vamos a tener ese "doble camino": o trabajar con el grupo, o con lo que se llama una representación del grupo, operadores lineales que trabajan transformando elementos de un espacio vectorial (ya llegaremos a una definición de representación).
A los físicos les gusta trabajar con representaciones porque permite expresar los elementos del grupo como matrices, si el espacio vectorial sobre el que operamos tiene dimensión finita (hay también representaciones sobre espacios vectoriales especiales de dimensión infinita, pero por ahora no nos interesan). Lo interesante que apareció en el ejemplo anterior, que las matrices en R2 que cumplen:
Preservan la norma de los vectores, y se llaman ortogonales. Pusimos como norma a:
En concreto, si nos manejamos con una base, se expresa:
Donde la norma es la suma de cada coeficiente multiplicado por sí mismo. En realidad, es un caso particular del llamado producto interior en Rn:
Si, como estamos haciendo, estamos en un espacio vectorial con coeficientes reales, queda que la norma de un vector, o su multiplicación por sí mismo, da siempre un número real no negativo (y se anula solamente si v es el vector nulo).
Pero en física también se trabaja, y mucho, con espacios vectoriales complejos, donde el cuerpo de los coeficientes son los números complejos. En estos casos, el producto interno no sirve tanto si se define como arriba, porque para coeficientes cualesquiera la norma puede dar un número cualquiera, no necesariamente positivo ni real. Ejemplo simple:
En estos casos de espacios vectoriales complejos, los matemáticos prefieren un producto interno definido:
(en realidad, los matemáticos prefieren una definición más abstracta, donde no intervienen coeficientes referidos a una base), donde el asterisco significa "complejo conjugado". Expresando en multiplicación de vectores fila/columna, en dos dimensiones, sería:
Notemos que los elementos del vector fila son los coeficientes complejos conjugados del vector original w. Podemos ver el vector original w como un vector columna, y ahora interviene en esta multiplicación de vectores como transpuesto Y CONJUGADO.
Teniendo esta definición de producto, nos interesa el grupo de transformaciones que mantenga la norma y este nuevo producto interno:
Sea la matriz de la transformación R:
Entonces nuestra multiplicación ahora es (habría que hacer todo el desarrollo, pero es así):
Vemos que R interviene TRANSPUESTA Y CONJUGADA. Para que esta expresión sea siempre igual a
Para cualquier w, v, debería cumplirse:
Las transformaciones que cumplen esto (y sus matrices) se llaman UNITARIAS. El grupo de transformaciones unitarias sobre C2 (C = complejo) se llama U(2). El grupo de transformaciones unitarias que no invierten el espacio (con matriz con determinante uno) son el grupo SU(2). Veremos, con paciencia y tiempo, la gran influencia que tienen estos grupos unitarios y especiales en los modelos de grupo del modelo estándar de partículas.
Nos leemos!
Angel "Java" Lopez
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1 de Noviembre, 2014, 14:40
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