Publicado el 26 de Noviembre, 2014, 7:21
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Sigo leyendo "el Penrose", sección 20.1, cuarta página. Sobre el lagrangiano L:
Sí, ese un punto notable: todo funciona si tomamos a esas derivadas temporales como variables independientes. Todos los detalles matemáticos, su relación con el cálculo de variaciones, y también la obtención de estas ecuaciones siguiendo otro camino, a partir de ideas de D'Alembert, quedará en mi serie de posts Lagrangianos y Hamiltonianos.
Tengo entendido que Lagrange llegó a esas ecuaciones partiendo de otras ideas, de D'Alembert. Euler al parecer las conocía como Hamilton, como propiedades obtenidas del cálculo de variaciones de esa integral de L. Pero no he encontrado confirmación. Por ejemplo, no sé entonces por qué se llama principio de Hamilton y no de Euler. El que se trate de encontrar un extremal de una integral de camino es lo que le da el sabor geométrico especial a todo este formulismo, permitiendo el cambio de coordenadas, llegando a ecuaciones de movimiento equivalentes. Nos leemos! Angel "Java" Lopez |
Publicado el 21 de Noviembre, 2014, 13:41
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Ya Stephen Jay Gould ha dejado planteado lo que ve de trato diferencial entre ciencias "duras" y ciencias "históricas" (que tienen que explicar no solo el presente sino también el pasado, como la geología).
Ahora pone un ejemplo:
No estoy tan seguro que se haya aceptado la propuesta de lord Kelvin por "el prestigio de las fórmulas matemáticas". Seguramente habrá influido, pero también habrá habido resistencia o adopción de sus ideas por otras razones. En todo caso, Kelvin las exponía basado en lo que se sabía entonces del calor del Sol y de la Tierra y su presunto origen. Pero aún lord Kelvin dejó abierta la posibilidad de que en el futuro se descubrieran nuevas explicaciones. Ver Lord Kelvin y Rutherford, y cómo Kelvin termina aceptando de buen grado que puede haber otros modelos. Eso es parte del avance de la ciencia. Y justamente eso es lo que veo: tanto en ciencias "duras" como en "históricas", lo que cuenta es plantear modelos explicativos de los hechos, pasados o presentes. En próximos posts, veremos algunos ejemplos más sobre la "aceptación" de lo "duro" sobre lo "histórico", según Gould. Nos leemos! Angel "Java" Lopez |
Publicado el 20 de Noviembre, 2014, 16:25
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En estos días, he tenido un "impasse" en mi labor diaria, así que he tenido tiempo (apenas un poco) para leer más en detalle algunos temas. Uno de esos temas que siempre estaba cerca para ser considerado, volvió a aparecer en mis lecturas, y desde más de una fuente. El desarrollo de la primera mecánica cuántica culmina en 1925/26, en el siglo pasado, con la aparición de las formulaciones de Heisenberg y Schrödinger. Dos "approaches" que, a primera vista, eran totalmente distintos. El tema función de onda, y ecuación de Schrödinger los estoy tratando en la seria La Ecuación de Schrödinger, y al comienzo de la serie Matemáticas y Física Cuántica (esta última basado en varias fuentes, pero principalmente por ahora en Landau/Lifshitz). Un tratamiento parecido, pero más físico y conceptual, siguiendo en lo que puedo a Feynman, a partir de un ejemplo inicial de Steven Weinberg, se encuentra en la serie Física Cuántica. Si alguien le interesa el desarrollo histórico de las ideas de Schrodinger, leer Fundamentos de Mecánica Cuánica de Borowitz. Varias de estas fuentes están mencionadas en Estudiando Física Cuántica. Pero sobre el camino de Heisenberg, apenas si he escrito algo en concreto, mas bien lo que he escrito se ha orientado a dilucidar el ambiente y la historia de ese desarrollo. Ver la serie Heisenberg desarrollando la mecánica cuántica, y posts como Dirac revisando el trabajo de Heisenberg y Dirac y la teoría de Heisenberg. Ha llegado el momento de iniciar esta serie, donde trataremos de entender cuál fue el aporte de Heisenberg, sus preludios, sus motivaciones y algo de su evolución. No es un tema muy popular: hoy en los libros de textos y de divulgación se prefiere exponer Schrödinger, o sino, la formulación de Dirac. Pero el que exploremos y tratemos de entender el trabajo original de Heisenberg nos va a dar un mayor conocimiento de la historia del desarrollo físico en el primer cuarto de siglo pasado. Mi primer contacto con esa historia y desarrollo, lo tuve el siglo pasado cuando adquiría el excelente libro Source of Quantum Mechanics, editado por van der Waerden (ya mencionado en Estudiando Física Cuántica), con sus comentarios, y la republicación de los "papers" fundamentales de este camino, incluyendo el "famoso" de Heisenberg de 1925. Pero aún con la ayuda de esos comentarios, el entender la serie de "papers", no arroja siempre luz sobre EL "paper" de Heisenberg, por lo menos para un aficionado. Por un lado, varios de esos "papers" tienen notaciones distintas de las actuales, y hacen referencias a resultados clásicos (especialmente en electromagnetismo) no siempre claros para estos años actuales. Para que vean que no es fácil entender EL "paper" de Heisenberg, cito a Steven Weinberg (fuente On Matrix Mechanics):
Es que en ese "paper", Heisenberg hace magia, y hace saltos en la deducción, basada en analogías que sólo se le pudieron ocurrir a él. Como comentaba al comienzo, varias circunstancias hicieron que apareciera este tema como prominente en esos días. No quisiera olvidar de mencionar hoy al excelente libro sobre Heisenberg, que publicó el diario La Nación, acá en Argentina, firmado por Jesús Navarro Faus. Y por otra coincidencia, me reencontré con un librito delicioso, de Fondo de Cultura Económica, Los creadores de la nueva física, de Barbara Lovett Cline. No creo que hoy pueda nombrar todas las fuentes que estuve consultando, pero no quería olvidarme de éstas al principio. Pero el que realmente me ayudó a empezar, sólo a empezar, a ver la luz, fue el (muchas veces citado en otras fuentes, como el artículo "clásico" de revisión de las ideas de Heisenberg): Understanding Heisenberg"s "magical" paper of July 1925: a new look at the calculational details (pdf) ver también http://arxiv.org/abs/quant-ph/0404009 Y luego, un muy buen desarrollo, en todo un libro, de mecánica cuántica matricial, en el libro Heisenberg's Quantum Mechanics, de Mohsen Razavy. Ver http://www.amazon.com/Heisenbergs-Quantum-Mechanics-Mohsen-Razavy/dp/9814304115 Tengo otras fuentes para mencionar, y otras todavía para investigar. Seguiré en el próximo post mencionándolas, o ya entrando en el tema del desarrollo de Heisenberg. Un libro que descubrí hace poco, y tengo que leer en detalle, es el Matrix Mechanics, de Herberg Green, con un comentario inicial de Max Born. Ver http://www.amazon.com/Matrix-Mechanics-Herbert-S-Green/dp/B0006BMIP8. Ahí encuentro que una de las fórmulas conocidas de la formulación de Heisenberg, que implica un conmutador, sale así porque para H el operador era dependiente del tiempo. Si hubiera tenido vectores de estado, con operador independiente del tiempo, los mismos pasos, HUBIERAN LLEVADO A LA ECUACION DE SCHRODINGER! Nos leemos! Angel "Java" Lopez |
Publicado el 19 de Noviembre, 2014, 13:44
Publicado el 17 de Noviembre, 2014, 13:57
Publicado el 16 de Noviembre, 2014, 15:24
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Sigo leyendo a Monod:
Entiendo que Monod acá pregunta si "identidad" no será un concepto muy humano, que no tiene un correlato claro en la realidad. Ahora apela a la cuántica, pero no veo que sea afortunado el ejemplo:
Nunca vi que alguien mencionar "dos átomos" en el mismo estado. Acá Monod se debe estar refiriendo a los bosones, como los fotones, como diferentes de los fermiones, como los electrones. Estos últimos no pueden estar DOS EN EL MISMO ESTADO, cosa que sí pueden los bosones. Pero aún en estos casos, la energía se conserva: dos fotones NO SON un fotón.
Yo lo veo de otra forma: la ciencia pueda buscar otras cosas. Pero en las ciencias naturales básicas, se ha visto que el concepto de invariante ha sido fructífero, y hay algo ahí en la realidad que corresponde y responde a nuestras esperanzas invariantes. Nos leemos! Angel "Java" Lopez |
Publicado el 15 de Noviembre, 2014, 16:41
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Hemos al fin llegado a la ecuación:
Destaquemos algunos puntos. Primero, llegamos a la ecuación de arriba SUPONIENDO que V(x, t) (la energía potencial, como función de las coordenadas y el tiempo) ERA CONSTANTE. Partimos de una partícula libre, que se traslada en un potencial constante, invariable aún en el tiempo. Luego, POSTULAMOS que esa ecuación es la correcta, aún para V(x, t). Este último punto, no podemos deducirlo, ni nosotros, ni Schrödinger, ni nadie. Recordemos el post Las ecuaciones de Schrödinger, por Richard Feynman. Escribía Feynman:
Vamos a tener que familiarizarnos con la ecuación y sus variantes, y aplicarla a resolver algunos problemas. Pero antes, otro punto: vemos la aparición de números complejos. Si repasamos nuestra "deducción", la aparición de i (la raíz cuadrada de menos uno) se debe a que mezclamos la derivada temporal PRIMERA con la SEGUNDA de las coordenadas. Hay una asimetría en el tratamiento del tiempo y de la posición en esta ecuación. Desde ya, podemos intuir que no será adecuada para tratamientos relativistas, donde tiempo y posición son tratados en pie de igualdad. De hecho, Schrödinger intentó primero obtener una solución relativista, pero cuando fracasó pudo relajarse y encontrar su ecuación famosa. Todo este planteamiento es no relativista porque uno de los supuestos de los que partimos fue de la ecuación no relativista de la energía:
Tiempo después del desarrollo de Schrödinger, Dirac consiguió una ecuación relativista basada en la expresión relativista de la energía total:
La presencia de una raíz cuadrada complica la solución, que no era evidente. Pero cuando Dirac la resolvió, apareció que la ecuación describía tanto al electrón como a otra partícula, de carga positiva. La presencia de la raíz cuadrada como que imponía la existencia de dos soluciones. Con el tiempo se vió que la partícula adicional era el positrón. La relatividad hizo posible la explicación de la antimateria, y de la creación y destrucción de pares. Pero es otra historia, que espero podamos visitar en otra serie de posts. No era la primera vez que los números complejos aparecían en física, pero no era común su empleo. La ecuación de onda tiene entonces soluciones que pueden dar números complejos. Pero no hay experimento que mida un número complejo. Entonces ¿a qué se refiere esa función de onda? Ni siquiera Schrödinger acertó en su primera interpretación. Ya veremos a qué estan ligados esos valores complejos, como se los asocia a valores reales físicos. Ver también: Schrödinger equation Nos leemos! Angel "Java" Lopez |
Publicado el 14 de Noviembre, 2014, 14:39
Publicado el 13 de Noviembre, 2014, 12:10
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Estaba investigando sobre modelos económicos, y me encuentro con esto sobre la historia de la programación lineal:
Hace más de tres décadas tuve mi primer encuentro con la programación lineal y los métodos de Dantzig. También había una abundante producción soviética sobre el tema, y nuevas ideas para salir del Simplex.
Este es el relato del propio Dantzig:
von Neumann, de amplia cultura matemática, ya conocía el tema. En ese encuentro Dantzig oyó por primera vez sobre la dualidad y el lema de Farkas. Lo encuentro citado en Dipak Basu, Dipak Basu Economic Models Methods, Theory and Applications. Otros posts de este blog donde se menciona a von Neumann: Fundamentos Matemáticos de la Mecánica Cuántica, por John von Neumann Nos leemos! Angel "Java" Lopez |
Publicado el 12 de Noviembre, 2014, 14:46
Publicado el 9 de Noviembre, 2014, 13:26
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Estuve leyendo estos días más sobre la historia de vida de Heisenberg. Uno de los libros que leyó antes de entrar a la universidad, fue un clásico de Hermann Weyl, Espacio, Tiempo y Materia. Hoy fui a leer las primeras secciones, y me encuentro con Weyl comentando sobre una teoría gauge suya, que no tuvo éxito. Escribe en el prefacio a la primera edición americana:
Weyl menciona como primer punto el tema que nos interesa: su primer teoría gauge:
El psi que menciona es la función de onda de Schrödinger. La primera noticia de este intento gauge de Weyl la encontré en el Penrose. Esto de arriba lo escribe Weyl ya en 1950, sobre la versión de su libro de 1921, y es interesante ver cómo esa idea que no funcionó, luego tuvo su aplicación y resurgimiento en la teoría cuántica, en la función de onda que se introdujo pudo aplicar un cambio de fase complejo. Leo en artículo de la Wikipedia sobre Weyl:
Más sobre las ideas de Weyl en la sección 3 de On the Origins of Gauge Theory. Ya mencioné a Hermann Weyl en: Hermann Weyl, Teoría de Grupos y Teoría Cuántica Nos leemos! Angel "Java" Lopez |
Publicado el 7 de Noviembre, 2014, 12:49
Publicado el 3 de Noviembre, 2014, 6:44
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Como pasa el año, ya llega el tiempo de planear tareas para Noviembre. Antes, repaso de los resultados de Octubre: - Seguir mi serie sobre Ecuaciones Diferenciales [completo] ver post Además, publiqué: Leyendo a Monod (1) Lo invariante y el cambio Tareas para este nuevo mes: - Seguir mi serie sobre Ecuaciones Diferenciales Además de otros estudios, lecturas y tareas. Pero las de arriba son las principales con salida visible y para compartir. Nos leemos! Angel "Java" Lopez |
Publicado el 2 de Noviembre, 2014, 7:28
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En el post anterior exploramos un grupo continuo, el de las rotaciones en R2. Por un lado, podemos tener el grupo abstracto, de rotaciones, y por otro, nos manejamos mejor si vemos cada elemento del grupo COMO UNA TRANSFORMACION LINEAL en un espacio vectorial real de dos dimensiones, que mantiene la orientación y la norma de los vectores. Siempre vamos a tener ese "doble camino": o trabajar con el grupo, o con lo que se llama una representación del grupo, operadores lineales que trabajan transformando elementos de un espacio vectorial (ya llegaremos a una definición de representación).
Preservan la norma de los vectores, y se llaman ortogonales. Pusimos como norma a:
En concreto, si nos manejamos con una base, se expresa:
Donde la norma es la suma de cada coeficiente multiplicado por sí mismo. En realidad, es un caso particular del llamado producto interior en Rn:
Si, como estamos haciendo, estamos en un espacio vectorial con coeficientes reales, queda que la norma de un vector, o su multiplicación por sí mismo, da siempre un número real no negativo (y se anula solamente si v es el vector nulo).
Pero en física también se trabaja, y mucho, con espacios vectoriales complejos, donde el cuerpo de los coeficientes son los números complejos. En estos casos, el producto interno no sirve tanto si se define como arriba, porque para coeficientes cualesquiera la norma puede dar un número cualquiera, no necesariamente positivo ni real. Ejemplo simple:
En estos casos de espacios vectoriales complejos, los matemáticos prefieren un producto interno definido:
(en realidad, los matemáticos prefieren una definición más abstracta, donde no intervienen coeficientes referidos a una base), donde el asterisco significa "complejo conjugado". Expresando en multiplicación de vectores fila/columna, en dos dimensiones, sería:
Notemos que los elementos del vector fila son los coeficientes complejos conjugados del vector original w. Podemos ver el vector original w como un vector columna, y ahora interviene en esta multiplicación de vectores como transpuesto Y CONJUGADO.
Sea la matriz de la transformación R:
Entonces nuestra multiplicación ahora es (habría que hacer todo el desarrollo, pero es así):
Vemos que R interviene TRANSPUESTA Y CONJUGADA. Para que esta expresión sea siempre igual a
Para cualquier w, v, debería cumplirse:
Las transformaciones que cumplen esto (y sus matrices) se llaman UNITARIAS. El grupo de transformaciones unitarias sobre C2 (C = complejo) se llama U(2). El grupo de transformaciones unitarias que no invierten el espacio (con matriz con determinante uno) son el grupo SU(2). Veremos, con paciencia y tiempo, la gran influencia que tienen estos grupos unitarios y especiales en los modelos de grupo del modelo estándar de partículas. Nos leemos! Angel "Java" Lopez |
