Angel "Java" Lopez en Blog

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En el post anterior exploramos un grupo continuo, el de las rotaciones en R2. Por un lado, podemos tener el grupo abstracto, de rotaciones, y por otro, nos manejamos mejor si vemos cada elemento del grupo COMO UNA TRANSFORMACION LINEAL en un espacio vectorial real de dos dimensiones, que mantiene la orientación y la norma de los vectores. Siempre vamos a tener ese "doble camino": o trabajar con el grupo, o con lo que se llama una representación del grupo, operadores lineales que trabajan transformando elementos de un espacio vectorial (ya llegaremos a una definición de representación).
A los físicos les gusta trabajar con representaciones porque permite expresar los elementos del grupo como matrices, si el espacio vectorial sobre el que operamos tiene dimensión finita (hay también representaciones sobre espacios vectoriales especiales de dimensión infinita, pero por ahora no nos interesan). Lo interesante que apareció en el ejemplo anterior, que las matrices en R2 que cumplen:

Preservan la norma de los vectores, y se llaman ortogonales. Pusimos como norma a:

En concreto, si nos manejamos con una base, se expresa:

Donde la norma es la suma de cada coeficiente multiplicado por sí mismo. En realidad, es un caso particular del llamado producto interior en Rn:

Si, como estamos haciendo, estamos en un espacio vectorial con coeficientes reales, queda que la norma de un vector, o su multiplicación por sí mismo, da siempre un número real no negativo (y se anula solamente si v es el vector nulo).

Pero en física también se trabaja, y mucho, con espacios vectoriales complejos, donde el cuerpo de los coeficientes son los números complejos. En estos casos, el producto interno no sirve tanto si se define como arriba, porque para coeficientes cualesquiera la norma puede dar un número cualquiera, no necesariamente positivo ni real. Ejemplo simple:

 En estos casos de espacios vectoriales complejos, los matemáticos prefieren un producto interno definido:

(en realidad, los matemáticos prefieren una definición más abstracta, donde no intervienen coeficientes referidos a una base), donde el asterisco significa "complejo conjugado". Expresando en multiplicación de vectores fila/columna, en dos dimensiones, sería:

Notemos que los elementos del vector fila son los coeficientes complejos conjugados del vector original w. Podemos ver el vector original w como un vector columna,  y ahora interviene en esta multiplicación de vectores como transpuesto Y CONJUGADO.

Teniendo esta definición de producto, nos interesa el grupo de transformaciones que mantenga la norma y este nuevo producto interno:

Sea la matriz de la transformación R:

Entonces nuestra multiplicación ahora es (habría que hacer todo el desarrollo, pero es así):

Vemos que R interviene TRANSPUESTA Y CONJUGADA. Para que esta expresión sea siempre igual a

Para cualquier w, v, debería cumplirse:

Las transformaciones que cumplen esto (y sus matrices) se llaman UNITARIAS. El grupo de transformaciones unitarias sobre C2 (C = complejo) se llama U(2). El grupo de transformaciones unitarias que no invierten el espacio (con matriz con determinante uno) son el grupo SU(2). Veremos, con paciencia y tiempo, la gran influencia que tienen estos grupos unitarios y especiales en los modelos de grupo del modelo estándar de partículas.

Nos leemos!

Angel "Java" Lopez
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