Angel "Java" Lopez en Blog

Publicado el 26 de Noviembre, 2014, 7:21

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Sigo leyendo "el Penrose", sección 20.1, cuarta página. Sobre el lagrangiano L:

La interpretación física normal del valor real de la función L sería la diferencia L = K - V entre la energía cinética K del sistema y la energía potencial debida a las fuerzas externas, expresadas en dichas coordenadas .. Las ecuaciones de movimiento del sistema -que codifican todo su comportamiento newtoniano- vienen dadas por lo que se denominan las ecuaciones de Euler-Lagrange, que son sorprendentes por su extraordinario alcance y esencial simplicidad:

Recordemos que cada [derivada temporal de xi] debe tratarse como una variable inadependiente, de modo que la expresión [derivar parcialmente L por la derivada temporal de xr] tiene sentido!

Sí, ese un punto notable: todo funciona si tomamos a esas derivadas temporales como variables independientes. Todos los detalles matemáticos, su relación con el cálculo de variaciones, y también la obtención de estas ecuaciones siguiendo otro camino, a partir de ideas de D'Alembert, quedará en mi serie de posts Lagrangianos y Hamiltonianos.

Estas ecuaciones expresan un hecho notable, a veces conocido como principio de Hamilton o principio de acción estacionaria. Su significado se hace quizá más claro si pensamos en términos del movimiento del punto Q, en C, donde recordamos que C representa el espacio de configuraciones espaciales posibles de todo el sistema (i.e., todas las posiciones de todas sus partes). El punto Q, cuya posición en cualquier instante está etiquetada por las xi, se mueve a lo largo de cierta curva en C a una cierta velocidad que, junto con la dirección tangente a la curva, está determinada por los valores de las [derivadas temporas xr, tomadas como variables independientes]. Las ecuaciones de Euler-Lagrange nos dicen básicamente que el movimiento de Q en C es tal que minimiza la acción, siendo esta "acción", la integral de L a lo largo de la curva, tomada entre dos puntos extremos fijos, a, b, en el espacio de configuración C...

Tengo entendido que Lagrange llegó a esas ecuaciones partiendo de otras ideas, de D'Alembert. Euler al parecer las conocía como Hamilton, como propiedades obtenidas del cálculo de variaciones de esa integral de L. Pero no he encontrado confirmación. Por ejemplo, no sé entonces por qué se llama principio de Hamilton y no de Euler. El que se trate de encontrar un extremal de una integral de camino es lo que le da el sabor geométrico especial a todo este formulismo, permitiendo el cambio de coordenadas, llegando a ecuaciones de movimiento equivalentes.

Nos leemos!

Angel "Java" Lopez
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Por ajlopez, en: Ciencia