Angel "Java" Lopez en Blog

Publicado el 7 de Diciembre, 2014, 5:55

Anterior post
Siguiente post

Mencionaba en el anterior posts el tema de la aparición de números complejos: la función de onda de Schrödinger es inevitablemente una función que arroja valores de números complejos, no es una función real. El propio Schrödinger quiso en algún momento tomar solamente la parte real como significativa físicamente, pero no era el camino correcto. Solamente cuando ese valor complejo se toma como amplitud de probabilidad, es que se puede avanzar (ver Matemáticas y Física Cuántica (2) Probabilidad). Era habitual en física-matemática, operar con complejos por conveniencia, pero tomar la parte real como algo físicamente distinto de la parte imaginaria. Hasta el famoso artículo de Heisenberg de 1925 toma en unos párrafos ese camino. Pero en la formulación de Schrödinger hay que abrazar a los números complejos, no se los puede separar en parte real y parte imaginaria. Son esenciales para la explicación cuántica, e iremos viendo que su presencia le da un "sabor" particular a todo el tema (ver Dirac y las amplitudes de probabilidad en física cuántica).

Hoy vamos a descansar del trabajo matemático. Quiero compartir un texto que no conocía, una nota a un artículo de Schrödinger. No pude encontrar la referencia original, la encontré estos días en el excelente libro de José Navarro Faus "Heisenberg, el principio de incertidumbre", de RBA, editado acá por el diario La Nación, en una serie que aparece cada sábado. En una nota de la página 81, leo:

...Schrödinger se sorprendió mucho de la presencia del número i, porque estaba convencido de la "realidad" de la función de ondas. En uno de sus artículos escribió a pie de página un comentario en el que alude al humor escatológico de Pauli:

Pero, ¿cómo ha podido introducirse i en esta ecuación? Una respuesta, de la que no me atrevo a indicar aquí el sentido general, fue dada por un físico que dejó Austria hace algún tiempo, pero que [...] no ha perdido completamente su afilado humor vienés y que además es muy conocido por encontrar siempre la palabra justa. Esta fue su respuesta: el i se ha deslizado en la ecuación ... como algo que dejamos escapar por casualidad, experimentando no obstante un alivio inapreciable después de haberlo producido involuntariamente.

Pero el artículo A LEER para ver todo el panorama, es el artículo "Square root of minus one, complex phases and Erwin Schrödinger", de Chen Ning Yang, en "Schrödinger, Centenary Celebration of a Polymath". Sí, es el mismo Yang de las teorías Yang-Mills, y el del premio Nobel por su trabajo con Lee en la no conservación de la paridad. Yang hace un recorrido muy lúcido y completo sobre el tema, destacando que tanto la ecuación de Schrödinger como la formulación de Heisenberg, contienen al número i. Escribe "It is to be emphasized that the very meaning of these equations would be totally destroyed if one tries to get rid of i by writing [them] in terms of real and imaginary parts.

Yang cita más en extenso, el comentario de Dirac que mencioné en un enlace de más arriba:

So if one asks what is the main feature of quantum mechanics, I feel inclined now to say that it is not noncommutative algebra. Ti is the existence of probability amplitudes which underlie all atomic processes. Now a probability amplitude is related to experiment but only partially. The square of its modulus is something what we can observe. That is the probability which experimental people get. But besides that there is a phase, a number of modulus unity which can modify without affecting the squares of the modulus. And this phase is all important because it is the source of all interference phenomena but its physical significance is obscure. So the real genius of Heisenberg and Schrödinger, you might say, was to discover the existence of probability amplitudes containing this phase quantity which is very well hidden in nature and it is because it was so well hidden that people hadn't thought of quantum mechanics much earlier.

(no quiero dejar notar que lo de "physical significance is obscure" puede que esté relacionado con el efecto Aharanov-Bohm, tal vez el primer lugar donde la fase compleja parece tener significado físico experimental).

Escribe el propio Yang más adelante:

Classical physics, that is the physics before 1925, used exclusively real quantities. This was true for mechanics, thermodynamics, electrodynamics - the whole of classical physics. To be sure, complex numbers were used in many places. For example, in solving a linear alternating current problem complex numbers were used. But after the solution had been found, one always took the real or imaginary part of the solution in order to obtain the true physical answer. So the use of complex numbers was as a computational aid, i.e. the physics was conceptually in terms of real numbers.

With matrix mechanics [Heisenberg] and wave mechanics [Schrödinger], however, the situation dramatically changes. Complex numbers became a conceptual element of the very foundation of physics...

Veamos su comentario sobre la actitud de Schrödinger:

... wave mechanics which was created in a historical series of six papers ... all written within the first six months of 1926 by Erwin Schrödinger. In the first five of these Schrödinger had in mind the factorization of his wave function into real stationary function of x and a sinusoidal function of time...

Lo que explica que también que a Schrödinger se le escapara contemplar a la función completa como amplitud de probabilidad, como haría más adelante Max Born (me apresuro a recordar que ya en 1925 Max Born y Jordan habían tomado los coeficientes complejos que aparecían en las matrices de Heisenberg como lo que hoy llamamos amplitudes de probabilidad, creo que habían aparecido en los artículos de Krammer sobre dispersión, pero tengo que revisar).

...That Schrödinger did this was not surprising, since he was thinking of a standing wave description of the electron, very much in analogy with a standing electromagnetic wave or a water wave. Such waves do have phases, but nevertheless they are described by real functions of space-time.

En un ejemplo en una nota al pie de unos de sus artículos, Schrödinger pone una función compleja, poniendo que esa expresión "the real part is to be taken, as usual". Escribe Yang:

... [it's] revealing his general attitude on this matter, which was the same as in the usual linear circuit: Psi may be complex, but one always takes the real part in the end.

El 27 de Mayo de 1926, H.A.Lorentz, de 73 años de edad, le escribe una larga carta a Schrödinger, agradeciéndole que le haya enviado las pruebas de tres artículos, y le plantea varias cuestiones. Para Yang, dos de esas cuestiones son relevantes para el tema de hoy: a) cómo intepretar la función psi para dos o más partículas, b) Lorentz opinaba que las verdaderas ecuaciones de movimiento no deberían contener E de ninguna forma, solamente derivadas temporales. Schrödinger le contesta el 6 de Junio. Es interesante notar que a) nos lleva a que haya más coordenadas, y que psi no es una función sobre "el espacio real". Si tenemos dos electrones, las coordenadas se duplican. En la respuesta, Schrödinger le comenta que ha abandonado la expresión psi (derivada parcial de psi por tiempo), y ha empezado a usar, para su último artículo, psi por la conjugada compleja de psi, "for the electric charge density in real space". Y escribe: "What is unpleasant here, and indeed directly to objected to, is the use of complex numbers. psi is surely fundamentally a real function". Es decir, el bueno de Erwin todavía no se había tragado la píldora de lo esencial de los números complejos. Con respecto a b), es interesante notar que Schrödinger le contesta con una ecuación, donde E al cuadrado es reemplazada por H al cuadrado. Y ese cuadrado le permite no poner el número i en la expresión.

De hecho, la ecuación de Schrödinger como la hemos expuesto hasta acá, no aparece en ninguno de sus primeros cinco "papers". La respuesta que le da a Lorentz indica que aún en Junio de 1926, estaba luchando por eliminar de alguna forma la parte imaginaria.

Poco después de haberse enviado el sexto artículo de Schrödinger, Max Born publica dos artículos. Usa una función real senoidal. Escribe Yang:

Because everything was real, Born did not use 'absolute square' but only 'square' in the famous footnote (added to the first paper in proof) which Pais referred as follows (Pais, 1986): 'that great novelty, the correct transition probability concept, entered physics by way of a footnote'. It was only in the second paper that Born used complex numbers for the incoming and outgoing waves.

Algo notable que descubro en el artículo de Yang, es que el propio Schrödinger ya en 1922 había publicado un "paper" titulado "On a remarkable property of the quantum orbit of one electron", en el que mencionaba la posibilidad de introducir un factor imaginario (menos i por h sobre 2 pi) en la teoría gauge de Weyl de 1918 (tendría que revisar si ya en 1922 conocía personalmente a Weyl. En el desarrollo de 1925/1926, Weyl ayudó personalmente a Schrödinger, reuniéndose todos los martes al finalziar la tarde para conversar sobre el avance de su desarrollo; Weyl fue amante de la esposa de Schrödinger, en un asunto más de la curiosa vida sentimental de Erwin, que tenía digamos un "matrimonio abierto"). Ver Notas sobre Teorías Gauge (5).

Escribe Yang:

In his great papers of 1926 which created wave mechanics Schrödinger did not refer to this 1922 paper. But Raman and Forman (1969) in their historical research argued that this 1922 paper had in fact played an important role in 'Why was it Schrödinger who developed de Broglie's ideas?' Their thesis was later confirmed by Hanle (1977, 1979; see also Wessels, 1977), who found the following passage in a letter dated November 3, 1925 from Schrödinger to Einstein:

The de Broglie interpretation of the quantum rules seems to me to be related in some ways to my note in the Zs.f.Phys.12, 13, 1922, where a remarkable property of Weyl 'gauge factor' ... along each quasi-period is shown. The mathematical situation is, as far I can see, the same, only from me much more formal, less elegant and not really shown generally. Naturally de Broglie's consideration in the framework of his large theory is altogether of far greater value than my single statement, which I did not know what to make of at first.

Thirteen days later, on November 16, 1925, Schrödinger wrote to Lande (Raman and Forman, 1969):

Recently I have been deeply involved with Louis de Broglie's ingenious thesis. It's extraordinary stimulating but nonetheless some of it is very hard to swallow. I have vainly attempted to make myself a picture of the phase wave of an electron in an elliptical orbit. The 'rays' are almost certaintly neighboring Kepler ellipses of equal energy. That, however, gives horrible 'caustics' or the like as the wave front. At the same time, the length of the wave ought to be equal to [that of the orbit traced out by the electron] one Zeeman or Stark cycle!

Schrödinger was by then evidently well on his way to the first great paper on wave mechanics which he submitted on January 27, 1926.

No tengo el artículo de Raman y Forman. Pero hay que leer el "A few reasons why Louis de Broglie discovered matter waves and yet did not discover Schrödinger"s equation" de Olivier Darrigol, incluido en el libro "Erwin Schrödinger - 50 Years After".

Vayamos terminando. Lo importante a entender, es que Yang apunta a que la aparición de una fase compleja nos llevó a una teoría gauge, donde el electromagnetismo puede ser introducido en la mecánica cuántica con un operador sobre psi, donde aparece i. Esto nos llevaría más allá del tema de esta serie, pero es bueno tenerlo en cuanta. Todo llevó al artículo de Weyl de 1929 donde se discute el electromagnetismo como una teoría gauge, y donde Weyl hace uso de la fase compleja QUE YA Schrödinger había sugerido en 1922. Es interesante repasar en otro momento la última parte del artículo de Yang, donde muestra la posible influencia histórica de distintos "papers", como el de Bose sobre Einstein, y algunos de London y Fock. Seguramente será alimento para mi serie de notas sobre teorías gauge.

Nos leemos!

Angel "Java" Lopez
http://www.ajlopez.com
http://twitter.com/ajlopez

Por ajlopez, en: Ciencia