Angel "Java" Lopez en Blog

Publicado el 15 de Diciembre, 2014, 5:47

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Tenemos hasta ahora un estado físico de un sistema, que puede ser un electrón libre, un electrón ligado en el átomo de hidrógenos, un par electrón-positrón, etc., y estamos investigando que matemáticamente se representan tales estados como funciones de onda: funciones "esparcidas" en el espacio y el tiempo. Un mismo estado puede estar representado por más de una función de onda. Y notablemente, las funciones de onda, si bien aceptan variables reales, producen un valor complejo.

Pero a los físicos les interesa manejar y conocer magnitudes física, como la energía y el momento. Esas magnitudes se representan con números reales (y las unidades apropiadas). ¿Cómo vamos a obtener esas magnitudes reales, de algo tan extraño como una función de onda compleja? Vamos a ver que hay operaciones que podemos efectuar sobre la función de onda que nos van a dar resultados físicos interesantes.

Pero primero veamos los valores posibles de una magnitud física. Uno de los grandes descubrimientos de la física moderna, es haber encontrado que hay magnitudes físicas que admiten valores discretos, no continuos. Por ejemplo, la energía de un electrón ligado en un átomo de hidrógeno no puede ser cualquier, no puede adoptar cualquier valor, sino solamente algunos de un conjunto discreto, no continuo. El conjunto de valores físicamente posibles para una magnitud de un sistema se llama espectro. Y así hay magnitudes que tienen espectro discreto (finito o infinito numerable) y otras que tiene espectro continuo (tal vez acotado a un rango). Y hasta hay sistemas que admiten alguna magnitud con espectro mixto: una parte de sus valores se manifiesta como espectro discreto y otra como espectro continuo. Comencemos explorando hoy magnitudes físicas de espectro discreto.

Sea f la magnitud física a considerar (p.ej. energía, momento) de un sistema. Sea fn uno de sus valores posibles, de su espectro discreto. Habrá estados:

Representados por las funciones de onda:

Cuyo valor de f sea

Siendo cada fn un valor del espectro discreto. Por el principio de superposición, un estado físico puede ser combinación lineal de otros estados (mejor dicho, ser representado por una combinación lineal de sus funciones de onda representativas). TODA función de onda posible será expresable por la combinación de las funciones de onda de estado discretos:

Pudiendo ser cada coeficiente an un número complejo. Se dice entonces que el conjunto de funciones de onda Psi n es un sistema completo: permite obtener, por combinación lineal, todos los estados posibles para el sistema.

Pero en los experimentos, cuando se mide la magnitud física f para el sistema en cuestión, SOLAMENTE obtenemos valores del espectro discreto, nunca una combinación lineal mixta. Entonces, si partimos de un estado "mixto", ¿cuál es el valor que obtenemos en un experimento que implique medir f? ¿cualquiera de los valores discretos? No, el valor que obtenemos depende de los coeficientes an del desarrollo de arriba.
Recordemos: esos coeficientes son valores complejos. Hemos visto cómo los valores complejos de la función de onda se pueden usar para calcular probabilidades (ver Matemáticas y Física Cuántica (2) Probabilidad). Bueno, ahora usaremos los COEFICIENTES an para lo mismo: dar la probabilidad del resultado fn, al realizar una medida. Esperamos que esa probabilidad de fn sea 0 si an es 0. Esperamos que la probabilidad de fn sea 1, si todos los demás coeficientes distintos de an son 0. Podemos pedir algunas condiciones más, pero al final, el valor potable, comprobable por la concordancia entre experimento y formulismo cuántico, es que la probabilidad de obtener fn, viene expresado por:

Donde an con asterisco es el complejo conjugado del coeficiente an. Tenemos que revisar las consecuencias de este "postulado cuántico". Ya vamos a ver que algo de esta afirmación puede deducirse cuando veamos operadores funcionales y conozcamos mejor las funciones de onda Psi n (la de los "estados puros"). Cualquier combinación lineal de estados "puros" puede normalizarse para que la suma de las probabilidades sea 1:


Nos leemos!
Angel "Java" Lopez
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Por ajlopez, en: Ciencia