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En agosto de 1859, Bernhard Riemann pasó a ser miembro de la Academia de Berlin, lo que era un gran honor para un matemático tan joven (tenía entonces 32 años). Como se acostumbraba en esas ocasiones, Riemann presentó un "paper" a la Academia dando cuenta de alguna de sus investigaciones. El título del "paper" era "Sobre el número de números primos menores que una cantidad dada". Ahí investigaba un problema directo de la aritmética ordinaria. Por ejemplo ¿cuántos primos hay menores que 20? ¿y menores a 2000? ¿y cuántos menores a veinte millones? ¿habría alguna fórmula que nos diera el resultado, aunque sea aproximado?

Riemann atacó el problema con las matemáticas más avanzadas de su tiempo, usando herramientas que aún hoy sólo se mencionan en cursos avanzados. Presentó un objeto matemático, la función zeta extendida a los números complejos, y a la tercera parte de su "paper" hizo una conjetura sobre ese objeto, y comentó:

One would, of course, like to have a rigorous proof of this, but I have put aside the search for such a proof after some fleeting vain attempts because it is not necessary for the immediate objective of my investigation.

Traduzco libremente:

Se podría, por supuesto, obtener una prueba rigurosa de esto, pero yo han dejado de lado la búsqueda de tal prueba después de un vano y fugaz intento porque no es necesario para el objetivo inmediato de mi investigación.

Durante décadas, la conjetura pasó desapercibida, pero poco a poco se fue apoderando de la imaginación de los matemáticos, terminando en ser uno de los problemas no resueltos más famoso de nuestra época.

Esa conjetura se conoce como la hipótesis de Riemann. Y ha resistido más de siglo y medio a ser demostrada o refutada. Curiosamente, su demostración implicaría una demostración del teorema principal de distribución de los números primos, que era el tema principal del "paper" de Riemann. Ese teorema se terminó probando por otros caminos, pero la hipótesis de Riemann todavía se yergue como EL problema no resuelto de nuestros tiempos.

David Hilbert comentaba en el Congreso Internacional de Matemáticas de 1900:

Essential progress in the theory of the distribution of prime numbers has lately been made by Hadamard, de la Vallee Poussin, von Mangoldt and others. For the complete solution, however, of the problems set us by Riemann's paper "On the Number of Prime Numbers Less Than a Given Quantity," it still remains to prove the correctness of an exceedingly important statement of Riemann...

donde entonces menciona la hipótesis de Riemann. Pasemos a enero de 2000, a Phillip A. Griffits, director del Instituto de Estudios Avanzados de Princeton, y anterior profesor de matemáticas en Harvard:

Despite the tremendous achievements of the 20th century, dozens of outstanding problems still await solution. Most of us would probably agree that the following three problems are among the most
challenging and interesting. The Riemann Hypothesis. The first is the Riemann Hypothesis, which has tantalized mathematicians for 150 years....

El Instituto de Matemáticas Clay (fundado por el financista bostoniano Landon T. Clay en 1998) ha ofrecido un premio de un millón de dólares por su prueba o refutación. El Instituto Americano de Matemáticas (establecido en 1994 por el emprendedor californiano John Fry) ha tratado el tema de la hipótesis de Riemann, en tres conferenccias dedicadas (1996, 1998, 2000), a las que asistieron investigadores de todo el mundo.

No es fácil explicar la hipótesis, pero en este primer post puedo enunciarla:

Todos los ceros no triviales de la función zeta tiene una parte real igual a un medio

Esta serie de posts es ambiociosa, porque el tratamiento de la hipótesis no es trivial. Nos llevará a visitar a varios resultados matemáticos, y visitaremos la historia de los matemáticos que se vieron involucrados en el camino anterior y posterior de la hipótesis. Una cosa que quisiera explicar es LA RELACION que tiene la hipótesis con LA DISTRIBUCION de los números primos. Hay varios textos de divulgación que tratan la historia y el desarrollo, pero es raro encontrar una explicación de POR QUE la distribución de los ceros de esa tal "función zeta" arroja luz sobre la distribución de los números primos.

Entonces, tenemos que investigar:

- ¿Qqué es esa "función zeta"?
- ¿Cuáles son sus ceros no triviales? Debe haber entonces ceros triviales
- ¿Cómo se pasa de los ceros no triviales de la función zeta a la distribución de números primos?
- ¿Cómo aparecen los números complejos, reales y conceptos de cálculos en algo tan ligado a los números enteros?
- ¿Qué relación hay con la física cuántica?
- Y toda la historia de los matemáticos que se vieron involucrados en el desarrollo del tema

Mis fuentes principales, los libros:

Stalking the Riemann Hypothesis: The Quest to Find the Hidden Law of Prime Numbers, de Dan Rockmore (un gran desarrollo histórico, con muchos detalles, pero sin la explicación matemática última)

Prime Obsession: Bernhard Riemann and the Greatest Unsolved Problem in Mathematics, por John Derbyshire (donde sí hay desarrollo matemático detallado)

También tengo como fuentes a:

Introducción a la Teoría Analítica de Números, de T.M. Apostol (editorial Reverté)

Fundamentos de la Teoría Analítica de los Números, de A.A.Karatsuba (editorial Mir)

y varios otros libros que iré mencionando.

Nos leemos!

Angel "Java" Lopez
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