Angel "Java" Lopez en Blog

Publicado el 27 de Diciembre, 2014, 15:20

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Ha llegado el tiempo de retomar este tema. Hemos visto:

- Hay grupos abstractos (ver Teoría de Grupos y Partículas Elementales (1))
- Hay representaciones de grupo (ver Teoría de Grupos y Partículas Elementales (2))
- Hay grupos continuos. Pudimos representarlos con matrices (ver Teoría de Grupos y Partículas Elementales (3))
- Las representaciones de grupos por matrices operan sobre vectores, que forman un espacio vectorial
- El campo de coeficientes de esos espacios vectoriales, puede ser real o complejo
- En los espacios vectoriales reales, nos interesaron las operaciones que preservan el producto interno, las transformaciones son ortogonales (y en la representación de matrices, vimos las características de las matrices ortogonales)
- En los espacios vectoriales complejos, las transformaciones que preservan el producto interno se llaman unitarias, y sus matrices tienen una forma especial (ver Teoría de Grupos y Partículas Elementales (4))

No han aparecido todavía las partículas elementales. Les adelanto que aparecerán en los vectores (y tensores) sobre los que operan las representaciones de matrices.

Los grupos como SO(3), SU(2) son grupos continuos y vimos elementos de esos grupos que pueden asimilarse a rotaciones en el espacio vectorial, rotaciones que conservan el producto interno. Por ejemplo, tomando SO(3) (grupo ortogonal en 3 dimensiones, que no invierte el espacio), tenemos las rotaciones paramétricas:



El parámetro es el ángulo de rotación alrededor de un eje. Si cada una de estas matrices la multiplicamos por su traspuesta, obtenemos la matriz unidad. Son matrices ORTOGONALES, que preservan el producto interno en el espacio vectorial REAL.

Una matriz n x n real ortogonal, con determinante +1, tiene n (n-1) /2 parámetros independientes. Por ejemplo, las matrices de SO(2) necesitan 2 * 1 / 2 parámetros,  es decir, basta con indicar el ángulo único de rotación que tenemos disponibles. En cambio, en SO(3) necesitamos 3 * 2 / 2 parámetros, necesitamos 3 parámetros independientes (que pueden ser los ángulos de rotación alrededor de los tres ejes).

Veamos explícitamente el caso 2 x 2. Tenemos una matriz general:

Por ser ortogonal (o lo que es lo mismo, si le exigimos que preserve el producto interno), debe ser que multiplicada por su traspuesta nos de la unidad:

Queremos que su determinante sea +1 = ad – cb

Todo esto se cumple para la matriz:

Vemos que nos basta con un solo parámetro (en este caso, a es el seno del ángulo de rotación)
Pasemos a examinar el caso 2 x 2 pero unitario (coeficientes complejos) en SU(2). En este caso se tiene que dar, determinante igual a +1 = ad-cb, y el unitarismo:

Esto implica que la matriz original sea de la forma:

Cumpliendo además con la restricción:

Cada número complejo a, b tiene DOS componentes independientes. En total son 4, pero sujetas a la restricción de arriba quedan TRES componentes independientes. En el caso unitario n x n general, hay n * n – 1 elementos independientes. Por ejemplo, en SU(3) tenemos 3 * 3 – 1, ocho elementos, los que veremos que forman el llamado "camino óctuple".

Nos leemos!

Angel "Java" Lopez
http://www.ajlopez.com
http://twitter.com/ajlopez

Por ajlopez, en: Ciencia