Publicado el 4 de Enero, 2015, 7:29
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Veamos otra prueba de la irracionalidad de raíz cuadrada de 3, usando descenso infinito. Sea
Donde a1, b1 son naturales. Usemos la relación:
Para deducir:
Quedando una nueva fracción:
Como sabemos que la raíz es menor que 2:
Deducimos:
Y entonces:
Y también:
Es decir, el numerador de la nueva fracción es positivo, y el denominador de la nueva fracción es menor que el anterior denominador. Sabemos también que
De donde sacamos:
Es decir, el nuevo denominador es positivo. Y también deducimos:
Que el nuevo numerador a2 es menor que el anterior a1. Repitiendo el proceso queda:
Una secuencia de numeradores/denominadores estrictamente decreciente: lo que es absurdo. Entonces, la raíz no es racional. Ejemplo tomado del "Invitation to the Mathematics of Fermat-Wiles", de Yves Hellegouarch. Nos leemos! Angel "Java" Lopez |
