Angel "Java" Lopez en Blog

Publicado el 4 de Enero, 2015, 7:29

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Veamos otra prueba de la irracionalidad de raíz cuadrada de 3, usando descenso infinito.

Sea

Donde a1, b1 son naturales. Usemos la relación:

Para deducir:

Quedando una nueva fracción:

Como sabemos que la raíz es menor que 2:

Deducimos:

Y entonces:

Y también:

Es decir, el numerador de la nueva fracción es positivo, y el denominador de la nueva fracción es menor que el anterior denominador.

Sabemos también que

De donde sacamos:



Es decir, el nuevo denominador es positivo.

Y también deducimos:

Que el nuevo numerador a2 es menor que el anterior a1. Repitiendo el proceso queda:

Una secuencia de numeradores/denominadores estrictamente decreciente: lo que es absurdo. Entonces, la raíz no es racional.

Ejemplo tomado del "Invitation to the Mathematics of Fermat-Wiles", de Yves Hellegouarch.

Nos leemos!

Angel "Java" Lopez
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