Angel "Java" Lopez en Blog

Publicado el 10 de Enero, 2015, 15:11

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Mientras sigo explorando teoría de números (ver posts:

Números Primos
Teoría de Números
Demostración del teorema Euler-Fermat
Congruencias módulo m
La función indicatriz de Euler, primeros pasos
Calculando la función indicatriz de Euler
p = x2 + y2

) comienzo hoy una serie de posts sobre un tema nuevo, por un lado sencillo, por otro lado de profunda influencia: las funciones aritméticas. Si hasta puede que el desarrollo del tema nos lleve cerca del teorema de los números primos.

¿Qué es una función aritmética? Es una función sobre los números naturales (desde el 1), que da valores numéricos (digamos, enteros, reales, complejos):

Por ejemplo, tenemos la función aritmética identidad: a cada valor n entrega como resultado el mismo valor n:

Donde

Vamos a ir viendo qué utilidad puede tener una función tan simple. Pero también podemos tener una función aritmética en la función indicatriz de Euler:

Donde para cada n, phi(n) no s da la cantidad de números naturales a, 1 <= a <= n, tales que (a, n) = 1, es decir, que son primos con n.

Comienza a aparecer la relación con la teoría de números: muchas funciones aritméticas interesantes dan resultados que dependen de temas como primos, divisibilidad, que son el pan y la manteca de la teoría de números. Veremos que las funciones aritméticas se pueden clasificar por sus propiedades, y notablemente se pueden combinar entre sí : aparecerá un conjunto de funciones aritméticas que se pueden combinar con una operación binaria que forma grupo, con identidad, inverso, etc.

Antes de terminar esta introducción al tema, quisiera mencionar que también aparecen en series de potencias formales, llegaremos a estudiar las operaciones sobre series infinitas:

Donde los coeficientes son los resultados de una función aritmética f(n). ¿Qué coeficientes nacen de la multiplicación formal de dos de tales series?

Mi principal fuente de consulta para el tema: La introducción a la teoría analítica de números, de Tom Apostol, editorial Reverté.

Nos leemos!

Angel "Java" Lopez
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