Angel "Java" Lopez en Blog

Publicado el 18 de Enero, 2015, 16:42

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Ya he tratado varios aspectos de la teoría de números. Ver:

Números Primos
Teoría de Números
Demostración del teorema Euler-Fermat
Congruencias módulo m
La función indicatriz de Euler, primeros pasos
Calculando la función indicatriz de Euler
p = x2 + y2
Funciones Aritméticas

Cuando uno estudia números primos y sus propiedades, se interesa en la divisibilidad, descomponer un número entero entre sus divisores. Es lo que se llama teoría de números multiplicativa. También comenzó a aparecer la teoría analítica, aunque sea apenas insinuada en el tema de la hipótesis de Riemann: el uso del análisis matemático en cuestiones de teoría de números.

A los matemáticos les gusta descomponer a un elemento. En el caso de divisibilidad, ver cuáles son los divisores de un número entero. Pero también hay otro camino a explorar: dado un número natural, ver cómo descomponerlo en SUMANDOS. Por ejemplo, tengamos el número 5 (cinco). ¿Cómo podemos descomponerlo en sumandos naturales? ¿y de cuántas maneras distintas? Por "distintas" entendemos que no nos importa el orden, sino qué números usamos.

Queda entonces para descomponer al 5 (cinco) estas formas:

1 + 1 +  1 + 1 + 1
2 + 1 + 1 + 1
2 + 2 + 1
3 + 1 + 1
3  + 2
4 + 1
5

Es decir, hay siete formas distintas. He tomado la convención de poner los sumandos de mayor a menor.

Estas particiones:

2 + 1 + 1 + 1
1 + 2 + 1 + 1
1 + 1 + 2 + 1
1 + 1 + 1 + 2

Las consideramos "iguales", y tomamos la primera como "forma normal": la que aceptamos para expresar esta partición, la expresión que tiene los sumandos descendentes.

La cantidad de particiones diferentes del número n nos da una función aritmética, que llamamos p(n). Si la calculamos para los primeros números, queda:

p(1) = 1
p(2) = 2
p(3) = 3
p(4) = 5
p(5) = 7
p(6) = 11
p(7) = 15

Les dejo calcular los siguientes valores. En los siguientes posts vamos a investigar las propiedades de p(n). Por ejemplo ¿habrá alguna fórmula directa para expresarla? ¿o alguna fórmula de recurrencia, donde p(n) se pueda expresar en términos de los p(n-1), p(n-2)…? ¿habrá algún patrón a descubrir en sus valores? ¿Alguna fórmula asintótica? Vamos a ver que hasta hay funciones inesperadas que, cuando se expresan en serie, sus coeficientes nos dan los valores de p(n).

Mientras, pueden leer

http://en.wikipedia.org/wiki/Partition_%28number_theory%29

Nos leemos!

Angel "Java" Lopez
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