Angel "Java" Lopez en Blog

Publicado el 31 de Enero, 2015, 13:59

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En el anterior post mostré la ecuación diferencial:

Y mencioné dos soluciones:

Y

Además de comprobarlas y luego, combinarlas linealmente. Pero ¿cómo podemos obtener esas dos soluciones particulares? Primero, podemos hacer que la diferencial de y sea escrita como:

Es simplemente un cambio de notación. Para ser más precisos, D no es un número que se multiplica por la función y, sino que podemos escribirlo mejor como:

Como una función, que aplicada a la función y, nos devuelve otra función, la derivada de y en la variable independiente x. D no es una función que se aplica a un número y devuelve un número, sino que es lo que los matemáticos llaman un funcional u operador funcional: algo que le damos una función y devuelve una función.

Una vez hecho ese cambio de notación podemos expresar nuestra ecuación como:

Y “estirando” la notación, poner:

Y de nuevo, estirando la notación, hacer que esto equivalga a:

Para cualquier y. D es un operador funcional. Si lo tratamos “como si fuera la incógnita de un número” , podemos resolver la ecuación anterior como una ecuación de segundo grado en D, dando como soluciones

Y

Pero D no es un número, es un funcional que podemos aplicar a y ( una función). Queda:

Y

Con lo que llegamos a las soluciones particulares:

Y

Todo esto es “malabarismo” sobre operadores funcionales, tratándolos formalmente como si fueran “números”. Pero funcionan. El pionero en este tratamiento fue Heaviside, ver

http://en.wikipedia.org/wiki/Oliver_Heaviside
http://en.wikipedia.org/wiki/Operational_calculus

Nos leemos!

Angel “Java” Lopez
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