Angel "Java" Lopez en Blog

Publicado el 23 de Febrero, 2015, 8:07

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Uno de los temas de matemáticas que uno se encuentra a cada momento en muchas aplicaciones físicas (calor, ondas, cuántica) es el de las series de Fourier. Comienzo hoy una serie de posts para exponer lo principal de las ideas subyacentes a este tema, y tratar de entender mejor su trascendencia y relaciones con otros instrumentos matemáticos. También tienen su importancia en matemática pura. Pero históricamente, están relacionadas con Fourier, matemático francés que expuso la teoría a principios del siglo XIX.

Veamos, a los matemáticos les gusta expresar una función, digamos de una variable x (real o compleja):

Como una función que se pueda expresar de alguna forma, como:

Pronto se vió (desde la época del surgimiento del análisis moderno) que hay funciones que no pueden expresarse simplemente, y hay que recurrir a desarrollos en serie infinita de potencias de x, de la forma general:

Una nota: el concepto moderno de función (a cada x le corresponde un valor y, sin necesidad de expresarlo con una fórmula) sólo surgió en la segunda mitad del siglo XIX (pero eso es otra historia).
Lo que encontró Fourier que muchas funciones, incluso algunas no expresables por serie de potencias de x, se podían expresar como una serie:

Donde las fn son funciones trigonométricas seno, coseno, que vamos a examinar. Es concreto:

Y no sólo encontró esto, sino que además descubrió la forma de conseguir los coeficientes an, bn, de ese desarrollo en serie, de una forma notable, que abrió nuevas ideas en matemáticas. Voy a proponer una analogía. ¿Vieron cuando un quiere determinar las coordenadas de un punto en un espacio n dimensional? Se apela a ejes coordenados (ortogonales y no) y la coordenada del punto con respecto a un eje, es la distancia al origen de la "sombra del punto sobre ese eje"? Bueno, algo así encontró Fourier: una expresión para expresar "la sombra" de una función cualquiera (con algunas condiciones) con respecto a una serie infinita de "ejes", expresados por funciones trigonométricas. Vamos a ver que para la expresión de Fourier de los coeficientes, es fundamental que esos "ejes"/funciones sean "ortogonales" entre sí. Pero no quiero adelantarme. Igual me parece interesante expresar esta analogía porque fue fruto de otros desarrollos. Incluso algunos temas de convergencia y de las condiciones de las funciones expresables en Series de Fourier dieron lugar a la moderna teoría de conjuntos.

Nos leemos!

Angel "Java" Lopez
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