Angel "Java" Lopez en Blog

Publicado el 28 de Marzo, 2015, 15:10

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Veamos hoy de presentar un caso de función aritmética, que tiene su importancia en la teoría de números. Al principio no se verá claramente su utilidad, pero poco a poco veremos qué lugar ocupa en todo este espectro de funciones aritméticas. Fue definida y usada por Moebius, matemático alemán del siglo XIX. Para muchos de nosotros, es más conocido por la "cinta de Moebius". Algo que yo no conocía es que había sido astrónomo también.

Bien, la función de Moebius se define para 1:

Usando la letra griega mu. Algo simple, ¿no? Bueno, ahora necesitamos saber cuánto vale para los otros números naturales. Lo que pone de manifiesto la función mu es si un número n es o no divisible por un cuadrado. Para eso se pone que cuando n se descompone en potencias de primos distintos:

Entonces, si todos los exponentes son 1:

El valor de mu(n) es:

Donde k es claramente la cantidad de factores primos distintos que componen n. Observemos que hay una paridad: el resultado puede dar 1 o -1, dependiendo de si la cantidad de primos que componen n es par o impar, respectivamente. En cualquier otro caso, n tiene entonces algún factor primo elevado a la por lo menos 2, y entonces es divisible por el cuadrado de un primo. En esos casos, la notable función mu toma el valor 0:

Y digo notable, porque a primera vista, es algo rara esta definición. Pero es tan simple y poderosa, como vamos a estudiar, que revela algo que llama la atención en matemáticas. Vamos a ver cómo esta función tiene propiedades simples por sí misma, y cómo se puede ir combinando con otras funciones aritméticas.
No conozco la historia en detalle de esta función. Al parecer, ya la usó Euler implícitamente en fecha tan temprana como 1748, pero fue Moebius en 1832 el primero en investigar sus propiedades sistemáticamente.

Si leemos el artículo de la Wikipedia:
http://en.wikipedia.org/wiki/M%C3%B6bius_function

Vemos que no solamente se usa en teoría de números, sino también en combinatoria. Y la paridad que hemos notado, hasta aparece en una rama física de supersimetría, distinguiendo entre fermiones y bosones en un gas de Riemann. Y hasta se puede derivar de la función mu la función de Mertens, que cosas vederes Sancho, tiene que ver con la hipótesis de Riemann, que estoy estudiando en otra serie de posts.

Nos leemos!

Angel "Java" Lopez
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